专题3.1 方程与列方程（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦“方程与列方程”核心知识点，系统梳理方程的概念（含未知数的等式）、方程的解（使等式成立的未知数的值），以及列方程的步骤（审、设、找、列）和找等量关系的技巧（关键词、公式、不变量），构建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料通过分层题型设计（方程辨析、列方程、检验解、求参数），结合生活情境与公式实例（如正方形周长、购物问题），培养学生方程思想（数学思维）和用数学语言表达现实问题的能力（数学语言），课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题3.1 方程与列方程 教学目标 1.知道方程、方程的解的概念； 2.掌握列方程的基本方法，会根据题目中的数量关系列简单方程； 3.会检验一个数是不是方程的解； 教学重难点 1.重点 理解方程的概念、掌握列方程 2.难点 列方程； 知识点01 方程的概念 1. 方程 含有未知数的等式叫作方程.在方程中，所含的未知数又称为“元”. 2.方程的解 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解. 【要点提醒】 ①方程必须是等式；②方程中必须含有未知数。 【即学即练】 1.下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 无等号，不是方程； B． 含不等号，不是方程； C． 有等号且含未知数，是方程； D． 无未知数，不是方程． 故选：C． 2. 如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 知识点02 列方程 1. 列方程 把题目中的等量关系用含有未知数的等式表示出来的过程叫作列方程。 2. 列方程的基本步骤 ①审：审清题意，分清已知量、未知量，梳理数量关系； ②设：设未知数； ③找：找等量关系； ④列：列方程。 3. 找等量关系的技巧 ①抓住关键词：比什么多（少）……，一共……，和……相等，是……几倍，用去……还剩……等等； ②利用公式：周长公式，面积公式，路程公式，总价与单价、数量的关系式等等； ③利用不变量：总量不变，路程不变，总价不变，体积不变等等； 4 方程法、算术法解题的区别 ①算术法是逆向思维，从结果倒推； ②列方程是顺向思维，把未知量当作已知数，顺着题意正向翻译文字，方程思想是初中解决问题的核心方法。 【要点提醒】 设未知数要带单位，且关注单位是否统一；等量关系要正确、全面反映题意。 【即学即练】 1. 根据下列条件列出方程： (1)一个正方形的边长为x cm,周长为36cm; (2)14减去数x的一半所得的差是6; (3)甲队有28人，乙队有x人，甲队人数比乙队多3; (4)爱心志愿队共有50名队员，其中女队员有y人，男队员比女队员多2人. 【分析】(1)数量关系是：边长4=正方形周长； (2)数量关系是：x的一半=6； (3))数量关系是：乙队人数=3； (4))数量关系是：男队员人数+女队员人数=总人数； 【详解】解：(1)根据题意，可得方程4x=36. (2)根据题意，可得方程14—=6. (3)根据题意，可得方程x+3=28. (4)根据题意，可得方程(y+2)+y=50. 题型01 方程的辨析 【典例1】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是解决本题的关键． 根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：，不是等式，故不是方程，不符合题意； B：，是不等式，不是等式，故不是方程，不符合题意； C：，是等式，但不含未知数，故不是方程，不符合题意； D：，是等式且含有未知数，故是方程，符合题意． 故选D． 【变式1】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 【变式2】．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【变式3】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 【变式4】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 题型02 利用关键词列方程 【典例1】根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【变式1】一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意，数的相反数为，加上的即，由此列方程即可． 【详解】解：数的相反数是，这个数的是g， 根据题意可得． 故答案为：． 【变式2】某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． 【答案】 【分析】本题主要考查列一元一次方程，主要根据题意中的关系，列出部分关系是解题的关键． 首先根据题意利用总人数列出女生人数为人，再利用男生人数比女生人数多20人由此列方程即可． 【详解】解：由题意得：女生人数为人， ∵男生人数比女生人数多20人， ∴， 故答案为：． 【变式3】3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了方程，找到正确的等量关系是解题的关键. 【详解】解：由题意得八年级师生植树量可表示为， 则可列方程为：， 故答案为： ． 【变式4】根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重，便可以列出方程； （2）根据题意，可得数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克，结合所设，便可以得到方程； （3）根据列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了，可以列出相应数量关系：原来时间-现在时间=2h. 【详解】（1）解：根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重， 可得方程； （2）解：根据数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克， 可得到方程：； （3）解：根据数量关系：技术改造前运行时间-技术改造后运行时间=， 可得到方程：． 题型03 ；利用公式等基本数量关系列方程 【典例1】根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 【变式1】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； 【变式2】如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程_______． 【答案】 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故答案为：． 【变式3】现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 【变式4】列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程． （1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可； （2）根据女生人数总人数女生所占的比例，列出方程即可； （3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可； （4）根据第一小组平均每天种树的棵数第二小组平均每天种树的棵数，列出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得； （4）解：根据题意，得． 题型04 检验一个数是不是方程的解 【典例1】判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题； （2）将代入方程左边并求解判断，即可解题； （3）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （2）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （3）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 【变式1】检验是不是方程的解． 【答案】不是方程的解 【分析】将代入方程，判断等式是否成立即可． 【详解】解：当时，左边，右边， 由于左边右边， 则不是方程的解． 【变式2】检验下列各数是不是方程的解： (1) (2) 【答案】(1)不是方程的解 (2)是方程的解 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把代入运算，对比两边的数是否能使等号成立即可判断； （2）把代入运算，对比两边的数是否能使等号成立即可判断． 【详解】（1）将代入方程左边：，右边， 左边右边， 所以不是方程的解； （2）将代入方程左边：，右边，左边右边，所以是方程的解． 【变式3】是下列哪个一元一次方程的解？ ①，②，③，④． 【答案】④ 【分析】本题考查了方程的解． 通过将代入每个方程，计算左右两边是否相等，从而判断是否为方程的解． 【详解】解：对于方程①：代入，得，不等于1，故不符合题意； 对于方程②：代入，得，不等于，故不符合题意； 对于方程③：代入，得，不等于2，故不符合题意； 对于方程④：代入，得，等于右边0，故符合题意； 因此，是方程④的解． 【变式4】一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 题型05 已知方程的解求参数 【典例1】已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【变式1】若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． 【变式2】若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：， 解得． 【变式3】若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 【变式4】已知关于x的方程的解是，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程得， 解得：， 答：的值是． 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 【答案】D 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 3．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． 4．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 5．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 6．已知是方程的解，则的值为________ 【答案】5 【分析】根据方程解的含义，将代入方程，求出的值，再计算即可． 【详解】解：是方程的解， 则， 解得， 将代入可得，． 7．若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 8．判断是否为下列方程的解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查了方程的解的定义，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （2）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （3）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （4）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断． 【详解】（1）解：将代入，等号左边，右边， ∵左边右边 ∴不是的解； （2）解：将代入，等号左边，等号右边， ∵左边右边 ∴是的解； （3）解：将代入，等号左边，右边， ∵左边右边 ∴不是的解； （4）解：将代入，等号左边，等号右边， ∵左边右边 ∴是的解． 9.方程与方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程． 求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，准确将文字语言转化为数学表达式是解题的关键． （1）分别表示出与的差，的倍，即可列出方程； （2）分别表示出的倍，的一半，即可列出方程． 【详解】（1）解：与的差表示为：，的倍表示为：，故所列方程为：； （2）的倍表示为，的一半表示为，故所列方程为：． 11．根据题意，列出下列方程． (1)x的5倍与2的和等于x的与4的差； (2)一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出一元一次方程，正确结合已知得出等量关系是解题关键． （1）先表示出x的5倍与2的和为，再表示出x的与4的差为，再根据相等关系列方程即可； （2）根据所得的总积分为21分，可以列出相应的方程． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设该队前9场比赛共胜了x场，则平了场．根据题意，． 12．根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （）设这个数为，根据题意列出方程即可； （）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可； （）设大约周后树苗长高到，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 1．下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 【详解】解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 2．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 3．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 4．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 5．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 6．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 7．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，相反数的定义等知识，，掌握相关知识是解题的关键．首先求出方程的解为，根据相反数的定义得到方程的解为，代入求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于x的方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的方程的解是， 把代入方程，得：， 解得：． 8．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【详解】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 9．根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 10．是不是方程和的解？ 【答案】是方程和的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键； 根据题意，把分别代入和，看是否使方程左右两边相等，然后即可求解； 【详解】解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 11．方程与方程的解相等，求a的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的同解方程，解答本题的关键是理解方程的解．先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 【详解】解：由解得， ∴方程的解也是， ∴把代入， 得， 移项，得， 合并同类项，得系数化为1， 得， ∴故的值为4． 12．【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 【答案】(1) 117 (2) 20 【分析】本题主要考查了方程的应用． 对于（1），根据目标心率等于最大心率乘以计算； 对于（2），设他的年龄为x岁，根据题意列出方程，求出解． 【详解】（1）解：（次/分钟）， 所以，她的目标心率为117次/分钟； （2）解：设他的年龄为x岁，根据题意，得 ， ， ， 所以，他的年龄是20岁． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 方程与列方程 教学目标 1.知道方程、方程的解的概念； 2.掌握列方程的基本方法，会根据题目中的数量关系列简单方程； 3.会检验一个数是不是方程的解； 教学重难点 1.重点 理解方程的概念、掌握列方程 2.难点 列方程； 知识点01 方程的概念 1. 方程 含有未知数的等式叫作方程.在方程中，所含的未知数又称为“元”. 2.方程的解 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解. 【要点提醒】 ①方程必须是等式；②方程中必须含有未知数。 【即学即练】 1.下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2. 如果是方程的解，那么的值是 ． 知识点02 列方程 1. 列方程 把题目中的等量关系用含有未知数的等式表示出来的过程叫作列方程。 2. 列方程的基本步骤 ①审：审清题意，分清已知量、未知量，梳理数量关系； ②设：设未知数； ③找：找等量关系； ④列：列方程。 3. 找等量关系的技巧 ①抓住关键词：比什么多（少）……，一共……，和……相等，是……几倍，用去……还剩……等等； ②利用公式：周长公式，面积公式，路程公式，总价与单价、数量的关系式等等； ③利用不变量等基本数量关系：总量不变，路程不变，总价不变，体积不变等等； 4 方程法、算术法解题的区别 ①算术法是逆向思维，从结果倒推； ②列方程是顺向思维，把未知量当作已知数，顺着题意正向翻译文字，方程思想是初中解决问题的核心方法。 【要点提醒】 设未知数要带单位，且关注单位是否统一；等量关系要正确、全面反映题意。 【即学即练】 1. 根据下列条件列出方程： (1)一个正方形的边长为x cm,周长为36cm; (2)14减去数x的一半所得的差是6; (3)甲队有28人，乙队有x人，甲队人数比乙队多3; (4)爱心志愿队共有50名队员，其中女队员有y人，男队员比女队员多2人. 题型01 方程的辨析 【典例1】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【变式2】．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 题型02 利用关键词列方程 【典例1】根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【变式1】一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 【变式2】某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． 【变式3】3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为______． 【变式4】根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 题型03 ；利用公式等基本数量关系列方程 【典例1】根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【变式1】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； 【变式2】如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程_______． 【变式3】现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【变式4】列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 题型04 检验一个数是不是方程的解 【典例1】判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【变式1】检验是不是方程的解． 【变式2】检验下列各数是不是方程的解： (1) (2) 【变式3】是下列哪个一元一次方程的解？ ①，②，③，④． 【变式4】一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 题型05 已知方程的解求参数 【典例1】已知关于的方程的解是，求的值． 【变式1】若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【变式2】若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【变式4】已知关于x的方程的解是，求a的值． 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 3．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 4．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 6．已知是方程的解，则的值为________ 7．若是关于的方程的解，则的值为________． 8．判断是否为下列方程的解： (1)； (2)； (3)； (4)． 9.方程与方程的解相同，求k的值． 10．根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 11．根据题意，列出下列方程． (1)x的5倍与2的和等于x的与4的差； (2)一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 12．根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 1．下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 2．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 3．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 4．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 6．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 7．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 8．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 9．根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 10．是不是方程和的解？ 11．方程与方程的解相等，求a的值． 12．【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $