专题2.3 一次式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦一次式核心知识点，从一次单项式概念切入，扩展到一次式构成，通过同类项辨析与合并搭建运算基础，系统讲解一次式加减和数字乘法运算，结合能被3、5、9整除的数的特征实现知识应用。 资料以“即学即练+典例变式”为主线，实例辨析强化抽象能力，分步运算提升运算能力，数的整除探究培养模型意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，实现从概念到应用的递进。

专题2.3 一次式 教学目标 1．理解一次式的概念； 2．理解一次的同类项概念，会进行一次式同类项的合并. 3．会进行一次式的加减计算； 4．会进行数字与一次式的乘法计算. 教学重难点 1.重点 理解一次式的概念，能进行简单的一次式的计算； 2.难点 同类项的辨析与一次式的计算。 知识点01 一次式的概念 1. 一次单项式 像：x、-、这样，每个代数式都是含有一个指数是1的字母与非零的数字的乘积，这样的代数式叫作一次单项式。在一次单项式中，数字因数叫作单项式的系数， x可以看作1x，所以单项式x、--、的系数分别是1，-，. 【要点提醒】 ①一个字母，像2ab不能称之为一次单项式； ②非零数字与字母的乘积。像可以看成所以它是一次单项式；像它是数字与字母的商，所以它不是一次单项式。 ③确定单项式的系数时要连同前面的符号一起确定。 2.一次式 一个或几个一次单项式的和，或几个一次单项式与数字的和的代数式叫作一次式.如：x、-a+2b、m+3、5x-3y+4.都是一次式，在一次式中含有字母的项叫作一次项，不含字母的数字叫作常数项。 【要点提醒】 几个一次单项式的差也可以看成是几个单项项式的和，比如5x-3y可以看成是5x与-3y的和。 【即学即练】 1.指出下列代数式中的一次式，并指出一次式的一次项、常数项、及一次项的系数。 +3、5-2y²、3xy、-9、、-x+2y-1. 知识点02 一次式的同类项 1. 同类项 一次单项式4y与-y所含字母相同，这样的一次式叫做同类项。所有常数项都是同类项. 2.合并同类项 把同类项合并成一项，叫作合并同类项． 合并同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加． 【要点提醒】 ①不是同类项的不能合并。如2x+3y ②同类项合并时系数要连同前面的符号一起计算。 【即学即练】 1. 合并同类项： (1)2m+6m=_______ (2)2m-6m=________ (3)-2m-6m=_____; (4)-2m+6m=________ 知识点03 一次式的计算 1. 一次式的加减 （1）几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 （2）计算的步骤： ①去括号 ②合并同类项 （3）有理数运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即： 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号内各项都不变；如：+(2x+6)=2x+6 括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号内各项都变号.如：-(1.5x-1）=-1.5x+1 2. 数与一次式的乘法 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加. 如：6(m-3)=6m-18; -7(n-3m)=-7n+21m 【即学即练】 1. 计算 （1）(a+2)-(-9a-3) （2）3(6m-8)-2(1-2m) 知识点04 能被3、5、9整除的数的特征 1. 能被5整除数的特征 如果表示一个百位数是a，十位数是b，个位数是c的三位数，则=100a+10b+c，（100a+10b）一定能被5整除，所以能被5整除的条件是c=0或5. 2. 能被3整除数的特征 如果表示一个百位数是a，十位数是b，个位数是c的三位数，则=100a+10b+c=，一定能被3整除，所以能被3整除的条件是 的和是3的倍数. 2. 能被9整除数的特征 如果表示一个百位数是a，十位数是b，个位数是c的三位数，则=100a+10b+c=，一定能被9整除，所以能被9整除的条件是 的和是9的倍数. 题型01 一次式子的辨析 【典例1】在代数式中，一次式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列代数式中，不是一次式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．一次式的一次项是 _________． 【变式3】一次式中的一次项系数是_______． 【变式4】一次式中b的系数是_____________________，常数项是_______． 题型02 一次式的同类项 【典例1】一次式中是一次同类项是______. 【变式1】合并同类项：_____． 【变式2】合并同类项：______． 【变式3】合并下列一次式中的同类项 (1)； (2) 【变式4】合并同类项：__________． 题型03 一次式子的加减 【典例1】求一次式减去一次式的差，并求当，时该差的值． 【变式1】（1）求一次式的和； （2）求减去的差． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 【变式4】小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 题型04 数字与一次式相乘 【典例1】 计算：． 【变式1】计算： 【变式2】当时，求一次式的值． 【变式3】一次式和的值互为相反数，则的值是______． 【变式4】已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 题型05 能被3、5、9整除数的特征 【典例1】 一个三位数，求出所有满足已知条件的三位数： (1)这个三位数是偶数； (2)这个三位数能被5整除； (3)这个三位数能被3整除． 【变式1】下列判断错误的是（    ） A．如果一个正整数的个位上的数字是2，那么它一定能被2整除 B．能被2、5整除的最小正整数是10 C．如果一个正整数能被5整除，那么它个位上的数字是5 D．如果一个数能被9整除，那么它一定能被3整除 【变式2】一个三位数能被3、5整除，这个三位数最小为________． 【变式3】下列说法错误的是（    ） A．三个连续正奇数的和能被6整除； B．三个连续正偶数的和能被6整除； C．三个连续正奇数的和能被3整除； D．三个连续正偶数的和能被3整除． 【变式4】阅读下面材料，并解答问题． 材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即，则称这个三位数为“好”数，（例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：，所以231是“好”数．） 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：，9÷9＝1，所以108一定能被9整除． (1)阅读材料1，请判断725是否为“好”数，并说明理由． (2)根据材料1和2，求所有小于400且能被9整除的“好”数． 1.下列说法中，错误的是（   ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 2.下列各式中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 3.下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 4.一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 5.一次式的一次项的系数是________________． 6.一次式的一次项是_____． 7.王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． 8.若一个一次式与的和是，那么这个一次式是_______． 9.一次式  中，一次项是__________，常数项 是__________ 10.用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 11.指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 12.计算 (1)； (2)． 13.如图，用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是，它的长是．如何用一次式表示这根铁丝的长度？ 14.已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 15.解答 (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 1．下列代数式中，一次式是（   ） A． B． C． D． 2.下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 3．关于一次式，说法错误的是（ ） A．的一次项是，，， B．的常数项是2 C．和是同类项 D．和是同类项 4．已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 5．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． 6．一次式 中，一次项系数是_______． 7．一次式的一次项系数与常数项的和是________． 8．如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 9．若一次式的值为3，那么一次式=__________． 10．若是关于的一次式，则______． 11.当 ， 为何值时，关于 的代数式 为一次式？ 12．一次式与的值互为相反数，求的值 13. 计算： (1)； (2)． 14.甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车距离是多少？ 15．数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一次式 教学目标 1．理解一次式的概念； 2．理解一次的同类项概念，会进行一次式同类项的合并. 3．会进行一次式的加减计算； 4．会进行数字与一次式的乘法计算. 教学重难点 1.重点 理解一次式的概念，能进行简单的一次式的计算； 2.难点 同类项的辨析与一次式的计算。 知识点01 一次式的概念 1. 一次单项式 像：x、-、这样，每个代数式都是含有一个指数是1的字母与非零的数字的乘积，这样的代数式叫作一次单项式。在一次单项式中，数字因数叫作单项式的系数， x可以看作1x，所以单项式x、--、的系数分别是1，-，. 【要点提醒】 ①一个字母，像2ab不能称之为一次单项式； ②非零数字与字母的乘积。像可以看成所以它是一次单项式；像它是数字与字母的商，所以它不是一次单项式。 ③确定单项式的系数时要连同前面的符号一起确定。 2.一次式 一个或几个一次单项式的和，或几个一次单项式与数字的和的代数式叫作一次式.如：x、-a+2b、m+3、5x-3y+4.都是一次式，在一次式中含有字母的项叫作一次项，不含字母的数字叫作常数项。 【要点提醒】 几个一次单项式的差也可以看成是几个单项项式的和，比如5x-3y可以看成是5x与-3y的和。 【即学即练】 1.指出下列代数式中的一次式，并指出一次式的一次项、常数项、及一次项的系数。 +3、5-2y²、3xy、-9、、-x+2y-1. 【分析】本题考查了一次式的概念。 【详解】解：一次式有、-x+2y-1； 的一次项是，没有常数项，的系数是； -x+y-1的一次项是，常数项是-1，的系数是1，的系数是2. 知识点02 一次式的同类项 1. 同类项 一次单项式4y与-y所含字母相同，这样的一次式叫做同类项。所有常数项都是同类项. 2.合并同类项 把同类项合并成一项，叫作合并同类项． 合并同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加． 【要点提醒】 ①不是同类项的不能合并。如2x+3y ②同类项合并时系数要连同前面的符号一起计算。 【即学即练】 1. 合并同类项： (1)2m+6m=_______ (2)2m-6m=________ (3)-2m-6m=_____; (4)-2m+6m=________ 【分析】本题考查了合并同类项法则，合并同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数直接相加． 【详解】解：（1）2m+6m=(2+6)m=8m (2)2m-6m=(2-6)m=-4m (3)-2m-6m=(-2-6)m=-8m (4)-2m+6m=(-2+6)m=4m. 知识点03 一次式的计算 1. 一次式的加减 （1）几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 （2）计算的步骤： ①去括号 ②合并同类项 （3）有理数运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即： 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号内各项都不变；如：+(2x+6)=2x+6 括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号内各项都变号.如：-(1.5x-1）=-1.5x+1 2. 数与一次式的乘法 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加. 如：6(m-3)=6m-18; -7(n-3m)=-7n+21m 【即学即练】 1. 计算 （1）(a+2)-(-9a-3) （2）3(6m-8)-2(1-2m) 【分析】本题考查了一次式的加减以及数与一次式的相乘。 【详解】解：（1）(a+2)-(-9a-3) (2) 解：3(6m-8)-2(1-2m) 知识点04 能被3、5、9整除的数的特征 1. 能被5整除数的特征 如果表示一个百位数是a，十位数是b，个位数是c的三位数，则=100a+10b+c，100a+10b一定能被5整除，所以能被5整除的条件是c=0或5. 2. 能被3整除数的特征 如果表示一个百位数是a，十位数是b，个位数是c的三位数，则=100a+10b+c=，一定能被3整除，所以能被3整除的条件是 的和是3的倍数. 2. 能被9整除数的特征 如果表示一个百位数是a，十位数是b，个位数是c的三位数，则=100a+10b+c=，一定能被9整除，所以能被9整除的条件是 的和是9的倍数. 题型01 一次式子的辨析 【典例1】在代数式中，一次式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一次式的概念，含有一个一次单项式或几个一次单项式与数字和的代数式叫作一次式.每个单项式式都是含有字母与非零的数字的乘积． 【详解】解：在代数式中，一次式有，共3个， 故选：B． 【变式1】下列代数式中，不是一次式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次式的概念，含有一个一次单项式或几个一次单项式与数字和的代数式叫作一次式.每个单项式式都是含有字母与非零的数字的乘积． 【详解】解：∵ 一次式要求字母指数为， 选项A：，字母的指数为； 选项B：，字母和的指数均为； 选项C：，字母的指数为； 选项D：，是常数项，没有字母。 ∴ 不是一次式的是选项D． 故选：D． 【变式2】．一次式的一次项是 _________． 【答案】 【分析】在一次式中含有字母的项叫作一次项。 【详解】解：中一次项是， 故答案为：． 【变式3】一次式中的一次项系数是_______． 【答案】 【分析】在一次式中一次项的数字因数叫作这个项的系数。 【详解】解：在表达式 中，是一次项，其系数为， 因此一次项系数是， 故答案为：． 【变式4】一次式中b的系数是_____________________，常数项是_______． 【答案】 1 【分析】在一次式中一次项的数字因数叫作这个项的系数，不含字母的项叫作常数项。 【详解】解：一次式中b的系数是，常数项是1． 故答案为：，1． 题型02 一次式的同类项 【典例1】一次式中是一次同类项是______. 【答案】和 【分析】在一次式中，含有相同的字母的项叫作同类项． 【详解】解：一次式中是一次同类项是和． 故答案为：和． 【变式1】合并同类项：_____． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据“同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】合并同类项：______． 【答案】 【分析】根据合并同类项的运算法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变解答即可．本题考查了合并同类项的运算法则，熟练运用合并同类项的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为． 【变式3】合并下列一次式中的同类项 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则：字母和字母指数不变，只把系数相加减． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型03 一次式子的加减 【典例1】求一次式减去一次式的差，并求当，时该差的值． 【答案】， 【分析】本题考查了列代数式，代数式化简求值等相关内容，根据题意列出代数式，化简再代入求值即可. 【详解】解：由题意得： 当，时，原式. 【变式1】（1）求一次式的和； （2）求减去的差． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的加减应用，根据题意分别正确列式是解题的关键． （1）因为求的和，所以列式，再合并同类项，即可作答． （2）因为求减去的差，所以列式，然后去括号合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1） （2） 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，解题的关键是掌握去括号法则，以及合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减． （1）按照去括号和合并同类项法则进行计算即可； （2）按照去括号和合并同类项法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解题关键．根据和与加数的关系，所求一次式等于和减去已知加数，即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4】小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减运算，设另一个一次式为，根据题意求得，再计算与的差，即可求解． 【详解】解：设另一个一次式为， 依题意， ∴正确的答案是 故答案为：． 题型04 数字与一次式相乘 【典例1】 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式加减运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．去括号后合并同类项即可解答． 【详解】 解：原式 【变式2】当时，求一次式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，先去括号，再合并同类项将整式化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式3】一次式和的值互为相反数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程， 先根据相反数的定义得，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 【变式4】已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据等式，得到，再代入A和C的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 题型05 能被3、5、9整除数的特征 【典例1】 一个三位数，求出所有满足已知条件的三位数： (1)这个三位数是偶数； (2)这个三位数能被5整除； (3)这个三位数能被3整除． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）三位数如果是偶数，则是2的倍数，只要该三位数个位是偶数即可确定答案； （2）三位数如果能被5整除，只要该三位数个位是或即可确定答案； （3）三位数如果能被3整除，只要该三位数各位上的数字之和为的倍数即可确定答案． 【详解】（1）解：当三位数个位是偶数时，这个三位数个位数字必是偶数， 所有满足条件的三位数是； （2）解：当这个三位数能被5整除时，这个三位数个位数字必是或， 所有满足条件的三位数是； （3）解：当这个三位数能被3整除时，这个三位数各位上的数字之和为的倍数， 所有满足条件的三位数是． 【点睛】本题考查整除概念，涉及偶数特征、3的倍数的特征、5的倍数的特征等知识，熟练掌握相关数的特征是解决问题的关键． 【变式1】下列判断错误的是（    ） A．如果一个正整数的个位上的数字是2，那么它一定能被2整除 B．能被2、5整除的最小正整数是10 C．如果一个正整数能被5整除，那么它个位上的数字是5 D．如果一个数能被9整除，那么它一定能被3整除 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，整除的概念，掌握整除的概念是解题的关键． 根据整除的概念“指被除数能够被除数整除，即除尽的数”进行分析即可求解． 【详解】解：A、如果一个正整数的个位上的数字是2，那么它一定能被2整除，正确，不符合题意； B、2和5的最小公倍数为，能被2、5整除的最小正整数是10．故正确，不符合题意； C、一个数能被5整除的条件是它的个位数字是0或5， ∴如果一个正整数能被5整除，那么它个位上的数字是5，故原选项错误，符合题意； D、∵是的倍数， ∴如果一个数能被9整除，那么它一定能被3整除，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】一个三位数能被3、5整除，这个三位数最小为________． 【答案】105 【分析】本题考查了倍数；由题意知这个三位数的百位为1，根据3的倍数与5的倍数的特征即可确定最小三位数． 【详解】解：由题意知这个三位数的百位为1， 百位数字为1的3的倍数有：102，105，108，120，…， 百位数字为1的5的倍数有：105，110，115，…， 由上可知满足条件的三位数为：105； 故答案为：105． 【变式3】下列说法错误的是（    ） A．三个连续正奇数的和能被6整除； B．三个连续正偶数的和能被6整除； C．三个连续正奇数的和能被3整除； D．三个连续正偶数的和能被3整除． 【答案】A 【分析】本题考查奇偶数，整除的概念，通过设三个连续正奇数和正偶数，计算它们的和，并验证是否能被6或3整除． 【详解】解：A、三个连续正奇数设为（n为非负整数），其和为， ∵为奇数， ∴为奇数，不能被2整除，故不能被6整除，∴A错误； B、三个连续正偶数设为（n为正整数），其和为，能被6整除，∴B正确； C、三个连续正奇数设为（n为非负整数），其和为，而能被3整除，∴C正确； D、三个连续正偶数设为（n为正整数），其和为，而能被3整除，∴D正确， 故选：A． 【变式4】阅读下面材料，并解答问题． 材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即，则称这个三位数为“好”数，（例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：，所以231是“好”数．） 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：，9÷9＝1，所以108一定能被9整除． (1)阅读材料1，请判断725是否为“好”数，并说明理由． (2)根据材料1和2，求所有小于400且能被9整除的“好”数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)369、333、297 【分析】本题主要考查了新运算的应用，明确“好”数的定义以及能被整除的数的特征是解答本题的关键． （1）根据“好”数的特征，百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，据此判断即可； （2）根据能被9整除的数的特征可知，三位数数位数字之和能被9整除该数即可能被9整除，即三位数如果能被9整除，则数位数字之和为27、18、9，而题干要求小于400且能被9整除的“好”数．考虑999的数位数字之和是27，而，故只需考虑数位数字和为18和9即可，然后结合“好”数的特征分情况讨论计算即可求出所有小于400且能被9整除的“好”数即可解答． 【详解】（1）解：725是“好”数，理由如下： ， 所以：725是“好”数． （2）解：由题可知，若一个整数各个数位上的数字之和能够被9整除，则这个整数一定能够被9整除， 因为最大的三位自然数为999，三个数位数字和是27，且三位自然数要小于400， 所以三位自然数的数位数字和不可能得到27， 所以小于27且是9的倍数的数位数字之和有18和9， 设这个三位自然数是， 根据三位数符合“好”数的特征，则： ，化简整理得解得： 即该数是369，符合“好”数的特征， 故且时，三位数369符合“好”数的特征； 当时，且根据三位数符合“好”数的特征，则： ，化简整理得解得： 即该数是333，符合“好”数的特征， 故且时，三位数333符合“好”数的特征； 答：所有大于300小于400且能被9除的“好”数有369、333． 1.下列说法中，错误的是（   ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 【答案】B 【分析】本题考查代数式的基本概念，包括同类项、一次式的定义以及系数的概念．正确理解同类项（字母相同且指数相同）、一次式（次数最高项为1）和系数（数字因子）的定义是解题关键． 根据同类项、一次式的定义以及系数的概念求解即可． 【详解】A：常数项不含字母，都是同类项，正确； ∵一次式是指次数为1的整式，而常数项（如）的次数为0， ∴不是一次式，故B错误． C：多项式中各项次数均为1，故为一次式，正确； D：的系数为，正确． 故选：B． 2.下列各式中，合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知合并同类项的方法．根据合并同类项的方法即可依次判断． 【详解】解：A．，故A错误； B．，不是同类项，不能合并，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 3.下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母y的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 4.一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，解答时合并同类项即可．根据已知条件可设此多项式为M建立等式解得即可． 【详解】解： 故选：C 5.一次式的一次项的系数是________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差）叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项项次数，就是这个多项式的次数．一次项中的数字因数就是一次项的系数． 根据多项式的概念即可得到答案． 【详解】解：依题意，中的一次项是，系数是， 故答案为：． 6.一次式的一次项是_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义．根据一次项是指多项式中次数为1的项，即可求解． 【详解】解：一次式，一次项是，常数项是． 故答案为：． 7.王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴王老师捂住的一次式是． 故答案为：． 8.若一个一次式与的和是，那么这个一次式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的运算，根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵一个一次式与的和是， ∴这个一次式为： ． 故答案为：． 9.一次式  中，一次项是__________，常数项 是__________ 【答案】 / 2 【分析】本题主要考查单项式，多项式的知识，掌握其概念是解题的关键． 根据定义“只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数”即可求解． 【详解】解：一次式中的一次项是，常数项是． 10.用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 【答案】580 【分析】本题考查了数的整除，由于该数需同时被2和5整除，根据2和5的倍数特征，个位数字必须为0，因此，三位数的个位固定为0，百位不能为0，故从剩余数字5和8中选择较小的5作为百位，十位为8，组成最小三位数580，熟练掌握2和5的倍数特征是解此题的关键． 【详解】解：∵要同时被2和5整除， ∴个位必须为0， ∴百位可选5或8， ∵为得到最小三位数， ∴百位取较小数字5，十位为剩余数字8， 故数为580， 故答案为：580． 11.指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 【答案】(1)和是同类项； (2)与是同类项，与是同类项，与是同类项． 【分析】本题考查了同类项的定义. 直接根据同类项的定义判断即可. 【详解】（1）解：根据同类项的定义可知：和是同类项； （2）解：根据同类项的定义可知：与是同类项，与是同类项，与是同类项． 12.计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减混合运算， （1）先去括号，再合并同类项求解即可； （2）先去括号，再合并同类项求解即可． 熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13.如图，用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是，它的长是．如何用一次式表示这根铁丝的长度？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，先列出代数式，并进行化简即可． 【详解】根据题意，铁丝的长为，即， 根据乘法对加法的分配律与乘法结合律，得 ． 14.已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 【答案】， 【分析】该题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确计算． 根据先化简，再代入，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 当，时， ． 15.解答 (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 1．下列代数式中，一次式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数，整式的加法和除法，掌握相关定义是解题关键．先对多项式化简，再根据一次式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，是常数项，不符合题意，选项错误； B、，次数是1，符合题意，选项正确； C、，次数是2，不符合题意，选项错误； D、是3与x的商，不符合题意，选项错误； 故选：B． 2.下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母x的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 3．关于一次式，说法错误的是（ ） A．的一次项是，，， B．的常数项是2 C．和是同类项 D．和是同类项 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的项，同类项的定义，掌握这些知识是解题的关键．多项式中不含字母的项叫做常数项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A．的一次项是，，，，故A正确，不符合题意； B．的常数项是，，故B错误，符合题意； C．和是同类项，故C正确，不符合题意； D．和是同类项，故D正确，不符合题意． 故选：B． 4．已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项最高次数为1的代数式是一次式． 根据一次式的定义得出，进行解题即可． 【详解】解：∵是关于x的一次式， ∴， 则， 故选：C． 5．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的加减，解答此题的关键是要明确：整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 根据整式减法的运算方法，用减去，求出所捂的一次二项式即可． 【详解】解：∵所捂的一次二项式与的和是 ∴所捂的一次二项式 ， 故选：A． 6．一次式 中，一次项系数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的一次项系数的概念，识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：在表达式中，是一次项，其系数为， 因此一次项系数是． 故答案为：． 7．一次式的一次项系数与常数项的和是________． 【答案】 【分析】题目主要考查多项式的化简，将给定式子化简为一般形式，识别一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 【详解】解：，其中一次项系数为，常数项为 ， ∴它们的和为 ， 故答案为 ． 8．如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．设这个一次式是，由题意得，求出表示的式子即可解答． 【详解】解：设这个一次式是， 由题意得，， ， 这个一次式是． 故答案为：． 9．若一次式的值为3，那么一次式=__________． 【答案】3 【分析】根据题意列出关系式，所求式子变形后将关系式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：，即， ． 故答案为：3. 【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型． 10．若是关于的一次式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据一次式的定义，多项式最高次数为1，因此项系数为零，且的指数为1． 【详解】解：因为式子是关于的一次式， 所以项的系数， 解得：； 同时必须是一次项， 故， 解得：． 因此． 故答案为：． 11.当 ， 为何值时，关于 的代数式 为一次式？ 【答案】，且 【分析】根据题意，令二次项的系数为，且一次项的系数不为，得出，且，解答即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且． 答：当，且时，关于 的代数式 为一次式． 12．一次式与的值互为相反数，求的值 【答案】 【分析】本题考查了相反数，一元一次方程的应用，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义列方程求解即可． 【详解】解：一次式与的值互为相反数， ， 解得：． 13. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先利用去括号法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14.甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握速度、路程和时间的关系． （1）根据甲车、乙车的速度和甲、乙两车间距离，列出代数式即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：经过后两车的距离为： ； （2）解：， 把代入得： ． 答：经过，两车距离是． 15．数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3)同意，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $