1.5 空间向量法求空间中的位置关系预习讲义-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

专题1.5 空间向量法求空间中的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：求平面的法向量】 2 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 5 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 6 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 8 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 11 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 11 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 14 【知识梳理】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 2． 空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则，使得； (2)线面平行的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. (3)面面平行的向量表示：设分别是直线与的法向量，则，使得. 3．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则. (2)线面垂直的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. (3)面面垂直的向量表示：设分别是直线与的法向量，则. 【考点1：求平面的法向量】 1．（第七章应用空间向量解立体几何问题拓展专题二平面法向量求法及其应用微点2平面法向量求法及其应用（二）【培优版】）已知点，，，求平面的一个法向量的坐标． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 4．（2026高二·全国·专题练习）已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 1．（25-26高二下·浙江·期中）（多选）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 2．（2026·福建·二模）（多选）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 3．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）（多选）正方体中，点分别为棱的中点，则（  ） A． B．平面 C．平面 D． 4．（25-26高二上·浙江丽水·期末）（多选）已知正方体的棱长为，点为中点，动点在正方形内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的长度是 B．若平面，则的最小值是 C．若，则点的轨迹长度是 D．若平面，则点的位置唯一 5．（2026·辽宁沈阳·三模）（多选）在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为 D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 2．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 4．（2026高二·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，， 的中点分别为，点在上，．求证：平面. 5．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 1．（2026·广东佛山·一模）（多选）在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（   ） A． B．有且仅有一个点，使得 C．有且仅有一个点，使得 D．有且仅有一个点，使得平面平面 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）正八面体由八个完全相同的面构成，每个面都是等边三角形，它可以看作是两个所有棱长相等且底面重合的正四棱锥拼接而成的.如图，多面体是一个正八面体，是该正八面体的中心.    (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 1．（2026·江苏扬州·二模）在正方体中，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在正方体中，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 1．（25-26高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 2．（2026·山东·一模）已知正方体，E，F分别是，的中点，如图所示．    (1)求与所成角的大小； (2)求证：平面． 3．（25-26高三上·上海·期中）在正四棱柱中，为的中点．      (1)取中点中点，求证：平面． (2)求点到平面的距离． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：    (1)平面平面； (2)平面. 5．（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 1．（1.2.2空间中的平面与空间向量——课后作业（巩固版））如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 2．（第一章空间向量与立体几何（知识清单 典型例题））如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 3．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 5．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 空间向量法求空间中的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：求平面的法向量】 2 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 7 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 15 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 21 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 29 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 33 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 39 【知识梳理】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 2． 空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则，使得； (2)线面平行的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. (3)面面平行的向量表示：设分别是直线与的法向量，则，使得. 3．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则. (2)线面垂直的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面与的法向量，则. 【考点1：求平面的法向量】 1．（第七章应用空间向量解立体几何问题拓展专题二平面法向量求法及其应用微点2平面法向量求法及其应用（二）【培优版】）已知点，，，求平面的一个法向量的坐标． 【答案】（答案不唯一） 【分析】待定系数法，设出法向量坐标后，利用垂直关系建立方程组，对赋值即可求解. 【详解】由已知可得，． 设是平面ABC的一个法向量， 则即 不妨取，得． ∴平面ABC的一个法向量的坐标为（答案不唯一）. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【答案】，； 【分析】根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. 【详解】依题意，， 直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得， 所以平面的法向量. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下， 由图可知，设， 则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 易知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出，设平面的法向量为，建立方程组，求出，即可求解； （2）根据条件求出和平面的一个法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）如图所示，以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）不存在，略. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 1．（25-26高二下·浙江·期中）（多选）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 【答案】BD 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误. 【详解】由为正方体， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则､. 对于选项，，则，故错误； 对于选项，，则，故正确； 对于选项，，故，故错误； 对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确. 故选：. 2．（2026·福建·二模）（多选）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明并结合线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，则，，，， 对于A，可得，， 则，得到，故A正确； 对于B，由题意得，，，， 则，，， 可得，得到， 可得，得到， 而平面，得到平面，故B正确； 对于C，由题意得，， 若，则，得到， 而不存在使方程组成立，即不成立，故C错误； 对于D，由题意得，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得到， 可得，得到平面，故D正确. 3．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）（多选）正方体中，点分别为棱的中点，则（  ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、直线方向向量与平面法向量的关系逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2. A：因为， 所以， 因为， 所以不成立，故本选项说法不正确； B：因为， 所以， 因为， 所以，而平面， 所以平面，因此本选项说法正确； C：设平面的法向量为， 因为，所以， 于是有，， 因为，平面， 所以平面，因此本选项说法正确； D：因为，所以，而， 显然不存在实数，使得成立，所以不成立，因此本选项说法不正确， 故选：BC 4．（25-26高二上·浙江丽水·期末）（多选）已知正方体的棱长为，点为中点，动点在正方形内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的长度是 B．若平面，则的最小值是 C．若，则点的轨迹长度是 D．若平面，则点的位置唯一 【答案】BCD 【分析】连接，取其中点，由中位线定理得，可判断A；建立空间直角坐标系并得出各点坐标，设，其中，利用坐标法分别判断选项BCD. 【详解】选项A：连接，取其中点，在中，为中位线，所以， 由于，所以，A错误；    选项B：    如图，以D为原点分别以DA、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 由于动点F在正方形内，可设，其中，， ，， 设平面的一个法向量为．则， 令，得，，故， 而，若平面，则， 则，即，所以， 此时，则， 当时，取最小值，故选项B正确； 选项C：， 因为，所以， 得，则点的轨迹如图线段，其中都为中点， 则，C正确；    选项D：若平面，则，． 由于，，， 则，解得：或（舍去）， 此时，即点F的位置唯一，故选项D正确. 故选：BCD 5．（2026·辽宁沈阳·三模）（多选）在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为 D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】选项A：通过向量共线判断,与坐标不成比例,故与不平行,A错误.选项B：计算与的数量积为0,可判断两直线垂直,B正确.选项C：利用面面平行确定点轨迹为线段,计算得,C正确.选项D：由线面垂直求出点坐标,再计算四面体外接球表面积为,D错误. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 正方体棱长为，各点坐标为，，，，， ，，，，. 选项A：，.两向量坐标不成比例，故与不平行，A错误. 选项B：，. ， 故，B正确. 选项C：取中点，中点，连接.， ，，，，. 可得，，. 平面，平面，且， 所以平面平面.点在正方形内且平面， 故点轨迹为线段，则，C正确. 选项D：，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得，即. 设，. 由平面得，即，解得，即. 四面体的顶点为，，，， 该四面体的外接球等价于以为邻边的长方体的外接球， 长方体的长宽高分别为，外接球直径， 外接球半径，表面积，D正确. 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需的点坐标，选项A，利用平行即可得出；选项B，求出平面的法向量，利用法向量与向量数量积为0即可判断；选项C，利用即可验证；选项D，利用即可说明. 【详解】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，分别以所在直线 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 选项A，因为， 所以，所以， 由平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B，， 设平面的一个法向量为， 由 由，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由， 所以，直线不在平面内， 故平面，故B正确； 选项C，由， 因为， 所以， 又因为，所以平面，故C正确； 选项D：由， 则，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故D错误， 故选：ABC. 2．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【答案】BC 【分析】利用基底来表示空间向量，结合向量的线性运算和空间向量共面定理，即可作出推断. 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 4．（2026高二·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，， 的中点分别为，点在上，．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的线性运算表示，根据垂直，利用数量积求得为的中点，再由中位线定理和平行传递性结合线面平行的判定求证. 【详解】 连接，设， 则，， 由可知，， 又因为，， 则， 解得，则为的中点， 因为分别为的中点， 所以且，所以， 又平面平面， 所以平面. 5．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 1．（2026·广东佛山·一模）（多选）在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（   ） A． B．有且仅有一个点，使得 C．有且仅有一个点，使得 D．有且仅有一个点，使得平面平面 【答案】AD 【分析】根据线线平行、线线垂直、面面平行的判定逐项判定即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以A正确；    对于选项B： 如图建立空间直角坐标系，设，，则. 则，要使得， 那么，无解，所以不存在点使得，所以B错误； 对于选项C： ，要使得， 那么，所以，解得或， 所以存在两个点使得，所以C错误； 对于选项D： ，所以， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以. ， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以， 要使得两平面平行，则，解得， 所以有且仅有一个点使得平面平面，所以D正确. 故选：AD.    2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）正八面体由八个完全相同的面构成，每个面都是等边三角形，它可以看作是两个所有棱长相等且底面重合的正四棱锥拼接而成的.如图，多面体是一个正八面体，是该正八面体的中心.    (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 连接，，，因为是该正八面体的中心，所以， 由正八面体的定义可知四边形是正方形，可得， 因为是该正八面体的中心，所以平面，所以，，两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设， 则，，，，，， 故，， 因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以，即. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，且， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）连接，，，证得，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，得到，证得，和，证得，结合线面平行的判定，证得平面和平面，进而证得平面平面. （2）分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以. 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以. 设平面与平面的夹角为，则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面平面，证明见解析 【分析】（1）分别连接、、、交对边于、、、点，推导出四边形为平行四边形，推导出，可得，即可证得结论成立； （2）推导出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 1．（2026·江苏扬州·二模）在正方体中，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 所以，， ，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在正方体中，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量计算其数量积即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则有、、、、 、、、， 故、、、、 、、， 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为0的性质逐项求解即可. 【详解】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直， 故选：B. 4．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 1．（25-26高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 2．（2026·山东·一模）已知正方体，E，F分别是，的中点，如图所示．    (1)求与所成角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2) 由， 可得，即， ，即， 又因为平面， 所以平面. 【分析】（1）利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，从而可求出角的大小； （2）利用空间向量法来证明线线垂直，即可证明线面垂直. 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为， 则有 即，， 因为E，F分别是，的中点，所以 则， 因， ，则， 则与所成角的大小为； （2）略 3．（25-26高三上·上海·期中）在正四棱柱中，为的中点．      (1)取中点中点，求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，写出点坐标，求出平面的一个法向量，再证明即可； （2）根据点到面的距离公式求解即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 所以． 设平面的法向量为，则， 令，解得． 又∵， 所以平面． （2）平面的法向量，， ∴点到平面的距离． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：    (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量来证明平面平面. （2）通过直线的方向向量和平面的法向量来证明平面. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，，，，. 设平面的法向量为， ∵，，，， ∴，∴令，则， 设平面的法向量为， ∴，∴令，则， ∴， ∴平面平面.    （2）∵，分别为，的中点，∵，， ∴，∴， ∴平面. 5．（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； (2)存在点，当与重合时，使得∥平面.证明：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 1．（1.2.2空间中的平面与空间向量——课后作业（巩固版））如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，即可由线面垂直求证面面垂直. 【详解】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 2．（第一章空间向量与立体几何（知识清单 典型例题））如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由题意得两两垂直．以B为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面、平面AEC1的一个法向量，证明可得答案. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 3．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1) 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． (2) 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定得到平面.然后利用向量的数量积为零得到，进而得证； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量的数量积为零得到，进而得到平面平面. 【详解】（1）由题意，知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    设正方形的边长为2，则，，，，，，， . 由题意知，， 又因为，平面， 所以平面. 因为，，所以，即. 又因为平面，故平面. （2）设平面与平面的法向量分别为，.因为，， 所以，即， 令，则平面的一个法向量为. 因为， 可得，即， 令，则平面的一个法向量为. 因为， 所以，所以平面平面. 5．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明：在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以． 因为是正三角形，D是中点，所以． 又，，平面，所以平面． (2)或2 【分析】（1）利用等边三角形的三线合一，可证明线线垂直，从而可得线面垂直； （2）利用面面垂直可得线面垂直，最后得到线线垂直，从而可用勾股定理求解边长；也可以用空间向量法来假设未知量，再列等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2． 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $