专题11.3 整式的除法（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦整式的除法核心知识点，系统梳理同底数幂除法法则及零指数幂规定，衔接单项式除以单项式、多项式除以单项式运算法则，构建从基础幂运算到整式混合运算的递进学习支架。 资料通过分层设计（知识点解析+即学即练+题型变式+综合练习），结合易错提醒与实际应用实例（如长方形面积计算、光传播时间问题），培养学生运算能力与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题11.3 整式的除法 教学目标 1. 理解同底数幂的除法法则，掌握零指数幂规定。 2. 理解单项式除以单项式运算法则，能分步完成单项式除法运算。 3. 掌握多项式除以单项式法则，会把多项式除法转化为单项式除法计算。 4. 能进行整式乘、除、加减混合运算，会化简后代入数值求值。 教学重难点 1.重点 同底数幂除法法则、零指数幂的正确使用，单项式除以单项式以及多项式除以单项式的运算。 2.难点 区分各种幂的性质、运算法则，理清运算顺序。 知识点01 同底数幂的除法 1. 同底数幂乘法的性质： 一般地，设m、n为正整数，m>n，a≠0，则有： = (m、n都是正整数，m>n，a≠0) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 零次幂 当a≠0时，÷=1.另一方面，依照同底数幂的除法性质，又有÷==. 于是规定: 即任何不等零的数的0次幂都等于1. 【易错提醒】 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【即学即练】 1.计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算最终结果． 【详解】解：①幂的乘方运算 ． ②同底数幂的除法运算 ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法运算，解题关键是牢记幂的运算法则，并按运算顺序逐步计算． 2. 计算：（   ） A．0 B．1 C．无意义 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了零指数幂，先计算括号内的表达式，遵循先乘除后加减的运算顺序，得出结果为0，再计算0的0次方，无意义． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 原式，无意义． 故选C． 知识点02 单项式除以单项式 运算法则：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除。 【即学即练】 1. 计算：_______． 【答案】 【分析】此题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键． 使用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 2．计算：． 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则计算出，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算，最后利用单项式除以单项式的运算法则即可解答．本题考查了幂的运算法则，单项式乘以单项式的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，牢记相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 知识点03 整式（多项式）除以单项式 运算法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【易错提醒】 多项式除以单项式，结果仍是多项式，项数不变。 【即学即练】 1. 计算的正确结果是______． 【答案】/ 【详解】解：． 2. 如果一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵长方形的面积为，宽为， ∴长方形的长为． 题型01 同底数幂的除法 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，需运用同底数幂的除法法则及幂的符号法则求解，即可作答． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，负数的奇次幂为负数 ∴， 故选：D． 【典例2】计算：______． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方法则化简原式的乘方部分，再根据同底数幂的除法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】若，且，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的除法法则，将已知条件、代入公式直接计算． 【详解】解：根据同底数幂的除法法则： 将、代入得： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，解题关键是熟练掌握的变形，直接代入已知值计算即可． 【变式2】在等式中，“”所表示的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂运算：通过等式变形，利用同底数幂的除法运算法则求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式3】若，则与之间的关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和除法法则．利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将等式两边化为同底数幂的形式，再根据底数相同指数相等的原则，得到关于m和n的方程，进而求解关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式4】计算： ______． 【答案】 【分析】先根据积的乘方法则化简． 再依次利用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，确定结果的符号即可得到答案． 【详解】解： ． 题型02 零次幂 【典例1】计算的结果是（    ）． A．7 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的运算，有理数的减法运算，掌握好相关知识是关键． 任何非零实数的零指数幂都等于1，化简后直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【典例2】当__________时，． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，根据零次幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，进行求解即可． 【详解】解：因为任何非零数的零次幂都等于1，所以当时，，即． 故答案为：． 【变式1】计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，解题关键是掌握零指数幂． 根据任何非零数的零指数幂等于1求解． 【详解】解：∵任何非零数的零指数幂都等于1，且， ∴， 故选：C． 【变式2】计算：______． 【答案】 【分析】先分别计算绝对值与零指数幂，再计算加法即可． 【详解】解：． 【变式3】计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，掌握好有理数混合运算的法则是关键． 先将零指数幂化简，再按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 【变式4】若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键． 首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 题型03 幂的混合运算 【典例1】 计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】__________． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2】若，则________． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 【变式3】___________． 【答案】 【详解】本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 解： 故答案为：． 【变式4】计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，解决本题的关键是掌握同底数幂的除法运算法则. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型04 单项式除以单项式 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则即可求解，本题主要考查整式的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【典例2】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【变式1】填空： （1）______________． （2）______________． （3）______________． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用积的乘方，单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 【变式2】计算的结果是：_________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算、单项式除以单项式，熟记运算法则是解本题的关键．先计算积的乘方运算，再计算单项式除以单项式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： ． 【变式3】计算的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可. 【详解】解：， 故答案为： 【变式4】2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 题型05 单项式乘除混合运算 【典例1】计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，整式的乘除，解题关键是注意运算顺序． 先计算积的乘方，幂的乘方，再计算整式的乘除． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式的除法．先根据乘方运算法则计算，再计算单项式的除法即可求解． 【详解】解： ． 【变式3】计算：_______________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则，单项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4】计算：（1）． （2）． 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，单项式除以单项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 【点睛】本题考查单项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是关键． 题型06 多项式除以单项式 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 运用多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】在等式中，括号内表示的整式是_________． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式即可得到结果． 【详解】设括号内的整式为， 由题意得， ． 【变式2】长方形的面积是，宽是，那么它的周长是_________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式求出长方形的长，再代入长方形周长公式计算即可． 【详解】解：长方形的长为：， 长方形周长为． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式4】计算：(1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型07 整式混合运算 【典例1】计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，单项式乘多项式的应用，整式乘法混合运算，计算单项式除以单项式，零指数幂等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先计算零次幂、中间的逆用积的乘方、最后的直接计算，再计算中间的运算，最后计算加减即可； （2）先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【详解】 （1） （2） （3） （4） 【典例3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，6 【分析】先用完全平方公式和平方差公式展开计算括号里的式子，再计算多项式除以单项式化简，然后代入具体数值计算即可；本题主要考查了化简求值，整式的四则混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ，时， 原式 ． 【变式1】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算多项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，以及合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． 【详解】 （1）解： ； （2）解： ． 【变式2】先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）先处理多项式除法，根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式b，得到，然后处理完全平方公式并展开括号，合并同类项得到化简式子，最后代入求值部分即可； （2）先处理平方差公式，然后处理多项式除法后展开括号，合并同类项得到化简式子，最后代入求值部分即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时， 原式． （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，最后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式4】学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： (1)如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； (2)已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据多项式除法法则列式计算即可； （）根据多项式除法法则得到，再化简左式，然后根据多项式相等的条件列式求出的值即可求解； 本题考查了整式的除法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴多项式为； （2）解：由题意得，， 即， ∴，， ∴，， ∴． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵，与不是同类项，不能合并，∴A计算错误； 选项B：∵，∴B计算错误； 选项C：∵，∴ C计算错误； 选项D：∵，∴ D计算正确． 2．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用同底数幂的除法法则将待求式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．的相反数是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先利用零指数幂的运算法则计算出给定表达式的值，再根据相反数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵ 任何非零数的次幂等于， ， ， 又∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是． 4．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，运算结果与等式一致，A正确； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误． 6．计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 7．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为______． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，长方形另一边长等于面积除以已知边长，利用多项式除以单项式的法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 长方形的面积为，一边长为， ∴ 它的另一边长为： ． 8．光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要______秒． 【答案】 【分析】根据时间=路程速度，列式计算即可． 【详解】解：秒． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查科学记数法的实际应用，同底数幂的除法，解题的关键是根据题意列出算式． 9．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用整数指数幂运算，幂的运算性质，整式乘法，完全平方公式和平方差公式，逐步化简计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．计算： (1)． (2)． (3)若的积中不含x项与项．求p，q的值； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵积中不含x项与项 ∴ 解得． 1．下列式子中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用完全平方公式、同底数幂乘除法则、多项式乘多项式法则，对各选项逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：根据完全平方公式计算，A错误． 选项B：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，B错误． 选项C：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，C正确． 选项D：根据多项式乘多项式法则计算，D错误． 2．已知，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．14 【答案】C 【详解】先利用表示出，然后利用同底数幂的除法计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别运用完全平方公式、零指数幂性质、单项式乘多项式法则、幂的乘方法则计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，选项A计算正确； B、，选项B计算错误； C、，选项C计算错误； D、，选项D计算错误． 4．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式性质，将m变形为多项式除以单项式，按照对应运算法则计算即可得到结果． 【详解】由已知等式可得： ， 多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 计算第一项：， 计算第二项：， ． 5．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可． 【详解】解：∵， ∴ ，则嘉嘉的说法正确． ∵的结果与x的取值无关， ∴， ∴，则琪琪的说法错误． 6．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，设多项式为 ，根据题意列出方程，通过代数运算求解即可． 【详解】解：设这个多项式为 ， 依题意得：， 移项得：， 两边同除以 （）：， 验证：，符合题意． 故答案为： ． 7．已知，则的值为______． 【答案】48或 【分析】先利用等式的性质求出m的值，再利用整式的四则混合运算法则化简，最后代入求值． 【详解】解：，， ∴ 当时，原式； 当时，原式， 综上，的值为48或． 8．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算零指数幂、乘方、负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 10．(1)先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】(1)；（2），3 【分析】先运用平方的非负性及绝对值的非负性求得的值，再利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式计算括号里面的，再算括号外面的，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解：∵，， ∴， ∴， ， 当时，原式． 11．观察下列各式： …… (1)根据上面各式的规律填空： ①___________； ②（为正整数）______________； (2)利用（1）中①的结论，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①观察题干的等式，总结出规律即可； ②观察题干的等式，总结出规律即可； （2）根据（1）中①的结论可得，，据此即可求出算式的值； （3）先证明等式不成立，则，再根据（1）总结出的规律，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①观察题干，总结规律可得，； ②观察题干，总结规律可得，； （2）解：根据（1）中①的结论可得，， ∴； （3）解：， 当时，等式左边，等式右边， ∴等式不成立， ∴不是方程的解，即， 根据（1）中规律和题干，可得，， ∵， ∴， ∴． 12．如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为__________________． (2)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； (3)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） (4)如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3) (4)B类卡片的长b与宽a的比值为4 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、多项式除以单项式，完全平方公式，整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）计算，求出前的系数，即为类卡片的数量； （4）可得大长方形的长为，宽为，继而得到面积，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，则空白面积占大长方形面积的，而空白面积为，即可建立等式，逆用完全平方公式化简即可． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9； （3）解：长方形面积：， B类卡片面积为， 所以，需要张， 故答案为：； （4）解：由题意得，大长方形的面积为， ∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴空白部分的面积为：， 整理得：， ∴， ∴ ∴， ∴B类卡片的长b与宽a的比值为4． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 整式的除法 教学目标 1. 理解同底数幂的除法法则，掌握零指数幂规定。 2. 理解单项式除以单项式运算法则，能分步完成单项式除法运算。 3. 掌握多项式除以单项式法则，会把多项式除法转化为单项式除法计算。 4. 能进行整式乘、除、加减混合运算，会化简后代入数值求值。 教学重难点 1.重点 同底数幂除法法则、零指数幂的正确使用，单项式除以单项式以及多项式除以单项式的运算。 2.难点 区分各种幂的性质、运算法则，理清运算顺序。 知识点01 同底数幂的除法 1. 同底数幂乘法的性质： 一般地，设m、n为正整数，m>n，a≠0，则有： = 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 零次幂 当a≠0时，÷=1.另一方面，依照同底数幂的除法性质，又有÷==. 于是规定: 即任何不等零的数的0次幂都等于1. 【易错提醒】 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【即学即练】 1.计算的结果是__________． 2. 计算：（   ） A．0 B．1 C．无意义 D．15 知识点02 单项式除以单项式 运算法则：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除。 【即学即练】 1. 计算：_______． 2．计算：． 知识点03 整式（多项式）除以单项式 运算法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【易错提醒】 多项式除以单项式，结果仍是多项式，项数不变。 【即学即练】 1. 计算的正确结果是______． 2. 如果一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长为___________． 题型01 同底数幂的除法 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【典例2】计算：______． 【变式1】若，且，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】在等式中，“”所表示的代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，则与之间的关系是___________． 【变式4】计算： ______． 题型02 零次幂 【典例1】计算的结果是（    ）． A．7 B．1 C．2 D．3 【典例2】当__________时，． 【变式1】计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【变式2】计算：______． 【变式3】计算：___________． 【变式4】若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 题型03 幂的混合运算 【典例1】 计算： ______． 【变式1】__________． 【变式2】若，则________． 【变式3】___________． 【变式4】计算． (1)． (2)． 题型04 单项式除以单项式 【典例1】计算：． 【典例2】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【变式1】填空： （1）______________． （2）______________． （3）______________． 【变式2】计算的结果是：_________． 【变式3】计算的结果是_______． 【变式4】2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 题型05 单项式乘除混合运算 【典例1】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 【变式3】计算：_______________________． 【变式4】计算：（1）． （2）． 题型06 多项式除以单项式 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】在等式中，括号内表示的整式是_________． 【变式2】长方形的面积是，宽是，那么它的周长是_________． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算：(1)； (2)； (3)； (4)； 题型07 整式混合运算 【典例1】计算： (1) (2) 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例3】先化简，再求值：，其中，． 【变式1】计算下列各题： (1)； (2)． 【变式2】先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【变式4】学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： (1)如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； (2)已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．的相反数是（     ） A． B． C．1 D． 4．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．计算：____________． 7．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为______． 8．光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要______秒． 9．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： (1)． (2)． (3)若的积中不含x项与项．求p，q的值； 1．下列式子中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．14 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 6．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 7．已知，则的值为______． 8．计算 (1) (2) (3) (4) 9．计算： (1)； (2)； 10．(1)先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：若，求代数式的值． 11．观察下列各式： …… (1)根据上面各式的规律填空： ①___________； ②（为正整数）______________； (2)利用（1）中①的结论，求的值； (3)若，求的值． 12．如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为__________________． (2)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； (3)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） (4)如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $