专题11.2 乘法公式（2）完全平方公式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦完全平方公式这一核心知识点，系统梳理从公式推导（代数运算与几何意义）到结构特征识别，再到直接套用、变形应用（巧算、求值、三项式平方）的学习脉络，构建从理解到综合应用的完整学习支架。 该资料亮点在于融合几何直观与代数推理，通过图形面积解释公式培养数学眼光，设计辨析、变形求值等题型提升运算能力与推理意识。课中助力教师分层教学，课后通过变式练习与综合题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题11.2 乘法公式（2）——完全平方公式 教学目标 1. 理解完全平方公式的推导过程，掌握结构特征、文字表述与几何意义。 2. 能直接套用公式计算。 3. 掌握完全平方公式的常见变形，能利用整体思想进行代数式的求值。 教学重难点 1.重点 公式的结构识别与直接套用。 2.难点 公式的综合应用。 知识点01 完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 公式的推导过程 3. 公式的几何意义 (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²-2ab+b² 【即学即练】 1. 利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式求解（1）（2）（3）（4）即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3） （3）解：原式 ． 知识点02 完全平方公式的应用 1. 利用完全平方公式计算 (1)公式的结构特点 (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² （2）易错点 ①漏掉中间加上或减去积的2倍，例如：(a+b)²a²+b² ②乱用完全平方公式，例如：(a+b)(-a-b)a²-2ab+b² ③用错符号，例如：(-a-b)²a²-2ab+b² 3. 利用完全平方公式巧算 例如： 4. 完全平方公式的变形 5. 三项式的平方差公式 三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用平方差公式计算. 如:== 三项式的计算是运用化归思想，把“三项式”的计算转化为“二项式”的计算； 6. 三项式的完全平方公式 三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用完全平方公式计算. 如: 【即学即练】 1. 计算： （1）_____________________ （2）_________________ 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）先利用平方差公式化简，然后再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． 题型01 完全平方公式的辨析 【典例1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，进行计算即可． 【详解】解：A. ，原计算正确，符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. ，原计算错误，不符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，需运用完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵，∴A选项错误； ∵，∴B选项正确； ∵，∴C选项错误； ∵，∴D选项错误； 故选：B． 【变式2】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行计算，根据平方差公式和完全平方公式对各选项逐一计算判断即可，熟练掌握运用平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】下列等式中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过乘法公式判断各选项是否正确． 【详解】解： ， 故 A错误； ， 故 B错误； ， 故 C错误； ，符合平方差公式， 故D正确， 故选：D． 【变式4】计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型02 直接利用完全平方公式计算 【典例1】运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． （3）利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 【变式3】计算：____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 利用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式，，其中 ，， ∴ ， 故答案为：． 【变式4】用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型03 变号后使用完全平方公式 【典例1】____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 利用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式，，其中 ，， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 【变式2】利用完全平方公式计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ； 【变式3】计算：______． 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：； 【变式4】用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】 （1）解： ． （2）解： ． 题型4 利用完全平方公式巧算 【典例1】利用完全平方公式计算： 【详解】解：原式 ； 【变式1】简便计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式因式分解后再进行计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （2）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （3）将改为，再利用完全平方公式即可计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式4】用完全平方公式进行简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型05 完全平方公式变形求值 【典例1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 【变式1】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴ 故答案为：C． 【变式2】已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 【变式4】已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 题型6 完全平方公式的几何图形应用 【典例1】在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 【变式1】如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）把，代入（1）所求结果中，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，平方米， 绿化的总面积为平方米． 【变式2】将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则______，______；若，则______，______． (2)两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)24；；6；4 (2)图中阴影部分的面积为6 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，掌握熟练并运用完全平方公式的不同变形，结合已知条件求解代数式的值或图形面积是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，结合已知条件，逐步求出以及的值； （2）设两个正方形的边长分别为，利用完全平方公式的变形求出的值，再结合阴影部分面积的计算方法求解． 【详解】（1）解：由，得，即， ， 解得， 由，得， ， ， 联立 解得． （2）解：设正方形的边长为，的边长为． 由题意知，，① ， ． ， ．② 联立①②，解得， 即， ， ， 图中阴影部分的面积为6． 【变式3】小颖在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值． 解：∵；∴；∴ 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)已知 ，，求的值； (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）通过对完全平方公式变形求值； （2）先根据种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，，，，得出，于是有，再根据米，得出，两边平方可得，从而可得出，再求得种茄子和黄瓜区域的面积和． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，，，， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴种茄子和黄瓜区域的面积和是(平方米)． 【变式4】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【详解】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 题型7 三项式的乘法公式 【典例1】计算：； 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式,重点是用化归思想，把三个项的计算转化为为两项的计算； 【详解】（1）解：原式 ； 【典例2】运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式,重点是用化归思想，把三个项的计算转化为为两项的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】（1）重点是把（2x-y）当作一个整体看待； （2）把a和2b结合在一起，是因为a和2b的符合相同. 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式，熟知运算法则及乘法公式是正确解决本题的关键． 先将两个多项式添括号变形成，再用平方差公式及完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式，先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解： 【变式3】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； 【详解】 （1）解： ； （2）解： ． 【变式4】运用乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 乘法公式混合计算 【典例1】计算： (1) (2) 【分析】本题主要考查乘法公式的混合计算，掌握相关运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： =25. 【典例2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，先逆用积的乘方性质计算平方差，最再用完全平方公式计算。 【详解】解： 【点睛】本题若先算完全平方，计算就会繁很多. 【变式1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）先用平方差公式进行计算，再合并同类项； （3）根据积的乘方的逆应用，先让两底数相乘，再将结果进行乘方，分别用到平方差公式和完全平方公式； （4）先用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将、代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 【变式4】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式乘法，乘法公式的运用，积的乘方的逆用，整式除法，去括号，合并同类项． （1）运用平方差公式，从左往右计算即可； （2）观察、指数相同，可根据积的乘方的逆用得到，然后运用平方差公式和完全平方公式计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的性质和完全平方公式逐一计算即可判断正误． 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘多项式的法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵根据完全平方公式，， ∴ A错误； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， ∴ B错误； ∵积的乘方等于各因式分别乘方，， ∴ C错误； ∵根据单项式乘多项式法则，，运算正确， ∴ D正确． 3．已知，．则的值是（     ） A．22 B．19 C．16 D．10 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，将所求的用已知的和表示，代入数值计算即可． 【详解】∵由完全平方公式可得 ∴变形得 ， 将，代入得， ． 4．，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先将原式变形为，再利用完全平方公式化简，然后进行合并即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 5．化简： ______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则去括号，合并同类项化简即可． 【详解】解： ． 6．如果，那么代数式的值为________． 【答案】 9 【分析】先将所求代数式展开化简，整理为用已知条件表示的形式，再整体代入计算即可． 【详解】解： 原式． 7．___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．已知，，则_____． 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，15 【详解】解： ． 当，时，原式． 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，只需根据单项式乘多项式、单项式乘单项式、平方差公式、完全平方公式，逐一计算每个选项，判断正误即可． 【详解】解：对选项A， ，该项错误． 对选项B， ，该项错误． 对选项C，，该项错误． 对选项D，利用完全平方公式展开可得，，该项正确． 2．若，则代数式的值为（     ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】先化简所求代数式，再利用整体代入法，将已知代入化简后的式子计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ， 原式． 3．已知，，则的值为（     ） A．12 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】将已知两个等式利用完全平方公式展开后相加，消去含的项，即可求出的值. 【详解】解：①， ②， 得：， . 4．已知，则代数式的值是__________． 【答案】4 【分析】先将已知等式展开整理，得到，再展开所求代数式，利用整体代入法求值即可. 【详解】解：， 展开整理得， 根据完全平方公式展开得 将代入得 原式. 5．已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 6．计算： _________． 【答案】 【分析】观察式子结构，可先对前三项利用完全平方公式化简，再进行计算． 【详解】解：． 7．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式平方公式的应用，熟练掌握多项式平方公式计算是解题的关键．注意细心计算．使用多项式平方公式展开计算． 【详解】根据多项式平方公式，其中，，， 代入公式： ． 故答案为：． 8．用简便方法计算： ____． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算，解题的关键是掌握完全平方公式． 将表示为500与的差，利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．将完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．可将公式变形为，再将，代入，求得，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则________； （2）如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地（），它们面积和为，为（在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．图中摆放花卉场地的面积是________． 【答案】 【分析】（1）由材料中的方法得到，将代数式代入计算即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且，由题意得出，，变形求出，代入图中摆放花卉场地的面积计算即可． 【详解】解：（1）由得， 将，代入上式得，； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且， 则，， 由题意可得，， 则， ， 则， 联立，解得， 图中摆放花卉场地的面积是． 10．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）突破口是完全平方和的展开公式，因为已知和的值，所以将展开为，变形后即可代入已知条件求解． （2）突破口是完全平方差与完全平方和的关系，因为已经求得且已知，所以将展开为，代入对应数值即可求解． 【详解】（1）解： 代入已知条件，， 得； （2）解： 代入，， 得． 11．用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)2xz (2)12x-40 (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）先算单项式乘以单项式和积的乘方，再计算单项式除以单项式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算整式的加减法即可； （3）逆用积的乘方公式计算，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据整式乘法运算法则计算，再合并同类项化简，最后代入a、b的值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 14．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ； ， ， 解得， ∴原式． 15．【阅读理解】 换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下： 若满足，求的值． 解：设，， 则， ， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，则的值是____； (2)若满足，求的值； (3)如图，在数轴上，点，，表示的数分别是，，，正方形与正方形的面积之和为，且边的延长线与边交于点．求长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法设，，结合完全平方公式即可求解； （2）利用换元法设，，结合完全平方公式即可求解； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为 ，则，，结合完全平方公式即可求解长方形的面积． 【详解】（1）解：设，， 则， ， ∴ （2）解：设，， 则， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为 ， 则，， 则， ， ∴ 即长方形的面积为40． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2(2) 乘法公式——完全平方公式 教学目标 1. 理解完全平方公式的推导过程，掌握结构特征、文字表述与几何意义。 2. 能直接套用公式计算。 3. 掌握完全平方公式的常见变形，能利用整体思想进行代数式的求值。 教学重难点 1.重点 公式的结构识别与直接套用。 2.难点 公式的综合应用。 知识点01 完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 公式的推导过程 3. 公式的几何意义 【即学即练】 1. 利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)． 知识点02 完全平方公式的应用 1. 利用完全平方公式计算 (1)公式的结构特点 （2）易错点 ①漏掉中间加上或减去积的2倍，例如：(a+b)²a²+b² ②乱用完全平方公式，例如：(a+b)(-a-b)a²-2ab+b² ③用错符号，例如：(-a-b)²a²-2ab+b² 3. 利用完全平方公式巧算 例如： 4. 完全平方公式的变形 5. 三项式的平方差公式 三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用平方差公式计算. 如:== 6. 三项式的完全平方公式 三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用完全平方公式计算. 如: 【即学即练】 1. 计算： （1）_____________________ （2）_________________ 题型01 完全平方公式的辨析 【典例1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】下列等式中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】计算：_____． 题型02 直接利用完全平方公式计算 【典例1】运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算：__________． 【变式3】计算：____________ 【变式4】用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 变号后使用完全平方公式 【典例1】____________ 【变式1】__________． 【变式2】利用完全平方公式计算： ； 【变式3】计算：______． 【变式4】用完全平方公式计算： (1)； (2)． 题型4 利用完全平方公式巧算 【典例1】利用完全平方公式计算： 【变式1】简便计算：； 【变式2】利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【变式3】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【变式4】用完全平方公式进行简便计算 (1) (2) 题型05 完全平方公式变形求值 【典例1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式1】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【变式3】（1）若，则 （2）已知，则 【变式4】已知，，求代数式的值． 题型6 完全平方公式的几何图形应用 【典例1】在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【变式1】如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【变式2】将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则______，______；若，则______，______． (2)两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 【变式3】小颖在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值． 解：∵；∴；∴ 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)已知 ，，求的值； (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米． 【变式4】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 题型7 三项式的乘法公式 【典例1】计算：； 【典例2】运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： 【变式3】计算： (1)； (2)； 【变式4】运用乘法公式计算 (1)； (2)． 题型8 乘法公式混合计算 【典例1】计算： (1) (2) 【典例2】计算： 【变式1】计算 (1)； (2)． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【变式4】计算： (1)； (2)； 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，．则的值是（     ） A．22 B．19 C．16 D．10 4．，则（　　） A． B． C． D． 5．化简： ______． 6．如果，那么代数式的值为________． 7．___________． 8．已知，，则_____． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．先化简，再求值：，其中，． 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则代数式的值为（     ） A． B． C．6 D．4 3．已知，，则的值为（     ） A．12 B．8 C．10 D．20 4．已知，则代数式的值是__________． 5．已知，求的值为_______． 6．计算： _________． 7．计算：__________． 8．用简便方法计算： ____． 9．将完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．可将公式变形为，再将，代入，求得，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则________； （2）如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地（），它们面积和为，为（在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．图中摆放花卉场地的面积是________． 10．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 11．用乘法公式简便计算： (1) (2) 12．计算下列各式： (1) (2) (3) 13．先化简，再求值：，其中，． 14．先化简，再求值：，其中，． 15．【阅读理解】 换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下： 若满足，求的值． 解：设，， 则， ， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，则的值是____； (2)若满足，求的值； (3)如图，在数轴上，点，，表示的数分别是，，，正方形与正方形的面积之和为，且边的延长线与边交于点．求长方形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $