第27章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为九年级上册反比例函数单元检测卷，覆盖性质、图像、应用等核心知识，结合生活情境、新定义及实际问题，注重抽象能力、推理意识与模型意识培养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|反比例函数性质、图像与一次函数综合、k的几何意义|结合茶吧机水温变化（题3）考查函数实际应用| |填空题|6题|新定义“IMA函数”（题13）、k值求解、整点问题|以“双倍点”（题20）等创新概念提升思维层次| |解答题|5题|函数图像交点、实际销售问题（题19）、几何综合|通过编程教具销售（题19）体现模型意识，融合跨学科情境|

第27章反比例函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 3．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 4．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 7．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 8．已知反比例函数的图象与一次函数的图象有两个不同的交点分别为，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．若函数的图象经过点，则________． 12．在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 13．在平面直角坐标系中，若一个函数存在时，函数值，则称该函数为“IMA函数”，此时点叫该IMA函数的“IMA点”，是否存在一个整数值，使得函数（）的“IMA点”的横坐标，都为整数？如果存在，请求出的值为________． 14．如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则______． 15．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为________． 16．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数（k为常数）的图象如图所示，，是反比例函数图象上的两点． （1） ______； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为，若二次函数的图象与有两个公共点，则k的取值范围是______． 三、解答题 17．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点， (1)求，，的值； (2)观察图象，直接写出当时，的取值范围； (3)是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标． 19．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 21．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第27章反比例函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B D D D D B B 1．A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 2．A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 3．D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 4．B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 5．D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 6．D 【分析】连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 7．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及利用函数图象解不等式，先利用一次函数图象上的点求出a的值，再代入反 比例函数求出k，最后分和两种情况解分式不等式确定解集． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴交点为和， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则不等式为， 分两种情况讨论： ①当时，不等式两边同乘x（不等号方向不变） 得，即 ∵， ∴， ②当时，不等式两边同乘x（不等号方向改变） 得，即， ∵， ∴， 综上，不等式的解集为或， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 10．B 【分析】设点坐标为，点坐标为，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系． 【详解】设， 点在反比例函数图象上 点在反比例函数图象的上方 ，即 点在一次函数图象上 ，即 ∵矩形 ∴， 点在一次函数图象的下方 ，即 ∵矩形 ∴， ∴ 综上所述，，． 11． 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 12．（答案不唯一） 【分析】先根据反比例函数上点的性质，推出，再根据，求出的取值范围，即可求解． 【详解】∵点、在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以是．（答案不唯一，填小于的实数均正确） 13．或 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是根据题意，列出方程关系． 根据“IMA点”的定义，得到满足条件的点满足，代入原函数整理得到关于的一元二次方程，求出方程的根，根据根为整数、为不为的整数，即可求出的值． 【详解】解：根据“IMA点”的定义，可得， 将代入函数得： 等式两边同乘消去分母得：， 移项合并同类项得：， 因式分解得：， 解得：，， 由题意可得，，都为整数，为整数且， 因此为整数，即是的非零整数因数， 故可得或或或． 14． 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， 即轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C， ∴轴于点C， ∵轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，二次函数的图象，一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将，代入反比例函数的解析式，求出和的值； （2）若二次函数的图象与有两个公共点，则点P和点Q需在抛物线上或者上方，分别求出点和点在抛物线上时，对应的的值，从而得到的取值范围，找到同时符合两个条件的公共部分即可． 【详解】解：（1）将，代入，得， ， 解得， 将，代入，得， ， 解得， ∴； （2） 如图，若二次函数的图象与有两个公共点，则点P和点Q需在抛物线上或者上方， ①将代入，得， ∵点P在抛物线上或者上方， ∴， 化简得，， 令，解得，， 结合函数图象可知，或， ②将代入，得， ∵点Q在抛物线上或者上方， ∴， 化简得，， 同理①可得，此时或， 同时符合两个条件的公共部分为． 故答案为：；． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 18．(1)，， (2)或 (3)点坐标为或 【分析】（1）将点和点分别代入一次函数中，可求出，，进而得到、的坐标，将的坐标代入反比例函数中，即可求出； （2）根据一次函数与反比例函数交于点和点，结合图象，即可求解； （3）先求出，设点，则，得到，结合的面积等于，列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：已知点和点在一次函数的图象上， ，， ，， 点和点， 又反比例函数的图象过点， ； （2）一次函数与反比例函数交于点和点， 结合图象可得，当时，的取值范围是或； （3）一次函数与轴交于点， 令，得， 解得， ， 设点，则， 的面积可表示为与的面积之和， ， 的面积等于， ， 解得或， 点坐标为或． 19．(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 20．(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个． （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $