第二十七章反比例函数单元测试卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷聚焦反比例函数单元核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合科技实验、生活实际等真实情境，适配初中数学单元复习，有效检测数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题24分|反比例函数图像上点的坐标、k值确定、图像分布|如第4题结合科创小组压强实验数据，考查函数关系建立，体现数学眼光| |填空题|8题24分|图像性质、k的几何意义、实际应用|如第10题气球气体压强问题，强化模型意识与数据观念| |解答题|11题102分|与一次函数综合、几何图形结合、实际问题解决|如22题产品温度变化、26题区间测速，综合考查运算推理与问题解决能力，呼应真题命题趋势|

第1章 反比例函数 单元测试卷 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）若点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．（本题3分）反比例函数的图象如图，则k的值可能为（   ） A．4 B． C． D．2 4．（本题3分）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（   ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，点在反比例函数图像上，且，过作轴，垂足为，的垂直平分线交于，则的周长为（　　） A．7 B．8 C． D． 8．（本题3分）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是________． 10．（本题3分）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 11．（本题3分）若点和点在反比例函数的图象上，且时，，请写出一个满足条件的m的整数值：_______． 12．（本题3分）已知反比例函数经过点，，且，则________．（填“”、“”或“”） 13．（本题3分）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 14．（本题3分）反比例函数图象与矩形的边，交于点，为的中点，求_________． 15．（本题3分）点A在一次函数（）的图象上，点B在反比例函数 的图象上．点A，B之间的距离记为k．当时，k的最小值是_______．当k的最小值是0时，则b的取值范围是_______． 16．（本题3分）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是______． 三、解答题（共102分） 17．（本题8分）如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于且，直线与双曲线的另一个交点为点． (1)求的值和的面积． (2)若在双曲线上有一点（在第二象限），使的面积等于4，请直接写出点的坐标． 18．（本题8分）已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与双曲线交于点．点在直线上，过点作轴的平行线分别交双曲线和于点、． (1)求的值和直线的表达式； (2)联结、．求证：． 20．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求出反比例函数和一次函数解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集是__________． 21．（本题10分）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 22．（本题10分）制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系，已知该材料的初始温度是． (1)求材料加热时和停止加热后y与x的函数关系式； (2)根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 23．（本题10分）如图，一次函数的图象与轴，轴交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点轴于点轴于点． (1)求a，b的值及反比例函数的表达式． (2)若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当时，求点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本题10分）一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．    (1)求反比例函数表达式； (2)结合图象，直接写出时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 25．（本题10分）【问题提出】我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到．爱动脑的小明认为：函数也可以由一个反比例函数通过平移得到． 【类比研究】使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 连线：如图，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来． 【探究发现】观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数中变量y的取值范围是______． ②函数的图象关于点______中心对称．（填写点的坐标） ③函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：______． 【迁移应用】已知，；是函数的图象上两点，且，，求点M的坐标； 【拓展提升】若直线与函数的图象相交于P、Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 26．（本题10分）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 27．（本题10分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； (3)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式，得：， ∴反比例函数解析式为：． 当时，，故A不符合题意，C不符合题意； 当时，，故B不符合题意，D符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】此题考查了反比例函数的有关性质，将点代入函数求解即可．解题的关键是掌握反比例函数的有关性质． 【详解】解：将点代入函数得，， 故选：C． 3．B 【分析】根据反比例函数图象的分布象限由k的符号决定：当时，图象在第二、四象限． 【详解】解：由图可知反比例函数的图象在第二、四象限， ∴，选项中只有B选项． 4．C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 5．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象．由图知反比例函数的图象在一、三象限，故不在图象上． 【详解】解：∵恰有三点在反比例函数的图象上， ∴由图知反比例函数的图象必经过第一象限的P，Q两点， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 又∵在第二象限， ∴四个点中点不在函数的图象上． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴． 故选：B ． 7．C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、反比例函数的应用、勾股定理、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据线段垂直平分线的性质可知，由此可知的周长，设，，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于的方程组，解得的值，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于， ∴， ∴的周长， ∵点A在反比例函数上 ∴设，， 则有， ∴， ∴或（舍去）， ∴的周长． 故选：C． 8．C 【分析】由题意根据角平分线的性质可知，进而可得，勾股定理求得，进而求得，进而求得点的坐标，即可求得 【详解】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，， 平分，平分， , , ， 四边形是正方形 ，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正方形的判定，角平分线的性质，判定三角形全等以及全等的性质，勾股定理，理解角平分线的性质是解题的关键． 9． 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限是解题关键．根据题意可得出，求解即可． 【详解】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．16000 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得反比例函数图象在第二、四象限，从而得出，即可得解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上，且时，， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴m的整数值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，再结合反比例函数的性质得到函数值随自变量的变化规律，最后根据自变量的大小关系比较函数值大小. 【详解】解：∵，， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点，都在第一象限，且， . 13． 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 14． 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及矩形的性质，解题的关键是正确设出点的坐标来表示线段的长． 设，则，然后根据反比例函数图象经过点表示出，最后由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， ∵反比例函数经过，F为的中点， 设， ∴， 把代入，则， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15． 0 【分析】本题考查一次函数图象及性质，根据题意可得当时，一次函数为，反比例函数为，继而求得俩函数交点为，即可求出k的最小值，第二空利用有交点联立方程组即为，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数为：，反比例函数为：， ∴，解得：， ∴俩函数交于点时距离最小，即k的最小值为0， ∵k的最小值是0时， ∴，整理得：， ∴，即：， ∵， ∴， 故答案为：0，． 16．或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点，反比例函数与面积，先求出，得到，反比例函数解析式为，再设，最后由列方程求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于点， ∴设，反比例函数解析式为， ∵过点作轴，垂足为点， ∴， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为， ∴设， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 17．(1)；4 (2)点坐标为或 【分析】（1）由结合反比例函数图象在第二、四象限，得出，联立反比例函数和一次函数求出点、的坐标分别是，，令直线与轴的交点，求出点的坐标，再结合计算即可得解； （2）分两种情况：当点在点的左侧时，作轴于；当点在的右侧时，作轴于，轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 而反比例函数图象在第二、四象限，即， ， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为， 根据题意得：， 解得或， 点、的坐标分别是，． 如图：令直线与轴的交点， 对于，令，解得， 则直线与轴的交点的坐标为， ； （2）解：如图，当点在点的左侧时，作轴于，设点坐标为， ，，而， ， ， ， ， 解得（舍去），， 当时，， 点坐标为． 如图，当点在的右侧时，作轴于，轴于，设点坐标为， ，，而， ， ∴， ， ， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查饿了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 18．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质； （1）将横坐标代入解析式中计算得出纵坐标填入表格，再将这些点在坐标系中描出，用光滑的曲线连起来，注意反比例函数的图象为双曲线，分左右两支； （2）在x轴上找到的区域，再通过图象找到对应的y值的部分，即可求解； （3）找到这一条直线，在这一直线下方的部分都是的部分，然后在x轴上找到对应的部分即可. 【详解】（1）解：表格完成如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … 画出函数图象如图所示： （2）解：如图所示： 由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：. （3）解：如图所示： （3）由图象可得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 19．(1)，直线的解析式为； (2)见解析 【分析】本题考查的是反比例函数的综合题． （1）根据点的坐标求得的值，根据点和点使用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）先求出点、、F坐标，利用两点之间的距离公式证明，，据此求解即可． 【详解】（1）解：因为点在双曲线上， 所以， 设直线的解析式为， 代入点和点，得， 解得， 所以直线的解析式为； （2）解：由点的坐标可知，点在直线上， ∴， ∴， ∵轴，∴当时，或， 解得或， ∴点的坐标为，点F的坐标为． 由、、知，， ∴， ∴； 由、、知，， ∴， ∴； ∴； ∴． 20．(1)， (2)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解. 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握交点的计算，数形结合求不等式解集是解题的关键． 【详解】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：，， 则反比例函数的表达式为：， 由点、得， ∴， 解得， 直线AB的表达式为：． （2）观察函数图象知，不等式的解集为：或， 故答案为：或. 21．(1) (2) 【分析】（1）过A作，根据三角形为等腰直角三角形，得到，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作轴，过B作，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得出三角形与三角形全等，由确定三角形的对应边相等得到进而表示出及的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交x轴于点C， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入反比例解析式， 并解得：， 则反比例解析式为； （2）解：过A作轴，过B作， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 则； ∵由A与B都在反比例图象上，得到， 整理得： 即 这里 ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴ 则． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 22．(1)加热时与的函数关系式为，停止加热后与的函数关系式为 (2)当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键． （1）加热时，设，将，代入得，求出的值即可；停止加热后，设，将代入，求出的值，即可反比例函数解析式； （2）在材料加热时，当时，，解得；在材料停止加热时，当时，，解得：，由此即可求解． 【详解】（1）解：加热时，设， 将，代入得，， 解得：， 加热时与的函数关系式为； 停止加热后，设， 将代入得：， ， 停止加热后与的函数关系式为； （2）解：在材料加热时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 材料停止加热时，函数解析式为， 当时，， 解得：， ， 当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为． 23．(1)，， (2) (3)存在，理由如下： 如图，设点 ，连接． ， ，， ． 分三种情况： ①当时，， ，解得， ； ②当时，， ， ． ， 此情况不成立 ③当时，， ， ， ， 或． 令，得， ， ， ∴此时点与点重合，不能构成三角形， ， 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰三角形． 【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，比例系数的意义及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）分别将点A和点B代入函数解析式，得出，，将点的坐标代入反比例函数即可确定函数解析式； （2）点在线段上，连接．结合图形得出，设点，根据图形的面积及反比例函数的意义求解即可； （3）设点，连接．用勾股定理分别表示出，然后分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， 将点代入， 得，解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， 反比例函数的表达式为． （2）如图，点在线段上，连接． ， ． 设点，则， ，， ． 又， ， ， 点的坐标为． （3）略 24．(1) (2) (3)或 【分析】(1)把代入求出，再把代入求出k的值即可； (2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围； (3)当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到． 【详解】（1）将代入， 得，， ∴, ∴， 将代入，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）联立，解得，，或， ∴， 观察图象可得:当时，； （3）①当时，轴， ∴； ②当时， 如图，过点A作轴于点D， 则，    ∵， ∴，， ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 25．探究发现：①；②；③向左平移1个单位，向上平移1个单位； 迁移应用：； 拓展提升：代数式的值是定值，定值为2 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根与系数的关系： 探究发现：①根据函数图象求解即可；②根据函数图象求解即可；③根据函数图象求解即可； 迁移应用：先得到，再得到，，进而得到方程，解方程即可得到答案； 拓展提升：先得到，再联立两函数解析式得到，由根与系数的关系得到，则，，据此可得，则． 【详解】解：探究发现：①由函数图象可知函数中变量y的取值范围是， 故答案为：； ②由函数图象可知函数的图象关于点中心对称； ③观察可知函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位，向上平移1个单位得到的； 迁移应用：∵，是函数的图象上两点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； 拓展提升：代数式的值是定值，定值为2，理由如下： ∵直线经过点Q， ∴， ∴， 联立得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 27．(1)反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： (2)点坐标为 (3)存在两个点，坐标为或 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）分、、三种情况，分别求解即可； （3）过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，①当时，求出点坐标，②当时，过点作，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在直线图象上， ，解得， 一次函数解析式为：； （2）解：设点， 由点、、的坐标得：，，， 当时，则， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点或， 综上，点的坐标为：． （3）解：如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为， ①当时， 在和中， ， ， ，， ， 设直线解析式为，将代入得，解得， 直线解析式为， 联立方程组，解得， ， ②当时，过点作， 直线的，设直线解析式为， 将点坐标代入得：，解得， 直线解析式为， 联立方程组得： ，解得， ． 综上所述，存在两个点，坐标为或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $