第27章 反比例函数 章末检测 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷聚焦反比例函数单元核心知识，通过基础概念辨析、实际情境应用及动态几何综合探究，全面考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配初中数学单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|反比例函数定义（1）、性质（4）、图像（5）|基础概念分层辨析，结合图像判断与性质应用| |填空|7|解析式求法（11）、实际应用（12）、k几何意义（15）|融入生活情境（油箱耗油），考查符号意识| |作图|1|函数图像绘制与利润计算|通过贺卡销售数据建模，培养数据观念与应用意识| |解答|3|待定系数法（19）、概率与函数综合（20）|基础方法与跨知识整合，强化推理能力| |综合|3|动态几何（24）、函数性质探究（23）、销售问题（22）|结合动态图形与实际销售，体现创新意识与数学建模|

第27章 反比例函数 章末检测 一、单选题 1．有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中 是 的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列关系中，两个量之间为反比例关系的是（　　） A．正方形的面积S与边长a的关系 B．正方形的周长L与边长a的关系 C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D．矩形面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系 3．已知甲、乙两地相距40米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（　　） A．t＝40v B． C． D． 4．若点 在反比例函数 为常数， 的图象上，则下列有关该函数的说法正确的是（　　） A．该函数的图象经过点 B．该函数的图象位于第一、三象限 C． 的值随 的增大而增大 D．当 时， 的值随 的增大而增大 5．以下反比例函数图象只位于第二象限的是（　　） A． B． C． D． 6．反比例函数y=（k≠0）经过点（-1，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A．（-1，-4） B．（1，4） C．（-2，-2） D．（2，-2） 7．已知点，，都在反比例函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，点Q的横坐标大于点P的横坐标，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，A，过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，C.PB与CQ交于点E，设四边形ACEP的面积为S1，四边形BDQE的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　）． A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点 、 在函数 的图象上．当 时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A、B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E．随着m的增大，四边形ACQE的面积（　　） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 二、填空题 11．若是反比例函数，则m的值为　 　； 12．油箱注满 升油后，轿车可行驶的总路程 (单位：千米)与平均耗油量 (单位：升/千米)之间是反比例函数关系 ( 是常数， .已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米.则该轿车可行驶的总路程 与平均耗油量 之间的函数关系式为　 　. 13．若反比例函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是　 　. 14．反比例函数图象与正比例函数图象交于，，则的值为　 　. 15．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数 的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例函数的解析式为　 　. 16．已知反比例函数，当时，y的最大值与最小值之差是4，则k=　 　. 17．反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+n的图象交于两点（a，a-1），（a-7，-a），则不等式>mx+n的解集为　 　 三、作图题 18．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x (元)与日销售量y (张) 之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y /张 20 15 12 10 （1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点； （2）猜想并确定y关于x的函数解析式，并画出函数图象； （3）设经营此贺卡的日销售利润为W (元)，试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 四、解答题 19．已知反比例函数 的图象过点P（－1，3），求m的值和该反比例函数的表达式. 20．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1、2、3、4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．请用列表法或画树状图法求出点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率． 21．如图，一次函数 与反比例函数 图象的两个交点分别为 ， ， 轴于点 ， 轴于点 ． （1）根据图象直接回答：在第一象限内，当 取何值时，一次函数值大于反比例函数值； （2）求一次函数的解析式及 的值； （3） 是线段 上的一点，连接 ， ，若 和 的面积相等，求点 的坐标． 五、综合题 22．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ▲ ；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 23．为了探索函数y＝x+ （x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法. 列表： x … 1 2 3 4 5 … y … 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示： （1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若0＜x1＜x2≤1，则y1　 　y2；若1＜x1＜x2，则y1　 　y2； 若x1•x2＝1，则y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）. （3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元. ①请写出y与x的函数关系式； ②若该农户预算不超过3.5千元，请直接写出水池底面一边的长x的取值范围. 24．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP上，过点 作AB的垂线，交射线AP于点 ，交直线MN于点 ，连结AQ，取AQ的中点 . （1）如图2，连结BP，求 的面积； （2）当点 在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为 . ①求此时点Q，P的坐标； ②此时在y轴上找到一点E，求使|EQ-EP|最大时的点E的坐标. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】反比例函数的定义 【解析】【解答】解：①y=，是反比例函数，符合题意；②y=-，不是反比例函数，不符合题意； ③y=-，是反比例函数，符合题意；④y=，不是反比例函数，不符合题意； ⑤y=，不是y关于x的反比例函数，不符合题意；⑥y=-3，不是y关于x的反比例函数，不符合题意， ∴是y关于x的反比例函数有：①③. 故答案为：B. 【分析】根据反比例函数定义，满足函数关系y=（k≠0）或yx=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0），即为反比函数，据此判断即可. 2．【答案】D 【知识点】列反比例函数关系式 【解析】【解答】A、∵S＝a2，∴S与a的关系不是反比函数关系，A选项不符合题意； B、∵L＝4a，∴L与a的关系不是反比函数关系，B选项不符合题意； C、∵S=20a，∴S与a的关系不是反比函数关系，C选项不符合题意； D、∵S=ab，即40=ab，∴a与b的关系是反比例函数关系，D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据正方形面积与边长，周长与边长，及矩形的面积与边长的关系，分布列出关系式，再由反比例函数的定义一一验证即可得出正确答案． 3．【答案】B 【知识点】列反比例函数关系式 【解析】【解答】解：由题意得：vt＝ ， . 故答案为：B. 【分析】由路程、速度与时间三者之间的关系即可得出时间t与速度v之间的函数关系式. 4．【答案】D 【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质 【解析】【解答】解： 反比例函数 为常数， 图象经过点 ， ， 函数的图象位于第二、四象限，在每个象限 随 的增大而增大，故B、 选项说法错误，不合题意； 选项说法正确，符合题意； ， 该函数的图象不经过点 ，故A选项说法错误，不合题意； 故答案为：D. 【分析】将（-1，2）代入y=中可得k的值，进而可得反比例函数图象所在的象限以及增减性，据此判断. 5．【答案】D 【知识点】反比例函数的图象 【解析】【解答】解：A、∵y=，1＞0， ∴图象位于第一、三象限， ∴A选项不符合题意； B、∵y=（x＜0），1＞0， ∴∴图象位于第三象限， ∴B选项不符合题意； C、∵y=-，-2＜0 ∴图象位于第二、四象限， ∴C选项不符合题意； D、∵y=-（x＜0），-2＜0， ∴图象位于第二象限， ∴D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据反比例函数图象与系数k符合的关系，即k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限，在结合自变量x的取值范围即可确定正确答案. 6．【答案】D 【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）经过点（-1，4）， ∴k=-1×4=-4， A、∵(-1)×(-4)=4≠-4，不符合题意； B、∵1×4=4≠-4，不符合题意； C、∵(-2)×(-2)=4≠-4，不符合题意； D、∵2×(-2)=-4，符合题意； 故答案为：D. 【分析】因为反比例函数k=xy，先把过点（-1，4）代入函数式求出k值，然后逐项验证，即可解答. 7．【答案】A 【知识点】反比例函数的性质 【解析】【解答】解：∵k＞0， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵-2＜1＜2， ∴y3＜0＜y2＜y1. 故答案为：A. 【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较. 8．【答案】B 【知识点】反比例函数系数k的几何意义 【解析】【解答】解：∵P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点， ∴OA•OB＝OC•OD＝k， ∴S四边形AOBP＝S四边形ODQC， ∴S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC， ∴S1＝S2. 故答案为：B. 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S四边形AOBP＝S四边形ODQC=k，从而得出S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC，即可得解. 9．【答案】A 【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】解：A、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，可能成立，符合题意； B、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意； C、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意； D、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题，判断各选项即可得出答案。 10．【答案】B 【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】AC=m-1，CQ=n， 则S四边形ACQE=AC•CQ=（m-1）n=mn-n． ∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y= （x＞0）的图象上， ∴mn=k=4（常数）． ∴S四边形ACQE=AC•CQ=4-n， ∵当m＞1时，n随m的增大而减小， ∴S四边形ACQE=4-n随m的增大而增大． 故答案为：B． 【分析】首先利用m和n表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断． 11．【答案】-1 【知识点】反比例函数的定义 【解析】【解答】解：根据题意得m−1≠0且|m|＝1， 解得m＝−1. 故答案为：-1. 【分析】形如“（k≠0）”的函数就是反比例函数，据此得m−1≠0且|m|＝1，解之即可得符合题意的m值. 12．【答案】 【知识点】列反比例函数关系式 【解析】【解答】解：由题意得 k=0.1×700=70， ∴s与t的函数解析式为. 故答案为：. 【分析】利用已知以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米，将a=0.1，S=700代入求出k的值，即可得到函数解析式. 13．【答案】 【知识点】反比例函数的图象 【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象过一、三象限， ∴. 故答案为：. 【分析】反比例函数中，当时，图象位于一、三象限；当时，图象位于二、四象限，据此解答即可. 14．【答案】－14 【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】解：将 ， 分别代入 ，得 ， ∵直线 与双曲线 相交， ∴与 互为相反数，即 ， ， 则 ， 故答案为：-14. 【分析】将A、B的坐标分别代入反比例函数解析式中可得x1y1=7，x2y2=7，根据A、B为反比例函数与正比例函数图象的交点可得y1=-y2，y2=-y1，则x1y2+x2y1=-(x1y1+x2y2)，据此计算. 15．【答案】 【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质 【解析】【解答】解：如图，由题意得：四边形 是正方形， ， ， 由正方形和反比例函数的对称可知，正方形 面积等于图中阴影部分的面积，即为4， 则 ，即 ， 利用平方根解方程得： 或 （不符题意，舍去）， ， 将点 代入反比例函数 得： ， 则这个反比例函数的解析式为 . 故答案为： 或y=2x-1 . 【分析】对图形进行点标注，由题意得：四边形OABC是正方形，根据点P的坐标可得OA=2a，由正方形和反比例函数的对称性可知：正方形OABC面积等于图中阴影部分的面积，即为4，结合正方形的面积公式可得a，进而得到点P的坐标，然后代入中可得k的值，进而可得反比例函数的解析式. 16．【答案】6或-6 【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小， ∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4， ∴a=3（a-4）， 解得a=6， ∴k=6； 当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大， ∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4， ∴b=3（b+4）， 解得b=-6， ∴k=-6； ∴k=6或-6. 故答案为：6或-6. 【分析】当k>0时，根据反比例函数的性质可得：在每个象限内y随x的增大而减小，设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，代入反比例函数解析式中可得a=3(a-4)，求解可得a的值，进而可得k的值；同理可得当k<0时对应的k的值. 17．【答案】或 【知识点】不等式的解及解集；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】解：由题意得： a(a-1)=-a( a-7 )， 解得：a=4， ∴图象交于两点（4，3），（-3，-4） ， ∴k=3×4=12， ∴反比例函数y=， ∵一次函数y=mx+n ， ∴， 解得：， ∴y=x， 则y=x， 如图， . 当或时， 双曲线在直线的上方， ∴不等式>mx+n的解集为：或. 故答案为：或. 【分析】根据反比例函数的坐标特点xy=k求出反比例函数式，从而求出交点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数式，则可在同一坐标系中画出两个图象，根据图象得出双曲线在直线的上方时x的范围即可. 18．【答案】（1）解：对应点如图所示： （2）解：根据图像猜测y关于x的函数解析式为y= (k≠0) ∵x=3时，y= 20， ∴ =20，解得k= 60 ∴y= ，∵把实数对(4，15)，(5，12)，(6，10)代入y= 都符合， ∴y关于x的解析式为y= (x> 0) 其图像是第一象限内的双曲线的一支，如图所示 （3）解：W=(x-2)· = 60- ∵x≤10，∴当x=10时，W有最大值，最大日销售利润为 60-12=48 (元) ∴当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润。 【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；描点法画函数图象 【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中描出各点，用光滑的曲线连接起来即可； （2） 设y关于x的函数解析式为y=，把 x=3时，y= 20代入得出 k= 60 ，从而得出y=，再把实数对(4，15)，(5，12)，(6，10) 分别代入y=都符合， 即可得出y关于x的函数解析式为y= （ x>0）， 然后画出函数图象即可； （3）根据题意列出W关于x的函数关系式，化简得出W= 60-（ x≤10 ），即可得出当x=10时，W有最大值，即可求解. 19．【答案】解：把点P（-1，3）代入 ，得 .解得 . 把m=2代入 ，得 ，即 . ∴反比例函数的表达式为 . 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【分析】把点P的坐标代入函数解析式求得m的值即可 20．【答案】解：由题意，可列表： 第一次\第二次 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 由已知，共有16种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有3种， ∴P（点落在双曲线的图象上）=. 【知识点】反比例函数的图象；列表法与树状图法 【解析】【分析】利用列表法求出所有点，找出满足要求的点，即可求出。 21．【答案】（1）∵ ， ， ∴当 时，一次函数值大于反比例函数值； （2）把点 ， 代入 中，得 ，解得 ． ∴一次函数的解析式为 ． 把点 代入 中，得 ； （3）如图，设点 的坐标为 ． ∵ ， ， 轴于点 ， 轴于点 ， ∴ ， ． ∵ ，即 ， ∴ ，解得： ． ∴点 的坐标为 ． 【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积 【解析】【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分时不等式的解，观察图象，可得答案； （2）根据待定系数法即可求解函数解析式； （3）设出P点的坐标，用其未知数表示三角形的底和高，根据三角形面积相等，可列出方程进行解答。 22．【答案】（1）解：；因为固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系， 不妨设， 将，代入得到， 此时； （2）解：当时，． 由（1）可知，所以，即销售单价为270元； （3）解：若，则，即，则固定成本至少是24元， ，解得，即销售单价最低为230元． 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；列一次函数关系式 【解析】【解答】解：（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系， 不妨设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式， 得， 解得， 故产销量y（个）与销售单价x（元）之前的函数关系式为； 【分析】（1）设y=kx+b，将点（280，300），（279，302）代入解析式，利用待定系数法求解即可，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）求出销售价即可解决问题； （3）根据条件分别列出不等式即可解决问题。 23．【答案】（1）解：函数图象如图所示： （2）＞；＜；＝ （3）解：①由题意，y＝1+（2x+ ）×0.5＝1+x+ （x＞0）. ②由题意1＋x＋ ≤3.5， ∵x＞0， 可得2x2−5x＋2≤0， 解得： ≤x≤2， ∴水池底面一边的长x应控制在 ≤x≤2的范围内. 【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用；描点法画函数图象 【解析】【解答】解：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2， 若x1•x2＝1，则y1＝y2. 故答案为：＞，＜，＝. 【分析】（1）连接各点即可作出函数图象； （2）根据函数图象可得函数的增减性，进而判断出y1与y2的大小关系； （3）①分别表示出底面、侧面所需的费用，然后相加可得y与x的关系式； ②令①关系式中的y≤3.5，结合x>0就可求出x的范围. 24．【答案】（1）解：连结OP. 设点 的坐标为 ， （2）解：①∵四边形BQNC是菱形， ∴BQ=BC=NQ， ∠BQC=∠NQC. ∵AB⊥BQ，C是AQ的中点， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ∴ ∴ 连结 . ∵ 令 ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 在Rt 中， ， ∴ ∵ ∴ 又∵点 在反比例函数 的图象上， ∴点 的坐标为 ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ②如图，作PQ交 轴于点 ，此时 最大. 设直线PQ的表达式为 ， ∵ ， ∴ 解得 ∴直线PQ的表达式为 令 ，则 . ∴ 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）；反比例函数-动态几何问题 【解析】【分析】(1)连结OP ​​​​​，由于PA∥y轴，把△PAB的面积转化为△PAO的面积，然后根据反比例函数图象k的几何意义，解答即可. (2)由菱形的性质得出，BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，然后利用SAS证明△ABQ≌△ANQ， 得出 ，连接BN， 令 根据菱形BQNC的面积为2 建立关于 t方程求出BN和BQ长，在 Rt 中， 根据含30°角的直角三角形的性质求出AB和OA的长，结合反比例函数的解析式，求出点P的坐标，然后利用全等三角形的性质求出AN长，再求出QN长，即可解答； (3) 作PQ交轴于点 ，根据三角形的三边关系得出 最大，由(2) 求得点P、Q的坐标， 设直线PQ的表达式为 ，利用待定系数法求出直线PQ的解析式，令x=0，求出E点坐标即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $