第一章 三角形 期末复习练习2 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025—2026学年苏科版八年级数学上册《三角形》期末复习2答案 一．选择题（共5小题） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，6，10 D．2，3，7 【答案】 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：、，不能组成三角形，故不符合题意； 、，不能组成三角形，故不符合题意； 、，能组成三角形，故符合题意； 、，不能组成三角形，故不符合题意． 故选：． 2．两位侠客施展“全等剑阵”△ △，则剑光总长为六尺，剑光重叠处长四尺．问独属一位侠客的剑光长几何？（　　） A．3尺 B．2尺 C．1尺 D．0.5尺 【答案】 【分析】先根据全等三角形的性质得出，故可得出，据此得出结论． 【解答】解：△△， ， ， 尺，尺， （尺， 故选：． 3．如图，在△中，，，分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据等腰三角形的性质得则，即可求解． 【解答】解：垂直平分， ， ， ， ， ， 所以的度数是， 故选：． 4．如图，在△中，，，交于点，，则的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】 【分析】利用等腰三角形性质，直角三角形的性质求线段长． 【解答】解：，， ， 交于点，， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故选：． 5．如图，在△中，角平分线，相交于点，过点作，分别交，于点，．若，，则△的周长等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】 【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△和△是等腰三角形，再由等角对等边得，，则△的周长，从而得出答案． 【解答】解：平分， ， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 同理， ，，△的周长为7， 故选：． 二．填空题（共8小题） 6．中，，点在射线上，且，连接，若，则　，，　． 【分析】分三种情形：①如图1中，当在线段上时，作于，于．②如图2中，当在的延长线上时，作于，于．③如图3中，当是钝角时，在的延长线上时，作于，于．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：①如图1中，当在线段上时，作于，于． ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ． ②如图2中，当在的延长线上时，作于，于． 同法可证， ， ， ， ． ③如图3中，当是钝角时，在的延长线上时，作于，于． 同法可证， ，设， ， ， ， ， 故答案为：，，． 7．如图，在中，，点、分别在，上，，连接，和，并且，延长，交于点，连接，取中点，连接交于点，若，，则的面积为　　．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】延长至点，使，，连接，，，根据已知条件证明中，求出是等边三角形，根据角的转换求证得，得到，延长到，是，连接，求得，推出，面积即可求出． 【解答】解：如图，延长至点，使，，连接，，， ，， 是等边三角形， ，，且， ， 在和中， ，，， ， ，，， 即， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ，， 如图，延长到，使，连接， 是的中点， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， 过作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，已知在四边形内，，，，，则 　　． 【分析】延长到连从而可证△是等边三角形，就可解决问题． 【解答】解：延长到使，连接， ， ， ， ， ， △△， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 9．等腰三角形腰长为，腰上的高为．那么这个三角形的顶角是　30或150　度． 【答案】30或150． 【分析】由于题中只说明是等腰三角形没有指明是锐角三角形还是钝角三角形，所以应该分两情况进行分析． 【解答】解：如图①，中，，且， 中，且，， ， ． 如图②，中，，的延长线于点，且， ，，的延长线于点，且 ， ， ． 故答案为：30或150． 10．如图，△中，，角平分线、相交于，，，，则 ．（用含、的式子表示） 【分析】在线段上截取，，连接，，作于，于．想办法证明即可解决问题． 【解答】解：在线段上截取，，连接，，作于，于． ，，， △△， ，， 同法可证，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为． 11．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有　12　个． 【分析】不妨设三角形三边为、、，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定的取值范围，以此作为解题的突破口． 【解答】解：设三角形三边为、、，且． ， 为整数 为11，12，13，14 ①当为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7； ②当为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8； ③当为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8； ④当为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9； 故答案为：12个． 12．如图，在中，，分别为，边上一点，与交于点，已知，，且的面积为60平方厘米，则的面积为 　6　平方厘米；如果把“”改为“”其余条件不变，则的面积为 　　平方厘米（用含的代数式表示）． 【答案】6，． 【分析】解法1：连接，依据，，且的面积为60平方厘米，即可得到，，设，依据，可得，解得，即可得出的面积为6平方厘米；当时，运用同样的方法即可得到的面积； 解法2：连接，过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理，得出，，再根据，且的面积为60平方厘米，求得的面积，再根据，以及，求得的面积即可；如果把“”改为“”其余条件不变，可以运用相同的方法得出的面积． 【解答】解法1：如图，连接， ，，且的面积为60平方厘米， ，， 设，则 ，， ， ， 解得， 即的面积为6平方厘米； 当时，， 设，则 ，， ， ， 解得， 即的面积为平方厘米； 解法2：连接，过点作，交于，则 ， ， ， 又， ， ，且的面积为60平方厘米， 的面积为平方厘米， 的面积为平方厘米， ， 的面积平方厘米； ， ， ， ， 又， ， ，且的面积为60平方厘米， 的面积为平方厘米， 的面积为平方厘米， ， 的面积平方厘米； 故答案为：6，． 13．如图，，点，在边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，则的值是 　或或　． 【分析】考虑四种特殊位置，求出的值即可解决问题； 【解答】解：如图1中，当△是等边三角形时满足条件，作于． 在△中，， ， ， ． 如图2中，当与相切于，时，，此时满足条件； 如图3中，如图当经过点时，，此时满足条件的点有2个． 如图4中，当与相切于时，， 观察图3和图4可知：当时，满足条件， 综上所述，满足条件的的值为：或或， 故答案为或或． 三．解答题（共26小题） 14．已知，，为的三边长，化简． 【分析】直接利用三角形三边关系得出，，进而化简得出答案． 【解答】解：，，为的三边长， ，， ． 15．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题． 【分析】作出图形，连接，由，为中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到为顶角的平分线，由与垂直，与垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到，得证． 【解答】已知：如图，，是中点，，， 求证：， 证明：连接， ，是中点， 为的角平分线（三线合一的性质）， 又，， （角平分线上的点到角的两边相等）． 16．如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是10． （1）求的长度； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据题意得到，利用完全平方公式解答． 【解答】解：（1）是边的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ； （2）， ， ，， ，， ， ，又， 的面积． 17．如图，已知直线，点、分别在、上，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定证明即可； （2）根据平行线的性质和三角形内角和解答即可． 【解答】（1）证明： ， ， 是等腰三角形， （2） ， ， ， ， 18．已知：如图，在中，，是的角平分线；平分，交于点；． （1）求的度数． （2）如果，求的长度． （3）猜想：与的位置关系，并证明你的猜想． 【分析】（1）先由角平分线的定义及已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余得出，那么； （2）根据角所对的直角边等于斜边的一半得出； （3）先由，根据等角对等边得出，又平分，根据等腰三角形三线合一的性质得到． 【解答】解：（1）是的角平分线， ， ， ． 在中，， ， ； （2）在中，，，， ； （3）猜想：．理由如下： ， ， 平分， ． 19．如图，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为，则 （1）　　，　　．（用含的代数式表示） （2）当为何值时，是直角三角形？ 【分析】（1）根据题意得出、即可； （2）分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据，的表达式和的度数进行求解即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：；； （2）在中，， 若是直角三角形，则点或点为直角顶点 ①若点为直角顶点，， ， ， 即， 解得 ②若点是直角顶点，，， ， 即， 解得 答：当或时，是直角三角形． 20．在四边形中，，连接、，、分别是、的中点，连接，试证明． 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明． 【解答】证明：如图，连接、， ，是的中点， ， 是的中点， ． 21．如图，已知中，，，，． 求证：． 【分析】连接．根据的面积的面积的面积，以及，即可得到． 【解答】证明：连接． 则的面积的面积的面积， ， ， ． 22．如图，在等边中，点，分别在边、上，若，过点作，过点作，交的延长线于点． （1）求证：为等边三角形； （2）求的长． 【分析】先证明是等边三角形，再在中求出即可解决问题． 【解答】解：（1）是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， （2）是等边三角形， ， 在中，，， ， ． 23．已知：在△中，，为线段上一点且满足，连接，过点作于点． （1）如图1，，，与交于点，则　　 ，　　 ； （2）如图2，若点是线段延长线上一点，连接．若，求证：． 【答案】（1），． （2）证明见解析部分． 【分析】（1）如图1中，设．根据，构建方程求解即可． （2）如图2中，过点作于，交于，设交于．想办法证明，即可解决问题． 【解答】（1）解：如图1中，设． ，， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为，． （2）证明：如图2中，过点作于，交于，设交于． ，，， ， ， ， ，， ， ，， △△， ， ， ． 解法二：过点作于点，证明，即可． 24．如图，在等腰△中，，为高．（从下列两问中任选一问作答）． （1）若，求的度数． （2）若，，求△的面积． 【分析】（1）设，则，，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，，求得，设为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1），， 设， 则，， 在△中：， 即， 解得， 则； （2）为高．△为直角三角形， ，， ， 设为，则， 在直角三角形中，， 即，， 解得， ． 25．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为， （1）求证：是的中点． （2）若等边三角形的边长为4，请求出的长． 【分析】（1）要证是的中点，根据题意可知，证明△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证； （2）先根据等边三角形的性质求出的长，再判断出是等腰三角形即可． 【解答】解：（1）证明：连接， 在等边，且是的中点， ，， ， ， ， ， ， ，为等腰三角形， 又， 是的中点； （2）是边长为4的等边三角形，是边上的中线， ，，平分，， ， ． 26．如图，，分别是中，边的中垂线（即垂直平分线），、 的平分线相交于点，试判定与的位置关系，并给出证明． 【分析】首先连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由，分别是，边的中垂线，可得，又由，的平分线相交于点，可得点在的角平分线上，然后由三线合一，证得结论． 【解答】解：． 理由：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ，分别是，边的中垂线， ，， ， ，的平分线相交于点， ，， ， 点在的角平分线上， ， ． 27．如图，在中，，平分，点到点与点的距离相等，过点作于点． （1）求证：； （2）请直接写出，，三者之间的数量关系：　　 （3）若，，求的度数． 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一即可证明． （2）结论：．如图2中，作于，交于． （3）如图3中，作于，于．首先证明，推出，推出，由，推出， 利用（2）的结论求出，即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， ，， （三线合一）． （2）解：结论：． 理由：如图2中，作于，交于． ，，， ， ，， ， ． 故答案为 （3）解：如图3中，作于，于． ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 28．如图，在中，，，，于点．求、的长． 【分析】根据三角形内角和定理求出，，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：，， ，， ，， ， ， ． 29．操作与实践 （1）如图1请你在中画一条线段，把分成面积相等的两部分． （2）如图2请你按照（1）的方法把四边形分成面积相等的两部分． （3）如图3，已知，点，在上，点，在上，则与的面积相等； 利用以上性质尝试在如图4四边形中作一条线段，把四边形分成面积相等的两部分，请简要写出画图步骤． 【分析】（1）找到一边中点，作出中线； （2）将四边形转化为三角形，根据等底等高的三角形面积相等解答； （3）利用（1）（2）的结论作出图形，再利用图形的面积的和差即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，取的中点，为的中线，则， 根据等底等高的三角形面积相等，得； （2）如图2，连接，再取的中点，连接与， ，， ， ； （3）如图4，连接，，取的中点，过点作交于，连接， 即：线段把四边形分成面积相等的两部分， 理由：连接交于，连接， 由（1）知，， ，， ， 点是的中点， 由（2）知，，， ． ． ， 即：线段把四边形分成面积相等的两部分． 30．如图，正方形和正方形的边长分别为和6． （1）用含的代数式表示直角三角形的面积（直接写出）； （2）请求出阴影部分的面积（结果用含的代数式表示并要求化简）； （3）求时，阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）14． 【分析】（1）根据三角形的面积公式列式即可； （2）阴影部分的面积正方形和正方形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积； （3）把代入（2）计算即可． 【解答】解：（1）直角三角形的面积； （2）阴影部分的面积正方形和正方形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积 ； （3）把代入，原式． 31．图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在△上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则 　　 ． 【答案】． 【分析】（1）判定△△，推出，即可证明是的平分线； （2）过作于，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到△的面积，即可求出的长． 【解答】（1）证明：如图2，在△和△中， ， △△， ， 是的平分线； （2）解：如图3，过作于， 平分，于， ， △的面积△的面积△的面积， ， ． 故答案为：． 32．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到 （填“”“ ”或“” ； （2）如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】（1）； （2）三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由如下： 是△的一条中线， 是△的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ． （3），，，理由如下： 由（2）可知，， ， △的边上的高与△的边上的高相同， ， 同理可得，，． 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断△，△面积相等，△，△面积相等，△，△面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【解答】解：（1）△和△的底分别为、，高为点到线段的距离， 两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由如下： 是△的一条中线， 是△的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ． （3），，，理由如下： 由（2）可知，， ， △的边上的高与△的边上的高相同， ， 同理可得，，． 33．综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△中，点在边上，求证：． 【深化应用】若已知是△内任意一点．连接，，求证：． 【拓展应用】如图，是△内任意一点，连接，，，若△的周长为10，则的取值范围是 ． 【答案】【直接应用】：由三角形三边关系得，， ，即； 【深化应用】：延长交于点，如图， ①，②， ①②得， ， 即； 【拓展应用】． 【分析】【直接应用】根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 【深化应用】延长交于点，根据三角形三边关系得到①，②，利用①②即可推出； 【拓展应用】根据三角形三边关系得到①，②，③，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【解答】【直接应用】证明：由三角形三边关系得，， ，即； 【深化应用】证明：延长交于点，如图， ①，②， ①②得， ， 即； 【拓展应用】解：在△中，①， 同理，③，②， ①②③得，， ， ， △的周长为10， ， ， 则． 故答案为：． 34．如图，在△中，，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接． （1）如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，点在的延长线上．当，，时，求线段的长． 【答案】（1）， ，，， ，即， ， ； （2）6． 【分析】（1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【解答】解：（1），理由如下： ，，， ，即， ， ； （2），，， ，即， ， ． ， ， ， 所以， 整理得，， 解得， ， 所以线段的长为6． 35．已知△的面积是60，请完成下列问题： （1）如图1，若是△的边上的中线，则△的面积　　 △的面积（填“”“ ”或“” ； （2）如图2，若，分别是△的边，上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得：，同理：， 设，，则，， 由题意得：， 可列方程组为：，解得　　 ，通过解这个方程组可得四边形的面积为　　 ； （3）如图3，，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 【答案】（1）； （2），20； （3）四边形的面积为13，理由： 连接，设，， 由条件可知，，， ， ，解得：； 四边形的面积为． 【分析】（1）根据三角形的中线平分面积作答即可； （2）加减消元法求出，的值，再根据得四边形的面积为，进行计算即可； （3）连接，设，，仿照（2），进行求解即可． 【解答】解：（1）由中线性质可得△的面积△的面积； 故答案为：； （2）， 解得； 由图可知：四边形的面积为； 故答案为：，20； （3）四边形的面积为13，理由如下： 连接，设，， 由条件可知，，， ， ，解得：； 四边形的面积为． 36．如图，正方形和正方形，点在边上，点在的延长线上，正方形、的边长分别是、． （1）用含有、的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积、； （2）根据（1）中所求结果，比较两个阴影部分面积的大小； （3）课本第九章《图形的变换》强调从运动变化的观点研究图形，请运用图形变换的知识说明图1和图2中阴影部分面积的大小关系． 【答案】（1）图1中阴影部分的面积为；图2中阴影部分的面积为； （2）； （3）；理由见解析． 【分析】（1）分别利用正方形和三角形面积公式计算两个图形中阴影部分面积； （2）比较（1）中所得两个面积表达式； （3）从图形变换角度阐述两个阴影部分面积相等的原因． 【解答】解：（1）， ； 答：图1中阴影部分的面积为；图2中阴影部分的面积为； （2）； （3） 方法一：△不动，将图1中△沿翻折与图2中△重合，所以； 方法二：△、△不动，将图3中△绕点旋转至△，所以． 37．如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为． （1） ，　　 （用含的式子表示）； （2）求长方形的周长（用含的式子表示）； （3）若，请直接写出三角形的面积是　　 ． 【答案】（1），； （2）； （3）22． 【分析】（1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长， （3）根据三角形的面积公式，结合，即可求解． 【解答】解：（1）由图可知：， ； 故答案为：，； （2）长方形的宽为：， 长为：， 则长方形的周长为： ． （3）当时， ． 故答案为：22． 38．探索： 在如图1至图3中，的面积为． （1）如图1，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则　　（用含的代数式表示）； （2）如图2，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则　 　（用含的代数式表示），并写出理由； （3）在图2的基础上延长到点，使，连接、，得到（如图．若阴影部分的面积为，则　 　（用含的代数式表示）． 发现： 像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到（如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的　 　倍． 应用： 去年在面积为的空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把向外进行两次扩展，第一次由扩展成，第二次由扩展成（如图．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？ 【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等； （2）运用分割法：连接．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等； （3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算． 应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍． 【解答】解：（1）， 和是等底同高的，即； （2）； 理由：连接， ，， ， ； （3）结合（2）得：； 发现：扩展一次后得到的的面积是，即是原来三角形的面积的7倍． 应用：拓展区域的面积：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/25 9:55:22；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第1页（共31页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年苏科版八年级数学上册《三角形》期末复习2 一．选择题（共5小题） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，6，10 D．2，3，7 2．两位侠客施展“全等剑阵”△ △，则剑光总长为六尺，剑光重叠处长四尺．问独属一位侠客的剑光长几何？（　　） A．3尺 B．2尺 C．1尺 D．0.5尺 3．如图，在△中，，，分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△中，，，交于点，，则的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图，在△中，角平分线，相交于点，过点作，分别交，于点，．若，，则△的周长等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 二．填空题（共8小题） 6．中，，点在射线上，且，连接，若，则　　． 7．如图，在中，，点、分别在，上，，连接，和，并且，延长，交于点，连接，取中点，连接交于点，若，，则的面积为　　．（用含的式子表示） 8．如图，已知在四边形内，，，，，则 　　． 9．等腰三角形腰长为，腰上的高为．那么这个三角形的顶角是　　度． 10．如图，△中，，角平分线、相交于，，，，则　　 ．（用含、的式子表示） 11．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有　 　个． 12．如图，在中，，分别为，边上一点，与交于点，已知，，且的面积为60平方厘米，则的面积为 　　平方厘米；如果把“”改为“”其余条件不变，则的面积为 　　平方厘米（用含的代数式表示）． 13．如图，，点，在边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，则的值是 　　． 三．解答题（共26小题） 14．已知，，为的三边长，化简． 15．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题． 16．如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是10． （1）求的长度； （2）若，，求的面积． 17．如图，已知直线，点、分别在、上，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 18．已知：如图，在中，，是的角平分线；平分，交于点；． （1）求的度数． （2）如果，求的长度． （3）猜想：与的位置关系，并证明你的猜想． 19．如图，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为，则 （1）　　，　　．（用含的代数式表示） （2）当为何值时，是直角三角形？ 20．在四边形中，，连接、，、分别是、的中点，连接，试证明． 21．如图，已知中，，，，． 求证：． 22．如图，在等边中，点，分别在边、上，若，过点作，过点作，交的延长线于点． （1）求证：为等边三角形； （2）求的长． 23．已知：在△中，，为线段上一点且满足，连接，过点作于点． （1）如图1，，，与交于点，则　　 ，　　 ； （2）如图2，若点是线段延长线上一点，连接．若，求证：． 24．如图，在等腰△中，，为高．（从下列两问中任选一问作答）． （1）若，求的度数． （2）若，，求△的面积． 25．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为， （1）求证：是的中点． （2）若等边三角形的边长为4，请求出的长． 26．如图，，分别是中，边的中垂线（即垂直平分线），、 的平分线相交于点，试判定与的位置关系，并给出证明． 27．如图，在中，，平分，点到点与点的距离相等，过点作于点． （1）求证：； （2）请直接写出，，三者之间的数量关系：　　 （3）若，，求的度数． 28．如图，在中，，，，于点．求、的长． 29．操作与实践 （1）如图1请你在中画一条线段，把分成面积相等的两部分． （2）如图2请你按照（1）的方法把四边形分成面积相等的两部分． （3）如图3，已知，点，在上，点，在上，则与的面积相等； 利用以上性质尝试在如图4四边形中作一条线段，把四边形分成面积相等的两部分，请简要写出画图步骤． 30．如图，正方形和正方形的边长分别为和6． （1）用含的代数式表示直角三角形的面积（直接写出）； （2）请求出阴影部分的面积（结果用含的代数式表示并要求化简）； （3）求时，阴影部分的面积． 31．图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在△上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则 　　 ． 32．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到　　 （填“”“ ”或“” ； （2）如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 33．综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△中，点在边上，求证：． 【深化应用】若已知是△内任意一点．连接，，求证：． 【拓展应用】如图，是△内任意一点，连接，，，若△的周长为10，则的取值范围是　　 ． 34．如图，在△中，，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接． （1）如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，点在的延长线上．当，，时，求线段的长． 35．已知△的面积是60，请完成下列问题： （1）如图1，若是△的边上的中线，则△的面积　　 △的面积（填“”“ ”或“” ； （2）如图2，若，分别是△的边，上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得：，同理：， 设，，则，， 由题意得：， 可列方程组为：，解得　　 ，通过解这个方程组可得四边形的面积为　　 ； （3）如图3，，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 36．如图，正方形和正方形，点在边上，点在的延长线上，正方形、的边长分别是、． （1）用含有、的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积、； （2）根据（1）中所求结果，比较两个阴影部分面积的大小； （3）课本第九章《图形的变换》强调从运动变化的观点研究图形，请运用图形变换的知识说明图1和图2中阴影部分面积的大小关系． 37．如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为． （1）　　 ，　　 （用含的式子表示）； （2）求长方形的周长（用含的式子表示）； （3）若，请直接写出三角形的面积是　　 ． 38．探索： 在如图1至图3中，的面积为． （1）如图1，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则　 　（用含的代数式表示）； （2）如图2，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则　 　（用含的代数式表示），并写出理由； （3）在图2的基础上延长到点，使，连接、，得到（如图．若阴影部分的面积为，则　 　（用含的代数式表示）． 发现： 像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到（如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的　 　倍． 应用： 去年在面积为的空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把向外进行两次扩展，第一次由扩展成，第二次由扩展成（如图．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？ 第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $