重难点专训04 利用导函数研究函数零点问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数为工具，系统构建函数零点问题的"定义-求导-极值-判断"四步解题体系，融合参变分离与隐零点替换策略，实现知识逻辑与解题方法的深度统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|四步核心流程（定义域→求导→极值→判断）；参变分离与分类讨论策略；零点存在定理应用规范|以导数研究单调性、极值为基础，通过极值符号与区间端点值判断零点个数，形成"导数工具→函数性质→零点判定"的逻辑链| |题型通法及变式提升|2题型（各含2典例+2变式）|题型1：参数范围转化为函数图象交点问题；题型2：隐零点"设而不求"代换技巧（导函数零点方程代换超越项）|从显式零点到隐零点，从单一参数到多参数讨论，体现问题复杂度递进，强化转化与化归思想| |重难专题分层过关练|巩固10题+创新10题|分层训练设计（基础应用→综合创新）|覆盖高考高频考法（含参函数、方程根、不等式证明），通过典型例题与变式训练，培养数学思维的严谨性与逻辑推理能力|

重难点专训04 利用导函数研究函数零点问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 由零点个数求参数范围及方程根 2 题型2 隐零点替换设而不求 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 函数零点本质是方程(f(x)=0)的根，解题核心是结合导数分析函数单调性、极值，配合零点存在定理判断零点个数。第一步明确定义域，求导找出导函数零点，划分单调区间，求出极大、极小值。 判断零点核心逻辑：区间两端函数值异号且单调，仅有一个零点；极值正负决定零点总量，极小值大于 0 或极大值小于 0 则无零点，极值跨 0 则存在对应零点。 含参题型优先参变分离，转化为直线与曲线交点问题，简化分类讨论；无法分离则按导函数零点对参数分段讨论。 答题必用零点存在定理，选取特殊点代入函数取值佐证存在零点；留意间断点、端点极限，避免遗漏无穷远处趋势。 易错点：混淆极值点与零点，忽略定义域限制，未检验参数边界情况。大题规范写出单调性、极值计算，结合图像辅助分析，完整推导零点数量，减少步骤失分。 函数的零点问题 考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型： （1）确定函数零点（图象交点及方程根）的个数问题； （2）根据函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围问题. 由函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围 已知函数零点个数（方程的根）求参数值（或范围）常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 讨论函数零点个数 利用导数来探讨函数零点（或函数的图象与函数的图象的交点问题），有以下几个步骤： ①构造函数； ②求导； ③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解. 探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解. 常见隐零点模型与代换公式 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 题型通法及变式提升 题型1 由零点个数求参数范围及方程根 【典例1-1】（2026·天津·二模）已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 将零点个数问题转化为函数图象与 轴交点个数问题。先研究函数不含参时的单调性与极值，再将参数视为影响函数上下平移或形状的因子。常用方法：① 分离参数，化为 ，则原函数零点个数等于直线 与曲线 的交点个数，通过分析 的值域与单调区间确定参数范围；② 直接构造函数，利用导数分析极值符号，通过极值等于零或与零比较列出不等式组。 【典例1-2】（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【变式1-1】（2026·天津·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值为，求的值； (3)当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 【变式1-2】（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 题型2 隐零点替换设而不求 【典例2-1】（2026·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 当导函数零点无法用初等形式显式解出时，设该零点为 ，满足 。利用该等式进行代换（例如将 或 表示为其他形式），从而简化原函数表达式（如 ）。常用于证明与极值点有关的不等式或求参数的取值范围。操作步骤：① 求导，设隐零点 ；② 由 得到代换关系；③ 将目标式用 表示，并利用代换消去超越项，得到关于 的简单函数；④ 根据 的范围（通过零点存在定理确定大致区间）求值域或证明不等式。 【典例2-2】已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若=0，求的值； (3)证明：. 【变式2-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)求证：. 【变式2-2】设函数，其中 (1)当时，讨论单调性； (2)证明：有唯一极值点，且. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 2．（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不同的实数解，证明：． 3．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_______． 4．（2025·天津北辰·三模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 5．（2024·天津滨海新区·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是________． 6．（2026·天津·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对时，，求正实数的最大值； (3)若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 7．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②在上是单调函数； ③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 9．（2026·天津·一模）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． 10．（2026·天津河西·一模）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，，，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证． 创新提升 1．（2026·天津河东·一模）已知函数（）. (1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围； (2)函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 2．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是______. 3．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为________________. 4．若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 5．（2026·天津·阶段检测）已知函数，，． (1)过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值； (2)令， （ⅰ）讨论的极值点个数； （ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：． 6．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 7．（2026·天津·二模）已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是________. 8．（2025·天津河北·一模）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 9．（2026·天津南开·阶段检测），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是______． 10．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训04 利用导函数研究函数零点问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 由零点个数求参数范围及方程根 2 题型2 隐零点替换设而不求 9 重难专题分层过关练 15 巩固过关 15 创新提升 33 解题方法及技巧提炼 函数零点本质是方程(f(x)=0)的根，解题核心是结合导数分析函数单调性、极值，配合零点存在定理判断零点个数。第一步明确定义域，求导找出导函数零点，划分单调区间，求出极大、极小值。 判断零点核心逻辑：区间两端函数值异号且单调，仅有一个零点；极值正负决定零点总量，极小值大于 0 或极大值小于 0 则无零点，极值跨 0 则存在对应零点。 含参题型优先参变分离，转化为直线与曲线交点问题，简化分类讨论；无法分离则按导函数零点对参数分段讨论。 答题必用零点存在定理，选取特殊点代入函数取值佐证存在零点；留意间断点、端点极限，避免遗漏无穷远处趋势。 易错点：混淆极值点与零点，忽略定义域限制，未检验参数边界情况。大题规范写出单调性、极值计算，结合图像辅助分析，完整推导零点数量，减少步骤失分。 函数的零点问题 考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型： （1）确定函数零点（图象交点及方程根）的个数问题； （2）根据函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围问题. 由函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围 已知函数零点个数（方程的根）求参数值（或范围）常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 讨论函数零点个数 利用导数来探讨函数零点（或函数的图象与函数的图象的交点问题），有以下几个步骤： ①构造函数； ②求导； ③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解. 探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解. 常见隐零点模型与代换公式 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 题型通法及变式提升 题型1 由零点个数求参数范围及方程根 【典例1-1】（2026·天津·二模）已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）当时，，， 求导可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i），求导可得， 因为，分类讨论 当时，，单调递减，则不可能有极小值点； 当时，令，即，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此均有极小值点，且， ， 令，设函数， 故对任意的，，求导可得， 当时，，单调递增， 当，，单调递减， ，， 当时，；，， 图象如下图所示， 故恒成立，解得． （ii）方程有两个根， 由（i）可知，否则单调递减，不可能有两个根， 方程有两个根等价于有两个根， 设函数，， 当，；当，，故可知， 记，上式等价于有两个根， 即，两式相减可得，记， 故上式可写成，即， 将代入可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得，单调递增， 故，即，单调递增， 要求最小值，即求的最小值，就是求的最小值， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，，的图象如下图所示 ， 故存在使得，即， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即时，取最小值， 故． 将零点个数问题转化为函数图象与 轴交点个数问题。先研究函数不含参时的单调性与极值，再将参数视为影响函数上下平移或形状的因子。常用方法：① 分离参数，化为 ，则原函数零点个数等于直线 与曲线 的交点个数，通过分析 的值域与单调区间确定参数范围；② 直接构造函数，利用导数分析极值符号，通过极值等于零或与零比较列出不等式组。 【典例1-2】（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明：当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，，， 由，得，则， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，，于是， 所以. （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，，，则 ， 由（i）知，，令，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 故，令函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以. 【变式1-1】（2026·天津·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值为，求的值； (3)当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明：因为，令，即， 因为，所以等价于，令，其中， 当，时，恒成立，此时无零点， 当，时，， 令，则， （i）若，则，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，     而，，，存在，使得， 故的零点； （ii）当，， 当时，因为， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 由，当时，， 所以在上单调递增，， 所以， 又因为，， 故的零点，， 由（i）（ii）有，， 因为是的零点，即，所以， 令，因为，当，， 所以在上单调递减， 又因为，所以，即， 因为， 而，， 所以，故. 【变式1-2】（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 【答案】(1)；(2)； (3)对于正整数，，由（2）可知，此时必存在唯一的正实数零点，即满足方程：，令，，则， 令，则， 令，则， 因为，所以，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，故，即， ，所以， 将代入得，， 对到n累加：， 令，， 构造，， 故， 严格恒成立，所以， 所以，因为， 所以， 将代入得，， 由于，有， 所以， 对到n累加，首尾相消得 ， 故. 题型2 隐零点替换设而不求 【典例2-1】（2026·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)证明：， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，. (3) 【详解】（1）由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 当导函数零点无法用初等形式显式解出时，设该零点为 ，满足 。利用该等式进行代换（例如将 或 表示为其他形式），从而简化原函数表达式（如 ）。常用于证明与极值点有关的不等式或求参数的取值范围。操作步骤：① 求导，设隐零点 ；② 由 得到代换关系；③ 将目标式用 表示，并利用代换消去超越项，得到关于 的简单函数；④ 根据 的范围（通过零点存在定理确定大致区间）求值域或证明不等式。 【典例2-2】已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若=0，求的值； (3)证明：. 【答案】(1)，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增 (2)0 (3) 记，则， 因为，所以在单调递减，且由（2）可知，则. 所以若，；若，， 所以可知函数在单调递增，在单调递减，所以， 又，，， 所以，所以. 【详解】（1）由得且， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，令，则；令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增； 综上，，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增. （2）由，所以，即， 令，则，所以， 由（1）可知，当时，在单调递增， 所以，所以； 【变式2-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)当时，在R上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)由（2）得：当时，， 即恒成立，当且仅当时，等号成立， 要证明，只需证明， 即， 令， 则，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立， 即在R上单调递增， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在时单调递减，在时单调递增， 因为， 所以，当且 仅当处等号成立， 由于与，等号成立时的取值不同，故最终等号取不到， 所以 【详解】（1）定义域为R， ， 当时，恒成立，在R上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在R上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在R上单调递减，则在R上最多一个零点，故不满足有两个零点，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，， 要想有两个零点，要满足， 令，， 恒成立，所以在上单调递增， 又注意到，所以， 又， 由零点存在性定理，在上有一零点， 设正整数满足， 则， 而， 由零点存在性定理，在有一个零点. 综上：的取值范围是. 【变式2-2】设函数，其中 (1)当时，讨论单调性； (2)证明：有唯一极值点，且. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)证明见解析. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，， 所以在上单调递增，又， 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，，，则在上单调递增，至多有一个零点， 令，其中，则， 当时，，单调递增. 当时，，单调递减， 所以，即，于是， 令，则，两边取自然对数可得， 令，则在上单调递增. 故，又， 所以在上有唯一零点，则有唯一零点，即有唯一极值点. 下证： 因为，所以，可得， 所以，当且仅当时等号成立， 综上，有唯一极值点且，得证. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】令，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 即， 函数在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，如下图所示： 因为， 当时，，即， 要使得直线与函数的图象有个交点， 则，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递减，， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，所以， 此时； 当时，，则，， 要使得直线与函数的图象有个交点，则，解得； 当时，，要使得直线与函数的图象有个交点， 则，可得， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，其中，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以，且，此时， 此时. 综上所述，实数的取值范围是. 2．（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不同的实数解，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)由，得， 若有两个不同的实数解，则， 两式相减得，所以． 不妨设，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以①． 由，得有两个不同的实数解， 令， 当时单调递增，当时单调递减， 由，，所以． 令，则方程有两个不同的实数解． 由（2）知，则有． 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，即，故，当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线交点的横坐标分别为，    则， 所以②． 综上，． 【详解】（1），则切线的斜率为，又， 所以处的切线方程为，即． （2）， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 若在区间上恒成立，则的取值范围为． 3．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由， 可得当时，即，所以； 当时，，所以， 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以， 令，则与有两个交点， ①当时，，则在上单调递增，且； ②当时，则， 令，则， 所以当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 所以，所以恒成立， 所以恒成立，所以在上单调递减， 又，因为，所以， 且当时，，所以； 所以，即的取值范围是. 故答案为： 4．（2025·天津北辰·三模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 【答案】(1) (2)证明：由于，故的方程可化为. 设，则直线的方程为. 令， 设，则对有，所以在上单调递增. 记， 则. 由于， 且 ， 故一定存在，使得，即. 而，故是与曲线的交点，且 (3) 【详解】（1）当时，，而，所以. 所以的方程是，即 （3）对，设. 则， 令，则， 令，. 由于当时，的导数， 故在上单调递增. 若，则. 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上无零点. 若，则. 由于对有， 故. 从而存在使. 结合在上单调递增，知对有， 从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以， 又由于对有 ， 故对有，从而当时， 有 . 结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点. 综上，对，函数在上存在零点的充要条件是. 最后，一方面因为，就有 ， 所以在上存在零点，故； 另一方面，对任意，取，则在上存在零点. 记该零点为，取，则 . 所以这样的满足原条件，且. 综上，的取值范围是. 5．（2024·天津滨海新区·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】时，，单调递增，的图象： 令， 函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点． ①当k＝0时，， 如图， 显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意； ②当k＜0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则； ③当k＞0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点， 则与在时有两个交点， 即有两个正实数根， 即有两个正实数根， 令， 则与在时图象有两个交点， ， 令，， 则，∴在时单调递增， ∵，，， ∴当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴， ∴如图： ∴． 综上所述，． 故答案为：． 6．（2026·天津·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对时，，求正实数的最大值； (3)若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 【答案】(1)(2)(3)方程实数根有且只有一个，理由如下： ， 所以，令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，使得，即， 两边同时取对数得，， 而在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以，在上单调递减，所以 因为，且， 所以方程的实数根等价于的实数根， 设，其中，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 两边取对数得，，即， 又，且， 所以， 设，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即函数只有唯一零点， 故方程的实数根有且只有一个，即方程实数根有且只有一个. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 则曲线在处的切线方程为 （2）由题意知，，令， 所以， 因为，所以，而为正实数， 所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增，且， ①当时，在区间上恒成立， 所以函数在上单调递减，此时，符合题意； ②当时，，， 由零点存在定理知，，使得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，有，不符合题意， 综上，正实数的最大值为 7．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②在上是单调函数； ③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】函数是偶函数， 则有， 即， ，①正确； 则， 设，由于，易知在上单调递增，则， 所以在上为增函数， 而为增函数，则在上是单调函数，②正确； ，当且仅当时，等号成立， 则的最小值为，③正确； 为偶函数且在上为增函数，其最小值为， 由于，所以，故方程没有实数根；④错误． 故选：C． 8．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ①当时，，则单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，令，设， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以的极小值为， 由已知，时，时，只须， 所以，即， 解得． （2），设切点为，由已知切线方程可知， 由代入下式得， 所以， 令，，由得， 因为， 所以在为单调递增函数，为方程的唯一解． 所以，． （3）， 设， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以， 令，，令，， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ，解得， 显然当时，恒成立， 当时，，存在，不符合条件， 综上所述． 9．（2026·天津·一模）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，有两根记为，在和上单调递增，在上单调递减. (3)证明如下： 由（2）知，， 因为函数在上有两个不同的零点， 所以即，即， 两式相除得，令③， ，所以，代入③式得， ， 令，，， 令，， 因为，所以， 所以在区间上单调递增，所以， 所以在区间上单调递增，所以， 得证. 【分析】（1）利用导数求切线方程； （2）讨论的取值范围利用导数求的单调性； （3）通过构造函数求最值的方法证明不等式. 【详解】（1）函数，有， ，有， 所以切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为. （2）函数，，， 令，，， 令，得， 令，得，所以在上单调递减， 令，得，所以在上单调递增， 所以， ①当时，， 所以，即， 所以在上单调递增； ②当时，， 所以，即， 当时，，，从而， 当时，，，与相比，指数函数呈爆炸性增长，从而， 所以有两根，记为， 当变化时，与的变化情况如下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，有两根，记为，在和上单调递增，在上单调递减. 10．（2026·天津河西·一模）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，，，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明：由（i）知，三个零点分布为：，，． 由零点分布可知，，． 令，，． 显然有，，． 因为，代入得：． 同理代入和可得：，且． 因此，，是方程的两个正根，而u是方程的正根． 因为，两边同时乘以并除以，得： 两边取自然对数： 同理，由可得： 将上述两式相加，得到： 下面证明． 设，由已知． 由于，要证，而且在上单调递减． 等价于证明，即证对任意成立． 构造函数． 即证明：， 令．， 令，，， 因为，所以，即单调递增． ． 所以在上单调递减，． 故成立，进而在上恒成立． 这说明成立，从而得到． 因为且，所以． 代入第一步得到的恒等式中： 将，，代回上式： 所以原不等式得证． 【详解】（1）当时，． 将代入，得切点纵坐标． 对求导得： 所以在处的切线斜率为：， 所以切线方程为，即：． （2）（i）由等价于． 设．． 令，解得或． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 的极大值为；极小值为． 又当时，；当时，． 所以函数的大致图象如图： 所以，要使直线与有3个不同的交点，必须满足： 故实数a的取值范围是． 创新提升 1．（2026·天津河东·一模）已知函数（）. (1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围； (2)函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（ⅰ）可知，，所以， 又函数在单调递增，，，， 所以， 又，所以，所以， 即. 【详解】（1）（），令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点. 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 由上可知，，∴. （2）（ⅰ）（，）， （，），令，则， 因为有三个不同的极值点，即有三个变号零点， 所以必有两个不相等的正根， 所以方程必有两个不相等的正根， 记为，则，且， 由得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，且，所以必有，且为极小值点，，且为极大值点. ，当时，，在上有唯一零点， 因为，， 必有为极大值点. 综上，当且仅当时，有三个不同的极值点，即a的取值范围为. 2．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】，即， 当时，，即，故满足要求， 若，则无解，若，则，解得不满足； 若，则的解， 若，则的解，且当时，， 故当时，在上有两个零点， 当取其他值时，只有1个零点， 时，， 显然当时，无解， 当且时，， 令， ， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 故在，，上单调递增， 在，上单调递减， 又时，，其中，，，， 画出的图象如下： 当或或或时，有一个零点， 当时，有2个零点， 当时，有3个零点， 当时，无零点， 综上：最多有4个零点， 则. 故答案为：. 3．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为________________. 【答案】 【详解】因关于直线对称，则，且， 则且，解得， 则， 经检验：对任意恒成立， 即的图象关于直线对称， 则符合题意； 因恰有6个零点， 则与的函数图象有6个交点， 现研究函数的单调性： 因 ， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因， 则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象： 由图象可知，，则的取值范围为. 故答案为：. 4．若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 由，显然不可能是零点，则有且仅有一个根， 当或，则， 令， 当，则， 令，则，即在上单调递增， 由， 即使，则， 所以上，即，则在上单调递减， 上，即，则在上单调递增， 而在上恒成立， 所以在上恒成立，且其最小值， 此时，时，在上无解，即不存在， 时，在上有1或2个解，与或唯一性矛盾， 当，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，，则； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 5．（2026·天津·阶段检测）已知函数，，． (1)过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值； (2)令， （ⅰ）讨论的极值点个数； （ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）时，有一个极值点， 当时，无极值点， 当时，有两个极值点， （ⅱ）证明如下： 由（i）知，时，有一个负的极小值点，设为， 又在递减，在单调递增，即为的极小值点也是最小值点， 所以又，即， 所以，故无零点，不满足题意， 当时，有两个正数极值点，不妨设极大值点为，极小值点为， 由（i）可知， 在单调递增，在单调递减， ， 故时，，即在无零点， 先证明时，， 记（），则，，， 令，则， 当时，此时单调递增， 故，故单调递增， 故， 故单调递增， 则 ， 故时，， 所以， 又，故使得故有唯一的零点. 又， 所以， 令， ， 当单调递增，当单调递减，所以，故， 所以 即在上为单调递增函数，故， ，又在为单调递增函数，所以， 综上：若为的极小值点，为的零点时，恒有. 【详解】（1）设的切点为，又， 则， 由于过原点，所以，可得，所以切线的斜率为， 设的切点为故. （2）（ⅰ）由题意有所以 令 当时，单调递增，此时无极值点， 当时，，则为单调递增函数，且， 故存在使得，所以在递减，在单调递增，故有一个极值点， 当时，令得，且为单调递增函数， 所以在递减，在单调递增， 故， 当，，则为单调递增函数，无极值点， 时，，当时，， 故，使得， 所以在单调递增，在单调递减，故有两个极值点， 综上可得时，有一个极值点，当时，无极值点，当时，有两个极值点， 6．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间. (2)（ⅰ）； （ⅱ）因为， 所以若，则，所以. 当时，先证明不等式恒成立，设， 则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立. 由，可得， 因为，所以，即， 两边同除以， 得， 所以， 【详解】（1）当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）（ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ，令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则，， 所以. 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，. 综上，实数的取值范围为 （ⅱ）略 7．（2026·天津·二模）已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】解：当，， 由可得，由可得， 故可得在单调递减，在单调递增， 故在有最小值为， 又因为当时，， 由函数有6个零点，故可得两段函数分别存在4和2个零点. 若存在四个零点，此时需满足：， 若存在实数，使得函数有6个零点，此时有两种情况： ①：； ②：， 综上：. 故答案为：. 8．（2025·天津河北·一模）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】∵，∴. 当时，由得，， 当时，由得，， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 当时，，函数在上是减函数， 当时，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数，且当时，函数极小值为， 当时，，当时，，函数图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（2026·天津南开·阶段检测），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，且， 当时， ，其图象可以由的图象向左平移一个单位， 再向下平移个单位，再把轴上方的图象翻折到轴下方得到， 画出函数图象，如图所示： ，当时，，无零点； 当时，，即， 函数有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 根据图象知：或，解得或. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 10．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，，，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减， 时，，且时，恒成立， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 时，，在R上的图象如图， 当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0， 函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点， 当，即时，和各一个零点，共两个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，和各有一个零点，共两个零点， 当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $