单元集训卷06 导数及其应用-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数核心概念与应用，构建从基础到综合的知识逻辑链，强化数学思维与问题解决能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|4题|切线方程、导函数图像辨析|导数几何意义与导函数性质的概念生成| |导数与函数性质|9题|单调性、极值、最值判定|导数符号与函数增减性的原理推导| |综合应用|7题|零点个数、参数范围、不等式证明|导数工具在复杂问题中的应用拓展|

单元集训卷06　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 2．若直线与曲线相切，则（ ） A． B． C．0 D．1 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 4．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 5．已知函数，，则（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 6．函数在处取得极小值，则（ ） A． B．1 C．或 D．1或3 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 10．若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在处的切线方程为______． 13．已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是__. 14．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 16．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 18．已知函数． (1)若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； (2)若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； (3)若，过点作函数的切线，求切线方程． 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷06　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 【答案】D 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 2．若直线与曲线相切，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】由，求导得. 因为直线与曲线相切，设切点为， 则切线斜率，解得. 则切点为，则，解得. 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】由题设，且， 若，则或， 所以函数的单调递增区间为，. 4．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 5．已知函数，，则（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】D 【详解】由题可知，的定义域均为，， 所以， 则， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 先减后增． 6．函数在处取得极小值，则（ ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】B 【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值. 【详解】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论. 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 8．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，把有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理构造不等式组求解． 【详解】函数的定义域为，求导得 ， ，导数的符号由分子决定，令， 函数有两个极值点，等价于在上有两个实根， 则二次方程需满足 ，解得， 的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，求导，根据导数判断单调性，根据函数单调性判断即可求解. 【详解】令， ，，则恒成立， 故在，上单调递增， 故，即，故 B正确，D错误． ，即，故 C正确，A错误． 10．若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】借助导数可先得到函数的单调性，结合题意与函数单调性计算即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由函数在上有最小值， 则在上有最小值， 又，故有， 即，解得，故选项中BC符合、AD不符. 故选：BC. 11．已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 【答案】AC 【详解】已知，求导得， 选项A：因为，有两个不同的实根， 且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确； 选项B：令，得，即，解得， 因此直线与图象有个公共点，B选项错误； 选项C：的极大值为（恒成立）， 极小值为有三个零点等价于极小值小于， 即，结合得，即，C选项正确； 选项D：当时，，所以在上恒成立， 在单调递减，， 当时，，不满足，D选项错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【详解】由题可得，由于，， 所以曲线在处的切线方程为，即． 13．已知函数，且是的一个极值点，若函数在上单调递增，则的取值范围是__. 【答案】 【分析】通过极值点条件建立参数关系，因式分解导函数，结合极值点定义排除特殊参数值，再将单调性转化为导函数恒非负求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由是的极值点，得，即，可得. 将代入导函数并因式分解， 由极值点定义，两侧导函数符号需改变，故，因此，. 函数在上单调递增，等价于在上恒成立. 因时，故只需在上恒成立， 即，解得. 综上，的取值范围为. 14．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围________． 【答案】 【详解】由题意得函数的定义域为，求导得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不同变号零点， 令，在上有两个不同的正根， ，所以 由韦达定理，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 16．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 (3) 【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.， （2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， （3）将恒成立问题参数分离，构造函数，即可求导求解最值． 【详解】（1）由得. （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得，故， 构造函数，则，令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 17．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数，按的取值范围分情况讨论函数的单调性； （2），令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点，对函数求导并分析函数单调性，作出大致图象，结合图象求实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 若，则，，， 在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， ，则 ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， a的取值范围是． 18．已知函数． (1)若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； (2)若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； (3)若，过点作函数的切线，求切线方程． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）对求导，由不单调可得有两个不相等的实数根，利用根的判别式求解即可. （2）先利用导数确定的单调性，然后根据有三个零点确定实数的取值范围. （3）设出切点坐标，写出切线方程，利用切线经过列出关于的方程，求解出，然后写出切线方程即可. 【详解】（1）的定义域为. . 函数在定义域上不单调，说明有两个不相等的实数根， 所以，解得或. （2），，. 令，即，或，列表如下： 极小值 极大值 . 要使函数有三个零点，则，解得. 故实数的取值范围是. （3）时，，. 设切点，则切线的斜率. 故切线方程为. 又切线经过，，整理得：， 解得或. 当时，切点坐标为，切线方程为. 当时，切点坐标为，切线方程为. 综上，切线方程为或. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【详解】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）略 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $