2.3 单 摆（重难点专练）物理鲁科版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦单摆振动与周期两大题型，通过概念辨析-原理推导-应用拓展的逻辑链条，系统提炼模型条件、回复力分析、等效摆长等解题方法，强化科学推理与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单摆的振动|4题|单摆模型条件、回复力来源、运动特点辨析|概念生成→原理推导→应用拓展| |单摆的周期|5题|摆长（含等效）与g值理解、摆钟调节方法|概念生成→原理推导→应用拓展|

第3节 单 摆（题型突破） 题型01 单摆的振动 题型02 单摆的周期 ▌题型01 单摆的振动 1. 对单摆的理解 (1)平衡位置:摆球静止时,摆线拉力与小球所受重力合力为0的位置,并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上,在摆动过程中,摆球受力不可能平衡。 (2)回复力:回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ提供的,不是重力G与摆线拉力的合力。 (3)单摆是实际摆的理想化模型。实际摆看成单摆的条件: ①摆线是弹性、质量均可以忽略的细线。 ②小球直径与线的长度相比可以忽略。 ③小球摆动时受到的空气阻力与摆球重力及细线的拉力相比可以忽略。 2. 单摆运动特点 (1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都受向心力。 (2)摆球以平衡位置为中心做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,沿轨迹的切线方向摆球都受回复力。 (3)单摆在振动过程中满足机械能守恒。 (4)单摆的摆动不一定都是简谐运动,只有单摆做小角度摆动时才认为是简谐运动。 1.(多选)下列关于单摆的说法正确的是( ) A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为0 B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C.单摆摆球经过平衡位置时加速度为0 D.摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力 答案 AD 解析:简谐运动中的位移以平衡位置为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为0,选项A正确;摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,合力在摆线方向的分力提供向心力,选项B错误;摆球经过最低点(平衡位置)时回复力为0,但向心力不为0,所以合力不为0,加速度也不为0,选项C错误;在最高点时,向心力为0,回复力等于合力,选项D正确。 2.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( ) A.摆线质量不计 B.摆线长度不可伸缩 C.摆球的直径比摆线长度短得多 D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动 答案 ABC 解析:单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不可伸缩。但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动。故正确选项为A、B、C。 3.(多选)关于单摆的摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是( ) A.摆球受重力、摆线的拉力作用 B.摆球的回复力为0时,向心力最大 C.摆球的回复力最大时,摆线的拉力大小比摆球的重力大 D.摆球的向心力最大时,摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 答案 AB 解析:单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力;重力垂直于摆线的分力提供回复力,当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为0,向心力为0,则拉力小于重力,在平衡位置处,回复力为0,速度最大,向心力最大,摆球的加速度方向沿摆线指向悬点。故选项A、B正确。 4.关于单摆,下列说法正确的是( ) A.摆球运动的回复力是它受到的合力 B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时,加速度是相同的 C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 D.摆球经过平衡位置时,加速度为0 答案 B 解析:摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力,选项A错误。摆球经过最低点时,回复力为0,但合力提供向心力,选项C、D错误。由简谐运动特点可知,选项B正确。 ▌题型02 单摆的周期 1.对摆长的理解 (1)实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度,即l=l0+,l0为摆线长,d为摆球直径。 (2)等效摆长 图示 说明 图中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的,所以甲摆的等效摆长为lsin α,其周期为T=2π 图中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的,所以乙摆的等效摆长也为l,其摆动周期为T=2π 2.对“g”的理解 (1)公式中“g”是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的空间位置决定。 (2)g随所在地球表面位置和高度变化而变化,在不同星球上g值也不相同。 3.摆钟的快慢及调节方法 (1)计时原理:摆钟的计时是以钟摆完成一定数量的全振动,从而带动秒针、分针、时针转动实现的,因此钟摆振动的周期变化就反映了摆钟的快慢。如钟摆振动周期变大,则摆钟变慢,摆钟时针转动一圈的时间变长。 (2)摆钟快慢产生的原因:一是g值的变化,如摆钟地理位置的变化等;二是摆长的变化,如热胀冷缩等原因。摆钟周期可以用公式T=2π计算。 (3)摆钟快慢的调整:摆钟变快说明周期变小,应增大摆长;摆钟变慢说明周期变大,应减小摆长。 1.航天员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度均匀、半径为r的球体,则月球的密度为( ) A.　　　　　　　 B. C.　　　　　　　 D. 答案 B B解析:根据单摆周期公式T=2π,在月球上重力等于万有引力,mg=,月球密度ρ=,V=πr3,可得ρ=,选项B正确。 2.将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s,下列措施可行的是( ) A.摆球的质量减半 B.摆长减为原来的 C.摆长减半 D.振幅减半 答案 B 解析:秒摆的周期由 2 s变为1 s,即周期变为原来的,单摆周期公式为T=2π。单摆的周期与摆球质量无关,将摆球的质量减半,周期不变,选项A错误;将摆长减为原来的,周期变为原来的,选项B正确;将摆长减半,周期变为原来的,选项C错误;单摆的周期与振幅无关,振幅减半,周期不变,选项D错误。 3.如图所示,长为l的细绳下方悬挂一小球A,绳的另一端固定在天花板上O点处,在O点正下方l的O'处有一固定细铁钉。将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放,并从释放时开始计时。当小球A摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正方向。下列图像中,能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是( ) A B C D 答案 A 解析:由单摆的周期公式T=2π可知,小球在钉子右侧时,振动周期为在左侧时振动周期的2倍,所以选项B、D错误;由机械能守恒定律可知,小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同,但由于摆长不同,所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同,当小球在右侧摆动时,最大水平位移较大,故选项A正确。 4.将在地面上校准的摆钟拿到月球上去,若此钟在月球上记录的时间是1 h,则实际的时间是多少?若要在月球上使该钟与地面上时一样准,应如何调节?已知g月=g地。 解析:设在地球上该钟的周期为T0,在月球上该钟的周期为T,由单摆的周期公式可得T=2π=T0,即摆钟在地球上记录的时间是在月球上记录的时间的倍。故此钟在月球上记录的时间是1 h,实际时间是 h。要使其与在地面上时一样准,则T=T0,即2π=2π,l月=l地,即应将摆长调到原来的。 答案: h　将摆长调到原来的。 5.如图所示,ACB为光滑弧形槽,弧形槽半径为R,且R≫。甲球从弧形槽的圆心处自由下落,乙球由A点静止释放。两球第一次到达C点的时间之比是多少? 解析:甲球做自由落体运动,R=g,所以t1=。对乙球,由于≪R,所以可以证明乙球沿圆弧槽做简谐运动,此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同,故此等效摆长为R,所以周期为T=2π,因此乙第一次到达C处的时间为t2=T==,所以t1∶t2=。 答案:2∶π 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 单 摆（题型突破） 题型01 单摆的振动 题型02 单摆的周期 ▌题型01 单摆的振动 1. 对单摆的理解 (1)平衡位置:摆球静止时,摆线拉力与小球所受重力合力为0的位置,并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上,在摆动过程中,摆球受力不可能平衡。 (2)回复力:回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ提供的,不是重力G与摆线拉力的合力。 (3)单摆是实际摆的理想化模型。实际摆看成单摆的条件: ①摆线是弹性、质量均可以忽略的细线。 ②小球直径与线的长度相比可以忽略。 ③小球摆动时受到的空气阻力与摆球重力及细线的拉力相比可以忽略。 2. 单摆运动特点 (1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都受向心力。 (2)摆球以平衡位置为中心做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,沿轨迹的切线方向摆球都受回复力。 (3)单摆在振动过程中满足机械能守恒。 (4)单摆的摆动不一定都是简谐运动,只有单摆做小角度摆动时才认为是简谐运动。 1.(多选)下列关于单摆的说法正确的是( ) A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为0 B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C.单摆摆球经过平衡位置时加速度为0 D.摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力 答案 AD 解析:简谐运动中的位移以平衡位置为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为0,选项A正确;摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,合力在摆线方向的分力提供向心力,选项B错误;摆球经过最低点(平衡位置)时回复力为0,但向心力不为0,所以合力不为0,加速度也不为0,选项C错误;在最高点时,向心力为0,回复力等于合力,选项D正确。 2.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( ) A.摆线质量不计 B.摆线长度不可伸缩 C.摆球的直径比摆线长度短得多 D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动 答案 ABC 解析:单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不可伸缩。但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动。故正确选项为A、B、C。 3.(多选)关于单摆的摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是( ) A.摆球受重力、摆线的拉力作用 B.摆球的回复力为0时,向心力最大 C.摆球的回复力最大时,摆线的拉力大小比摆球的重力大 D.摆球的向心力最大时,摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 答案 AB 解析:单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力;重力垂直于摆线的分力提供回复力,当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为0,向心力为0,则拉力小于重力,在平衡位置处,回复力为0,速度最大,向心力最大,摆球的加速度方向沿摆线指向悬点。故选项A、B正确。 4.关于单摆,下列说法正确的是( ) A.摆球运动的回复力是它受到的合力 B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时,加速度是相同的 C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 D.摆球经过平衡位置时,加速度为0 答案 B 解析:摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力,选项A错误。摆球经过最低点时,回复力为0,但合力提供向心力,选项C、D错误。由简谐运动特点可知,选项B正确。 ▌题型02 单摆的周期 1.对摆长的理解 (1)实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度,即l=l0+,l0为摆线长,d为摆球直径。 (2)等效摆长 图示 说明 图中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的,所以甲摆的等效摆长为lsin α,其周期为T=2π 图中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的,所以乙摆的等效摆长也为l,其摆动周期为T=2π 2.对“g”的理解 (1)公式中“g”是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的空间位置决定。 (2)g随所在地球表面位置和高度变化而变化,在不同星球上g值也不相同。 3.摆钟的快慢及调节方法 (1)计时原理:摆钟的计时是以钟摆完成一定数量的全振动,从而带动秒针、分针、时针转动实现的,因此钟摆振动的周期变化就反映了摆钟的快慢。如钟摆振动周期变大,则摆钟变慢,摆钟时针转动一圈的时间变长。 (2)摆钟快慢产生的原因:一是g值的变化,如摆钟地理位置的变化等;二是摆长的变化,如热胀冷缩等原因。摆钟周期可以用公式T=2π计算。 (3)摆钟快慢的调整:摆钟变快说明周期变小,应增大摆长;摆钟变慢说明周期变大,应减小摆长。 1.航天员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度均匀、半径为r的球体,则月球的密度为( ) A.　　　　　　　 B. C.　　　　　　　 D. 答案 B B解析:根据单摆周期公式T=2π,在月球上重力等于万有引力,mg=,月球密度ρ=,V=πr3,可得ρ=,选项B正确。 2.将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s,下列措施可行的是( ) A.摆球的质量减半 B.摆长减为原来的 C.摆长减半 D.振幅减半 答案 B 解析:秒摆的周期由 2 s变为1 s,即周期变为原来的,单摆周期公式为T=2π。单摆的周期与摆球质量无关,将摆球的质量减半,周期不变,选项A错误;将摆长减为原来的,周期变为原来的,选项B正确;将摆长减半,周期变为原来的,选项C错误;单摆的周期与振幅无关,振幅减半,周期不变,选项D错误。 3.如图所示,长为l的细绳下方悬挂一小球A,绳的另一端固定在天花板上O点处,在O点正下方l的O'处有一固定细铁钉。将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放,并从释放时开始计时。当小球A摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正方向。下列图像中,能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是( ) A B C D 答案 A 解析:由单摆的周期公式T=2π可知,小球在钉子右侧时,振动周期为在左侧时振动周期的2倍,所以选项B、D错误;由机械能守恒定律可知,小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同,但由于摆长不同,所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同,当小球在右侧摆动时,最大水平位移较大,故选项A正确。 4.将在地面上校准的摆钟拿到月球上去,若此钟在月球上记录的时间是1 h,则实际的时间是多少?若要在月球上使该钟与地面上时一样准,应如何调节?已知g月=g地。 解析:设在地球上该钟的周期为T0,在月球上该钟的周期为T,由单摆的周期公式可得T=2π=T0,即摆钟在地球上记录的时间是在月球上记录的时间的倍。故此钟在月球上记录的时间是1 h,实际时间是 h。要使其与在地面上时一样准,则T=T0,即2π=2π,l月=l地,即应将摆长调到原来的。 答案: h　将摆长调到原来的。 5.如图所示,ACB为光滑弧形槽,弧形槽半径为R,且R≫。甲球从弧形槽的圆心处自由下落,乙球由A点静止释放。两球第一次到达C点的时间之比是多少? 解析:甲球做自由落体运动,R=g,所以t1=。对乙球,由于≪R,所以可以证明乙球沿圆弧槽做简谐运动,此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同,故此等效摆长为R,所以周期为T=2π,因此乙第一次到达C处的时间为t2=T==,所以t1∶t2=。 答案:2∶π 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $