2.3 单 摆（讲义）物理鲁科版选择性必修第一册

本讲义聚焦单摆这一核心知识点，系统梳理其构成条件及理想化模型，推导小角度下回复力表达式以明确简谐运动属性，阐释周期公式内涵及摆长、重力加速度的影响，通过实验探究验证规律，拓展类单摆及等效摆长、重力加速度模型，构建递进式学习支架。 该资料突出科学探究与科学思维培养，设计“探究单摆周期与摆长、质量关系”实验，引导学生运用控制变量法提升实验设计与数据论证能力。随学随练及分层习题（基础通关、素养提升等）助力课中巩固与课后查漏，结合摆钟计时、测重力加速度等应用实例，强化物理观念与解决实际问题的严谨态度。

第二章 机械振动 第3节 单 摆 课标要点 1.能理解单摆的构成条件及小角度下做简谐运动的原理，掌握单摆周期公式的内涵，建立对单摆运动规律的物理认知。 2.能通过推导单摆回复力表达式判断其简谐运动属性，分析摆长、重力加速度对周期的影响，提升逻辑推导与变量分析能力。 3.能参与“探究单摆周期与摆长、摆球质量的关系”实验，设计控制变量方案，测量数据并验证周期公式，提高实验设计与数据论证能力。 4.通过了解单摆在计时（如摆钟）、测量重力加速度等领域的应用，认识其科学价值，培养运用物理规律解决实际问题的严谨态度。 学习重难点 重点：理解单摆做简谐运动的条件及周期公式的内涵。 难点：推导单摆回复力表达式并分析周期影响因素。 知识点 单摆的振动 1.单摆 (1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 (2)单摆是实际摆的理想化模型。 2.单摆的回复力 (1)来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。 (2)规律：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。 特别提醒 在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此单摆的回复力可表示为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。 随学随练 1.如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是(　　) A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 答案　C 解析　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误；摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确；摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 2.单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是(　　) A.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆 C.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D.单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 答案　C 解析　由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误；橡皮筋摆动过程中长度会发生变化，不能看成单摆，故B错误；当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是合力提供向心力，所受合力不为零，故C正确；单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简谐运动的规律，故D错误。 3.(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　) A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大 D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 答案　CD 解析　由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2、t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误，D正确；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确。 知识点 单摆的周期（重点） 1.单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(选填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不变”)。 2.单摆周期公式 (1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 特别提醒 ①单摆的周期公式在摆角很小时成立。 ②公式中的l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋，d为摆球的直径。 ③公式中的g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 随学随练 1.周期是2 s的单摆叫秒摆。地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g(g为地球表面的重力加速度)。如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以(　　) A.仅将摆长调整为2.5l B.仅将摆长调整为0.4l C.仅将振幅调整为2.5A D.仅将振幅调整为0.4A 答案　B 解析　根据单摆的周期公式T＝2π，单摆的周期与摆长及重力加速度有关，与振幅无关。火星表面的重力加速度为0.4g，若保持单摆的周期不变，则可以仅将摆长也调整为原来的0.4倍，即l'＝0.4l，故选B。 2.图甲所示为辽宁抚顺地标性建筑——“生命之环”，一位学生欲运用所学物理知识估测其高度。测量的原理示意图如图乙所示，他找来一个光滑小球，将其由“环”内壁上的P点(靠近最低点)由静止释放，则小球沿环内壁往返运动。某时刻小球到达P点时利用手机的秒表计时功能开始计时，此后小球第n次回到P点时停止计时，所测得时间为t。已知当地的重力加速度为g，由此可知生命之环的高度约为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据单摆的周期公式可得T＝2π，T＝，所以R＝，则生命之环的高度约为h＝2R＝，故选A。 3.周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。 答案　1 m　175 s 解析　根据单摆周期公式T＝2π可得l＝ 代入数据解得l＝ m＝1 m 秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为 它在月球上做50次全振动所用的时间为 t＝50T'＝50T＝50×2× s＝175 s。 题型 单摆模型的拓展 1.类单摆模型 如图所示，在光滑弧面上来回滚动的小球(可视为质点)，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球运动可看成简谐运动，T＝2π。 2.等效摆长及等效重力加速度 (1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 (3)单摆模型的拓展 支撑面 “单摆” 偏角很小时等效为单摆 复合场中 的单摆 　 g0=g±　　　　　　g0=g 斜面上 的单摆 　　g0=gsin θ　　　　　g0=gsin θ 双线摆 　　等效摆长l=l1sin θ　　等效摆长l=l1sin θ+l3 小球在垂直纸面方向摆动 活学活用 1.如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接。M点和N点分别位于O点左右两侧，弧长MO小于NO。现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放。关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是(　　) A.恰好在O点 B.一定在O点的左侧 C.一定在O点的右侧 D.条件不足，无法确定 答案　C 解析　两段光滑圆弧轨道所对应的圆心角均小于5°，两个小球的运动均可以等效为单摆的简谐运动。由于R1<R2，根据单摆周期公式，小球A的周期小于B的周期，现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放，两小球第一次相遇点的位置，一定在O点的右侧，选项C正确。 2.如图，将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ(θ<5°)，摆球质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.摆球做简谐运动的回复力F＝mgsin θsin α B.摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ C.摆球做简谐运动的周期为2π D.摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为FT＝mgsin α 答案　A 解析　重力的沿斜面向下的分力为mgsin α，该分力沿切线的分力为mgsin αsin θ，故A正确，B错误；等效重力加速度为gsin α，故周期为T＝2π，故C错误；摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力和重力沿斜面的分力的合力提供向心力，故FT－mgsin α＝m，故FT>mgsin α，故D错误。 3.如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　　) A.摆角变小时，周期变大 B.小球摆动周期约为2 s C.小球平衡时，A端拉力大小为 N D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 答案　B 解析　根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，故A错误； 同一根光滑细线，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图，可得2FAcos 30°=mg 解得FA=FB== N 故C、D错误； 根据几何知识可知摆长为L==1 m，故周期为T=2π≈2 s，故B正确。 4.如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 答案　(1)2π　(2)2π 解析　(1)根据题意可知，若小球以O'为圆心做简谐运动，所以摆长为l＝l0＋ 振动的周期为T1＝2π＝2π＝2π (2)根据题意可知，若小球以O为圆心做简谐运动，摆长l'＝l0＋l0sin α＋ 振动周期为T2＝2π＝2π＝2π。 拓展　在(1)的前提下，若小球带电荷量为＋q，质量为m，空间分布竖直向下的匀强电场，电场强度E＝，小球摆动的周期T3又是多少？ 答案　π 解析　电场和重力场合成后等效重力加速度g'＝＝2g，则周期T3＝2π＝π。 基础通关 1.图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是(　　) A.把摆球质量减小一半，其他条件不变，则单摆的周期变大 B.把摆角α变大(仍小于5°)，其他条件不变，则单摆的周期变大 C.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T D.将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，则单摆的周期将变大 答案　D 解析　根据单摆周期公式T＝2π可知，单摆周期与摆球质量无关，与摆角α无关，故A、B错误；其他条件不变，将摆长增加为原来的2倍，则单摆的周期将变为T，故C错误；其他条件不变，因为在赤道上的g比在两极的小，则单摆的周期将变大，故D正确。 2.某同学用如图所示的装置描绘单摆做简谐运动的振动图像。第一次实验时在纸带上恰好有两个完整的振动图像，第二次实验时改变摆长，用2倍的速度拉相同的纸带，纸带上也恰好有两个完整的振动图像，则第一次实验和第二次实验中单摆的摆长之比为(　　) A.4∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4 答案　A 解析　由题意可知两次实验中单摆的周期之比为T1∶T2=2∶1，再由周期公式T=2π，解得==，故选A。 3.转动惯量(J=∑mi)是物体绕转轴转动时惯性的量度，其中ri是微元mi到转轴的距离。复摆是由大小和形状不发生变化的物体，绕固定水平轴在重力作用下做微小摆动的运动体系，如图所示，l是质心到转轴的距离，重力加速度为g。复摆和单摆类似，可以视为简谐运动。根据所学物理知识，判断复摆的周期公式可能是(　　) A.2π B.2π C. D. 答案　A 解析　单摆的周期单位为秒(s)，由题意可知，转动惯量的公式为J=∑mi，其单位为kg·m2。四个选项的单位分别是秒(s)、秒分之一(s-1)、秒方(s2)以及秒方分之一(s-2)。根据量纲法分析可知，复摆的周期公式可能是T=2π，故选A。 4.(多选)如图，在研究单摆的运动规律过程中，测得单摆40次全振动所用的时间为80 s，已知当地的重力加速度大小g取9.8 m/s2，π2≈9.8，下列有关该单摆的说法中正确的是(　　) A.单摆做简谐运动时，在速度增大的过程中回复力一定减小 B.单摆做简谐运动的周期为3 s C.单摆的摆长约为1 m D.若把单摆放在月球上，则其摆动周期变大 答案　ACD 解析　单摆做简谐运动时，在速度增大的过程中，逐渐靠近平衡位置，所以回复力一定减小，故A正确；由题意，可得单摆的周期为T＝ s＝2 s，由单摆周期公式T＝2π，解得单摆的摆长l≈1 m，故B错误，C正确；根据单摆的周期公式T＝2π，可知若把该单摆放在月球上，g值变小，则其摆动周期T变大，故D正确。 5.如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零 C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同 答案　C 解析　由单摆的振动图像可知振动周期为T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝2π得摆长为l＝＝1.6 m，B、D错误；起始时刻位于正向最大位移处，速度为零，且A、C点的速度相同，A错误，C正确。 6.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道对应的圆心角的度数很小(小于5°)，O是圆弧的最低点。两个完全相同的小球M、N(可视为质点)从圆弧左侧的不同位置同时释放。它们从释放到O点过程中都经过图中的P点。下列说法正确的是(　　) A.M比N后到达O点 B.M、N通过P点时所受的回复力相同 C.M有可能在P点追上N并与之相碰 D.从释放到O点过程中，重力对M的冲量比重力对N的冲量大 答案　B 解析　根据T＝2π，两个小球做简谐运动的周期相同，M、N同时到达O点，故A错误；M、N通过P点时所受的回复力相同，均为小球在该点重力沿着切线方向的分力，故B正确；M、N同时到达O点，则M不可能在P点追上N并与之相碰，故C错误；从释放到O点过程中，根据I＝mgt，重力对M的冲量等于重力对N的冲量，故D错误。 7.一个在地球上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，若将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示。若已知该行星的质量为地球质量的4倍，地球表面重力加速度g1取10 m/s2，取π2取10。求： (1)此单摆的摆长； (2)行星表面重力加速度g2。 答案　(1)1 m　(2)2.5 m/s2 解析　(1)由题图甲可知此单摆在地球上的周期为T1＝2 s 根据单摆的周期公式，有T1＝2π 代入数据解得l＝1 m (2)由题图乙可知，该单摆在行星上的周期为 T2＝4 s 根据单摆的周期公式，有T2＝2π 代入数据解得g2＝2.5 m/s2。 素养提升 8.(多选)摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。如图为其内部的结构简图，设原先摆钟走时准确，则(　　) A.摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B.摆钟在加速上升的电梯中，摆动会变慢 C.该摆钟从北京带到广州，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 D.该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 答案　CD 解析　摆钟中单摆的运动可近似地视为简谐运动。回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，故A错误；由单摆的周期公式T＝2π，单摆在加速上升的电梯中，等效重力加速度变大，单摆周期变小，摆动会变快，故B错误；该摆钟从北京带到广州，重力加速度减小，由单摆的周期公式T＝2π可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，故C正确；该摆钟在冬季走时准确，到夏季温度升高，由于热胀冷缩，摆长变长，为了准时，需要摆长变短，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，故D正确。 9.(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　　) A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4 B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2 C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3 D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为4∶9 答案　BC 解析　根据题中图像可知1.5T甲＝T乙，f＝，所以甲和乙的周期之比为2∶3，频率之比是3∶2，故B、C正确；根据单摆的周期公式T＝2π，可知同一地点重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9，故A错误；若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，故D错误。 10.正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下，某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为l＝1 m。他打开窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时到第17次通过B点共用时40 s。当地重力加速度g取10 m/s2，π2取10，根据以上数据，求： (1)该单摆的周期； (2)房顶到窗上沿的高度h。 答案　(1)5 s　(2)15 m 解析　(1)从小球第1次通过题图中的B点开始计时到第17次，则完成的周期个数为n＝＝8，依题知这8个周期共用时40 s，则单摆周期为T＝ s＝5 s (2)球心到窗上沿的距离l＝1 m，由于该单摆在左右两侧摆动的摆长变化，故周期公式为T＝(T1＋T2)＝(2π＋2π)，代入数据解得房顶到窗上沿的高度为h＝15 m。 迁移创新 11.(多选)如图所示，在一个水平放置的槽中，小球自A点以沿AD方向的初速度v开始运动，已知圆弧AB＝0.9 m，AB圆弧的半径R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面内，不计摩擦，重力加速度g取10 m/s2，欲使小球恰好能通过C点，则其初速度的大小可能是(　　) A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 答案　AC 解析　小球自A点以向AD方向的初速度v开始运动，把小球的运动进行分解，一个是沿AD方向的匀速运动，一个是在竖直面上摆角很小的单摆，可近似看作简谐运动，根据单摆周期公式有T＝2π＝2π s，小球自A点运动到C点，在竖直面上运动的时间为t＝(2n＋1)＝(2n＋1)π s(n＝0，1，2，3…)，由于分运动的等时性，所以初速度为v＝ m/s(n＝0，1，2，3…)，当n＝0时，则v1＝ m/s；当n＝1时，则v2＝ m/s，故选A、C。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 第3节 单 摆 课标要点 1.能理解单摆的构成条件及小角度下做简谐运动的原理，掌握单摆周期公式的内涵，建立对单摆运动规律的物理认知。 2.能通过推导单摆回复力表达式判断其简谐运动属性，分析摆长、重力加速度对周期的影响，提升逻辑推导与变量分析能力。 3.能参与“探究单摆周期与摆长、摆球质量的关系”实验，设计控制变量方案，测量数据并验证周期公式，提高实验设计与数据论证能力。 4.通过了解单摆在计时（如摆钟）、测量重力加速度等领域的应用，认识其科学价值，培养运用物理规律解决实际问题的严谨态度。 学习重难点 重点：理解单摆做简谐运动的条件及周期公式的内涵。 难点：推导单摆回复力表达式并分析周期影响因素。 知识点 单摆的振动 1.单摆 (1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 (2)单摆是实际摆的理想化模型。 2.单摆的回复力 (1)来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。 (2)规律：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。 特别提醒 在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此单摆的回复力可表示为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。 随学随练 1.如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是(　　) A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 2.单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是(　　) A.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆 C.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D.单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 3.(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　) A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大 D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 知识点 单摆的周期（重点） 1.单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(选填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不变”)。 2.单摆周期公式 (1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 特别提醒 ①单摆的周期公式在摆角很小时成立。 ②公式中的l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋，d为摆球的直径。 ③公式中的g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 随学随练 1.周期是2 s的单摆叫秒摆。地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g(g为地球表面的重力加速度)。如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以(　　) A.仅将摆长调整为2.5l B.仅将摆长调整为0.4l C.仅将振幅调整为2.5A D.仅将振幅调整为0.4A 2.图甲所示为辽宁抚顺地标性建筑——“生命之环”，一位学生欲运用所学物理知识估测其高度。测量的原理示意图如图乙所示，他找来一个光滑小球，将其由“环”内壁上的P点(靠近最低点)由静止释放，则小球沿环内壁往返运动。某时刻小球到达P点时利用手机的秒表计时功能开始计时，此后小球第n次回到P点时停止计时，所测得时间为t。已知当地的重力加速度为g，由此可知生命之环的高度约为(　　) A. B. C. D. 3.周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。 题型 单摆模型的拓展 1.类单摆模型 如图所示，在光滑弧面上来回滚动的小球(可视为质点)，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球运动可看成简谐运动，T＝2π。 2.等效摆长及等效重力加速度 (1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 (3)单摆模型的拓展 支撑面 “单摆” 偏角很小时等效为单摆 复合场中 的单摆 　 g0=g±　　　　　　g0=g 斜面上 的单摆 　　g0=gsin θ　　　　　g0=gsin θ 双线摆 　　等效摆长l=l1sin θ　　等效摆长l=l1sin θ+l3 小球在垂直纸面方向摆动 活学活用 1.如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接。M点和N点分别位于O点左右两侧，弧长MO小于NO。现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放。关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是(　　) A.恰好在O点 B.一定在O点的左侧 C.一定在O点的右侧 D.条件不足，无法确定 2.如图，将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ(θ<5°)，摆球质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.摆球做简谐运动的回复力F＝mgsin θsin α B.摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ C.摆球做简谐运动的周期为2π D.摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为FT＝mgsin α 3.如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　　) A.摆角变小时，周期变大 B.小球摆动周期约为2 s C.小球平衡时，A端拉力大小为 N D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 4.如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 拓展　在(1)的前提下，若小球带电荷量为＋q，质量为m，空间分布竖直向下的匀强电场，电场强度E＝，小球摆动的周期T3又是多少？ 基础通关 1.图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是(　　) A.把摆球质量减小一半，其他条件不变，则单摆的周期变大 B.把摆角α变大(仍小于5°)，其他条件不变，则单摆的周期变大 C.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T D.将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，则单摆的周期将变大 2.某同学用如图所示的装置描绘单摆做简谐运动的振动图像。第一次实验时在纸带上恰好有两个完整的振动图像，第二次实验时改变摆长，用2倍的速度拉相同的纸带，纸带上也恰好有两个完整的振动图像，则第一次实验和第二次实验中单摆的摆长之比为(　　) A.4∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4 3.转动惯量(J=∑mi)是物体绕转轴转动时惯性的量度，其中ri是微元mi到转轴的距离。复摆是由大小和形状不发生变化的物体，绕固定水平轴在重力作用下做微小摆动的运动体系，如图所示，l是质心到转轴的距离，重力加速度为g。复摆和单摆类似，可以视为简谐运动。根据所学物理知识，判断复摆的周期公式可能是(　　) A.2π B.2π C. D. 4.(多选)如图，在研究单摆的运动规律过程中，测得单摆40次全振动所用的时间为80 s，已知当地的重力加速度大小g取9.8 m/s2，π2≈9.8，下列有关该单摆的说法中正确的是(　　) A.单摆做简谐运动时，在速度增大的过程中回复力一定减小 B.单摆做简谐运动的周期为3 s C.单摆的摆长约为1 m D.若把单摆放在月球上，则其摆动周期变大 5.如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零 C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同 6.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道对应的圆心角的度数很小(小于5°)，O是圆弧的最低点。两个完全相同的小球M、N(可视为质点)从圆弧左侧的不同位置同时释放。它们从释放到O点过程中都经过图中的P点。下列说法正确的是(　　) A.M比N后到达O点 B.M、N通过P点时所受的回复力相同 C.M有可能在P点追上N并与之相碰 D.从释放到O点过程中，重力对M的冲量比重力对N的冲量大 7.一个在地球上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，若将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示。若已知该行星的质量为地球质量的4倍，地球表面重力加速度g1取10 m/s2，取π2取10。求： (1)此单摆的摆长； (2)行星表面重力加速度g2。 素养提升 8.(多选)摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。如图为其内部的结构简图，设原先摆钟走时准确，则(　　) A.摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B.摆钟在加速上升的电梯中，摆动会变慢 C.该摆钟从北京带到广州，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 D.该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 9.(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　　) A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4 B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2 C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3 D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为4∶9 10.正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下，某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为l＝1 m。他打开窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时到第17次通过B点共用时40 s。当地重力加速度g取10 m/s2，π2取10，根据以上数据，求： (1)该单摆的周期； (2)房顶到窗上沿的高度h。 迁移创新 11.(多选)如图所示，在一个水平放置的槽中，小球自A点以沿AD方向的初速度v开始运动，已知圆弧AB＝0.9 m，AB圆弧的半径R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面内，不计摩擦，重力加速度g取10 m/s2，欲使小球恰好能通过C点，则其初速度的大小可能是(　　) A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $