第2章 第3节 单 摆(Word教参)-【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（鲁科版）

本讲义聚焦单摆核心知识点，系统梳理单摆模型的理想化条件、回复力来源及特点（摆角<5°时做简谐运动）、周期公式（T=2π√(l/g)）及其应用（摆钟校准、重力加速度测量），形成从模型建构到规律应用的递进学习支架。 该资料以科学思维中的模型建构（如等效摆长、等效重力加速度分析）和科学探究中的控制变量法（定性探究周期影响因素）为特色，通过典型例题（如秒摆周期变化、摆钟异地校准）和分层练习深化理解。课中辅助教师突破重点，课后助力学生通过练习查漏补缺，提升应用能力与科学态度。

第3节　单　摆 [学习目标]　1.知道单摆的概念和单摆振动时回复力的来源(重点)。2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。 一、单摆的振动 1．单摆模型 把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可忽略不计，这种装置称为单摆。 判断5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。 答案　均不能看成单摆。题图(a)(d)摆动过程中摆长会发生变化，题图(b)空气阻力不能忽略，题图(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略，题图(e)绳的质量与小球相比不能忽略。 2.单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 (2)回复力的特点：在摆角很小时(通常θ<5°)，单摆所受回复力大小与摆球偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总指向平衡位置，即F≈－x。 说明： 如图所示，在摆角很小的条件下，sin θ≈，其中x为摆球偏离位置O点的位移。单摆的回复力F＝－mgsin θ≈－x，因k＝为一个常数，则F≈－kx，说明此时单摆做的是简谐运动。 单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ 答案　单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。 (1)单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略。(　√　) (2)单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略。(　√　) (3)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　×　) 例1　关于单摆的描述，正确的是(　　) A．单摆的运动一定是简谐运动 B．单摆运动的回复力是重力与细线拉力的合力 C．单摆运动过程中经过平衡位置时达到平衡状态 D．单摆经过平衡位置时回复力为零 答案　D　 解析　当单摆的摆角较小时单摆的运动才是简谐运动，故A错误；单摆运动的回复力是重力在切线方向上的分力提供的，故B错误；单摆运动过程中经过平衡位置时有向心加速度，所以没有达到平衡状态，故C错误；根据F＝－mgsin θ可知单摆经过平衡位置时回复力为零，故D正确。 例2　(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则(　　) A．t1和t3时刻摆线的拉力等大 B．从t2时刻到t3时刻摆球的势能增加 C．从t2时刻到t3时刻摆球的速度正在减小 D．t3时刻和t4时刻摆球的动能相等 答案　AD 解析　由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知摆球运动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，位置降低，所以摆球的势能减少，故B错误；从t2时刻到t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C错误；根据对称性，t3时刻和t4时刻摆球的动能相等，故D正确。 二、单摆的周期 1．定性探究影响单摆振动周期的因素 (1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论 ①单摆振动的周期与摆球的质量无关(选填“有关”或“无关”)。 ②振幅较小时，周期与振幅无关(选填“有关”或“无关”)。 ③摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不变”)。 2．单摆周期公式 (1)提出：单摆周期公式是物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的算术平方根成正比，与重力加速度g的算术方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 3．应用 (1)制成摆钟用来计量时间。 (2)测量当地的重力加速度。 计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考： (1)摆针走时偏快应如何校准？ (2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？ 答案　(1)摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。 (2)调节螺母使圆盘沿摆杆下移。 (1)摆球质量越大，单摆的周期越长。(　×　) (2)摆动幅度越大，单摆的周期越长。(　×　) (3)摆线越长，单摆的周期越长。(　√　) 例3　将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是(　　) A．将摆球的质量减半 B．摆长减为原来的 C．摆长减半 D．振幅减半 答案　B 解析　秒摆的周期由2 s变为1 s，周期变为原来的，由T＝2π进行判断。单摆的周期与摆球质量无关，将摆球的质量减半，周期不变，A错；将摆长减为原来的，周期变为原来的，即秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，B对；将摆长减半，周期变为原来的，即周期变为 s，C错；单摆的周期与振幅无关，振幅减半，周期不变，D错。 例4　(多选)如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝，将单摆拉至A处释放，摆球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°。重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．由机械能守恒可得摆角大小不变 B．A和C两点在同一水平面上 C．周期T＝2π(＋) D．周期T＝π(＋) 答案　BD 解析　摆球在运动过程中，摆线的拉力不做功，只有重力做功，其机械能守恒，可知A和C两点在同一水平面上。由于摆长会发生变化，所以摆角大小是变化的，A错，B对；摆球从A摆到B的时间为t1＝×2π＝，从B摆到C的时间为t2＝×2π＝，故摆球的运动周期为T＝2(t1＋t2)＝π(＋)，C错，D对。 例5　如图所示为相同的小球(可看作质点)构成的单摆，所有的轻绳长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4(其中(3)图两小球均带负电荷，(4)图中振动系统处于匀加速下降的电梯内)，关于周期大小关系的判断，正确的是(　　) A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2 C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T4 答案　C 解析　设轻绳长度均为L，根据单摆周期公式可得四幅图的周期分别为T1＝2π、T2＝2π、T3＝2π、T4＝2π，则T4>T1＝T3>T2，故选C。 对l、g的理解 (1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。 ①普通单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 ②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 例6　周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2, 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。 答案　1 m　175 s 解析　根据T＝2π可得l＝ 代入数据解得 l＝ m＝1 m 秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为＝ 它在月球上做50次全振动所用的时间为 t＝50T′＝50T＝50×2× s＝175 s。 课时对点练　[分值：100分] 1～7题每题6分，共42分 考点一　单摆的振动 1．(多选)单摆是为研究振动而抽象得出的理想化模型，其理想化条件是(　　) A．摆线质量不计 B．摆线不可伸缩 C．摆球的直径比摆线长度小得多 D．只要是单摆的运动就是简谐运动 答案　ABC 解析　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不可伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角θ很小(θ<5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D项错误。 2．若单摆的摆长不变，摆球的质量由20 g增加为40 g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的(　　) A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变 C．频率改变，振幅不变 D．频率改变，振幅改变 答案　B 解析　由T＝2π可知，周期与摆球的质量和振幅无关，则频率不变，同一个单摆，初始的摆角越大，振幅越大，故选B。 考点二　单摆的周期 3．一单摆的摆长为40 cm，摆球在t＝0时刻正从平衡位置向右运动，若g取10 m/s2，则在1 s时摆球的运动情况是(　　) A．正向左做减速运动，加速度正在增大 B．正向左做加速运动，加速度正在减小 C．正向右做减速运动，加速度正在增大 D．正向右做加速运动，加速度正在减小 答案　D 解析　由T＝2π可知，T＝0.4π s。1 s时摆球正向右靠近平衡位置，所以D正确。 4．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的9倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　) A．周期不变，振幅不变 B．周期不变，振幅变小 C．周期改变，振幅不变 D．周期改变，振幅变大 答案　B 解析　由T＝2π可知，当摆长l不变时，周期不变，故C、D错误；由能量守恒定律可知mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置时的速度减小，则最大高度减小，可知振幅减小，故B正确，A错误。 5．在珠穆朗玛峰的山脚下走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的峰顶，则这个摆钟(　　) A．变慢了，重新校准应减小摆长 B．变慢了，重新校准应增大摆长 C．变快了，重新校准应减小摆长 D．变快了，重新校准应增大摆长 答案　A 解析　根据T＝2π，在珠穆朗玛峰的山脚走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的峰顶，重力加速度g变小，周期T变大，所以摆钟变慢了，为了使T变回原来的值，需要重新校准，应减小摆长l，故选A。 6．小明在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆摆动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球在O点两侧所能到达的最远位置。小明根据实验情况绘制了摆球离开平衡位置的位移随时间变化的图像，如图乙所示。设图甲中向右为正方向，当地的重力加速度g≈π2 m/s2，则下列选项正确的是(　　) A．根据图乙可知t＝0时摆球在C点 B．此单摆的频率是2 Hz C．在图乙中P点所对应的时刻摆球向左摆动 D．根据已知数据可以求得此单摆的摆长为2.0 m 答案　C 解析　由题知向右为正方向，t＝0时摆球位于负的最大位移处，所以t＝0时摆球在B点，A错误；由题图乙可知，单摆的周期为2.0 s，所以频率为0.5 Hz，B错误；由题图乙可知，在P点所对应的时刻，摆球从正向最大位移处向平衡位置摆动，即向左摆动，故C正确；由T＝2π可知，摆长为l＝，代入数据解得l＝1.0 m，故D错误。 7．(2023·南平市高二期中)甲、乙两星球表面的a、b两个单摆做简谐运动的x－t图像如图所示，已知两单摆的摆长相等，由图可知(　　) A．甲、乙两星球表面的重力加速度之比为 B．减小a摆的摆球质量，a摆的周期有可能与b摆相等 C．a、b两单摆在最低点的速率有可能相等 D．a、b两单摆在最低点的动能有可能相等 答案　D 解析　由题图可知两单摆的周期之比为T甲∶T乙＝2∶3，由T＝2π可得g＝，所以甲、乙两星球表面的重力加速度之比为＝，故A错误；由T＝2π可知，单摆周期与摆球质量无关，所以减小a摆的摆球质量，a摆的周期不可能与b摆相等，故B错误；两摆摆长相同，振幅不同，则两摆球摆动过程中上升的最大高度不同，由机械能守恒定律知Ek＝mgh＝mv2，则v＝，所以在最低点速率一定不同；由于摆球质量关系未知，所以在最低点的动能有可能相等，故C错误，D正确。 8～11题每题6分，12题12分，13题14分，共50分 8．我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国航天员将登上月球。假如航天员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅摆动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力常量为G，则月球的密度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　单摆周期T＝2π①，月球表面上＝mg②，ρ＝③，联立①②③可得ρ＝，B正确。 9.(多选)(2023·福建龙岩一中高二期末)如图所示，三根细线a、b、c于O处打结，每根细线的长度均为L，a、b细线上端固定在同一水平面上相距为L的A、B两点上，c细线下端系着一个小球(小球直径可以忽略)，小球质量为m，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　) A．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2π B．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝2π C．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2π D．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝π 答案　AB 解析　小球可以在纸面内做简谐运动，以O为顶端，以L为摆长的简谐运动的周期T＝2π，A正确，C错误；小球也可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，因为AO＝BO，AB＝L，所以摆长为L′＝L＋Lsin 30°＝L，周期T′＝2π＝2π，故D错误，B正确。 10．(2023·河北邢台市卓越联盟高二月考)如图所示，甲、乙两质量相等的小孩玩滑梯游戏，AB为半径很大的光滑圆槽，A、B两点在同一水平高度上，且AB弧长远小于半径，圆槽的最低点为O，开始时甲静止在A点，乙静止在弧OB的中点C，听到哨声两人同时无初速度滑下，则(　　) A．两人在O点相遇 B．两人在O点左侧相遇 C．相遇时的动能相同 D．相遇时两人的向心加速度相同 答案　A 解析　因AB弧长远小于半径，则两人同时下滑过程可视为单摆，两人运动到O点的时间相同，为t＝＝，即两人在O点相遇，A对，B错；由mgh＝mv2知，甲下降的高度较大，则相遇时的动能较大，C错；在O点，向心加速度a＝＝，因h不同，则向心加速度不同，D错。 11．(多选)(2023·云南部分重点中学高二期中)有一摆长为L的单摆悬点正下方某处有一光滑小钉子，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉子挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M运动到左边最高点N的频闪照片如图所示(悬点与小钉子未被摄入)，P为摆动中的最低点，已知相机每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知(　　) A．小钉子与悬点的距离为 B．小钉子与悬点的距离为 C．小钉子与悬点的距离为 D．摆线被小钉子碰一下后，摆球能量不变 答案　CD 解析　设相机每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆长为L时摆动的周期T1＝16t，摆长为L′时摆动的周期T2＝8t，T1∶T2＝2∶1，而T1＝2π，T2＝2π，故L′＝L，所以小钉子与悬点的距离s＝L－L′＝L，A、B错误，C正确；摆线被小钉子碰一下后，小钉子没做功，摆球能量不变，D正确。 12．(12分)北京和广州的两位同学，分别探究单摆的周期T和摆长l的关系，通过网络交流绘制了T2－l图像，如图(a)所示。 (1)(5分)北京的同学所测实验结果可能对应的图像是A和B中的哪一个？请说明理由。 (2)(7分)广州的同学还绘制了不同摆长的单摆的振动图像，如图(b)所示。由图可知两单摆摆长之比为多少？ 答案　(1)B　理由见解析　(2) 解析　(1)由单摆的周期公式T＝2π 整理可得T2＝l 由题图(a)可得k＝ 由于北京的重力加速度大于广州的重力加速度，则T2－l图像的斜率更小，所以对应的是北京同学测得的结果。 (2)由单摆的振动图像可知，a和b的周期之比为＝ 由单摆的周期公式T＝2π 解得l＝ 则摆长与周期的平方成正比，所以为＝＝。 13．(14分)某同学用单摆测定一座山的海拔，在山顶上他测得摆长为l的单摆做简谐运动的周期为T。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，忽略地球自转的影响。求山顶的海拔。 答案　 －R 解析　设山顶处重力加速度为g0，山顶的海拔为h 忽略地球自转的影响，山顶上物体所受万有引力等于物体的重力，＝mg0 又由单摆周期公式有T＝2π 联立以上两式解得h＝ －R。 (8分) 14.(2023·泉州市高二期中)如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，有一足够大的绝缘光滑水平面，一根长为L的绝缘轻软细绳一端固定在平面上的O点，另一端系有一个质量为m、带电荷量为＋q的小球A(可看作质点)。当小球A在水平面上静止时，细绳被拉直且与OO′重合，OO′的方向与电场方向平行。在水平面内将小球由平衡位置拉开一小段距离，保持细绳拉直，直至细绳与OO′间有一个小角度θ后由静止释放，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A．小球A在运动过程中的加速度大小恒为a＝ B．细绳通过OO′后小球A速度为0时，细绳与OO′的夹角大于θ C．细绳通过OO′时小球A的速度与其质量m无关 D．小球A释放后经历的时间，细绳会与OO′重合 答案　D 解析　在水平方向上，小球除了受电场力外，还受到绳子拉力作用，因此加速度不恒为，A错误；由于运动的对称性，细绳通过OO′后小球A速度减小为0时，细绳与OO′的夹角仍为θ，B错误；根据动能定理Eql(1－cos θ)＝mv2，小球A通过OO′时，质量越大，速度越小，C错误；小球A的运动与单摆的运动类似，其等效重力加速度g′＝，代入单摆的周期公式，可得T＝2π，小球A经即恰好与OO′重合，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $