精品解析：广东揭阳市2025-2026学年高一下学期期末教学质量测试数学试题

揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再由交集的定义计算可得。 【详解】因为集合，又集合， 所以. 3. 设，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解出分式不等式的解，再判断充分性和必要性即可. 【详解】由，得到，解得或， 又“或”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 5. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的体积， 又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积， 所以圆柱与球的体积之比为． 6. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 7. 已知函数，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由辅助角公式将函数化简为，再由正弦函数的性质可得最小值. 【详解】因为函数， 其中. 由，令. 因为，所以，. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 因此函数在区间的左端点或右端点取得最小值. 当时，即，； 当时，即，. 因为，所以当时，函数有最小值. 8. 定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由进行求解． 【详解】因为，由方程有个不同的解， 所以在内有两个零点， 则，得，得， 得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 是的一个零点 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为对,，故的值域为，即A正确； ，故不是的对称轴，故B错误； 的最小正周期为，故C正确； 因，故D正确. 10. 一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件 “得到的点数为奇数”，事件 “得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 事件与相互独立 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意：事件，事件，事件， 由于，所以事件B与C不互斥，A错误； 由于，所以，B正确； 由于，即， 即，所以事件A与C不独立，C错误； 由于，即， 即，所以事件与相互独立，D正确. 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数z满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘除法即可求解. 【详解】. 13. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据中位数，极差，平均数，方差，众数等定义分别判断计算各个选项即可. 【详解】①由于中位数为，众数为，故出现两次，又中位数为，则数据从小到大为，一定没有； ②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为符合题意，故可能出现； ③中位数为，平均数为，则设数据从小到大为符合题意，故可能出现6； ④平均数为，方差为，则设满足要求且含的数据从小到大为， 故且， 那么且，， 平方和不可能为负数，不存在满足条件的正整数数据，故一定没有. 综上，①④一定没有. 14. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过C作，过B作，由已知条件求出BD、AE，所求高度差即为 【详解】过C作，过B作，如图所示， 已知与的差为，则， 又，则 ， 因 则 ， 又，，则， 由正弦定理， 则， 因， 即 ， 又，所以 ， 则，两点到水平面的高度差 （米）. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1） 如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得， 因平面，平面，则， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 如图，取的中点，连接， 由分别是棱的中点．可得， 又，则，即得，所以 因平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）先证和，再由线线垂直证明线面垂直，易得； （2）取的中点，易证，得到，则得，由线线平行即得线面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 【答案】（1），68.5 （2）78.6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有矩形面积（频率）之和为1，列方程求出；每组用区间中点代表本组数据，用“中点 × 本组频率”再求和，得到样本平均数. （2）从低分段向上累加频率，得到分数线落在这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到0.1. （3）两组分别抽取4人和2人；给6个人编号，列举法求出概率. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 则平均数为 ； 【小问2详解】 由题意可得：本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员， 即求第80百分位数， 又， ， 则分数线在内，且设分数线为x， 可得， 解得，即获奖分数线为78.6. 【小问3详解】 由题意得两组的频率之比为，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则从中抽取4人，记为， 从中抽取2人，记为， 所有可能的情况为，，，，，，， ，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的分数在的情况有，，，， ，，，，，共9种， 故所求概率. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且的外接圆的周长为． （1）求角A； （2）求边的长； （3）若为边上的高，且，求的面积． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简计算可得； （2）先求外接圆的半径，利用正弦定理求解； （3）根据题意得结合数量积可得，再利用余弦定理即可求出的面积. 【小问1详解】 ， 又，，， ， ，又，， ，； 【小问2详解】 设的外接圆的半径为r， 则 由正弦定理可得：； 【小问3详解】 由余弦定理可得：， ， ，，又， ， 即：， 结合：，解得：，， ． 18. 如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影． （1）证明：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小． 【答案】（1）因为点在圆的圆周上，为圆O的直径， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由为直径，可得，再由平面，从而得平面，则，再结合利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）通过线面垂直得到线线垂直，再根据投影可知为的中点，进而得到外接球的半径从而求出外接球的表面积； （3）通过线面垂直得到线线垂直，从而找到二面角，再根据基本不等式得到三角形为等腰直角三角形，从而得出二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为为点在上的投影且， 所以为的中点，因此， 所以三棱锥外接球的半径为， 则外接球的表面积为. 【小问3详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因此即为二面角的平面角， 因为平面，平面， 所以，即为直角三角形且斜边为定值， 所以，即，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立， 此时为等腰直角三角形，所以， 故当的面积最大时，二面角的平面角的大小为． 19. 已知函数． （1）证明：对，都有； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，对任意一个整数，关于x的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为， 所以对，都有 （2）或． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）代入化简即可； （2）解，利用辅助角公式化简，最后利用三角函数的性质解不等式； （3）分、、、四种情况解方程，将根从小到大排列找出前3个根即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且，所以， 所以，则， 则 （i）当时，，其中、， 即，得； （ii）当时，即， 得，其中、，得． 综上，原不等式的解集为或． 【小问3详解】 假设存在正数m，对于任意，关于x的方程在区间内至少有三个不同实数解． 所以， 所以①或②． 对于方程①，若，则，方程①不成立，所以， 所以对于任意恒成立，所以，所以； 对于方程②， （i）若，则，当n为奇数时，，方程②无解； （ii）若，则对于任意，，所以，得． （iii）若，则对于任意，，则，则； （iv）若，则， 所以且， 所以，因此方程②无解． 综上，原方程的解为或或． 若，则方程的解为；若，则方程的解为； 所以若，对任意一个整数，关于x的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解， 故正数m的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知函数，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 是的一个零点 10. 一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件 “得到的点数为奇数”，事件 “得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 事件与相互独立 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数z满足，则_________． 13. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 14. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 16. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且的外接圆的周长为． （1）求角A； （2）求边的长； （3）若为边上的高，且，求的面积． 18. 如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影． （1）证明：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小． 19. 已知函数． （1）证明：对，都有； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，对任意一个整数，关于x的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $