精品解析：广东深圳市第二高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025～2026学年深圳市第二高级中学期末考试 高一数学 命题人：高丽 审题人：闫瑞习 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（　　） A. 正面向上的概率为0.48 B. 反面向上的概率是0.48 C. 正面向上的频率为0.48 D. 反面向上的频率是0.48 2. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 6. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为边长为8的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. 16 B. C. 9 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，都是复数，下列选项中正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则是实数 C. D. 若，则 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 11. 如图，在长方体中，，，若是的中点．则（ ） A. 过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B. 存在实数，使得直线与平面垂直 C. 直线平面，则 D. 点到直线的距离的范围为 三、填空题：本题共3小题，12题、13题、14题每小题5分． 12. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______. 13. 如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为__________米． 14. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称为的k阶等距平面，M为的k阶等距集．如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，当两侧各有两个顶点时，符合条件的有______个，m的取值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 16. 如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点. （1）求证：平面平面PAB； （2）若二面角的大小为： （ⅰ）求PA的长； （ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 19. 如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若动点P满足，且． （i）若，E为上一动点，是否存在E使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （ii）若，点O为三棱锥外接球的球心，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年深圳市第二高级中学期末考试 高一数学 命题人：高丽 审题人：闫瑞习 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（　　） A. 正面向上的概率为0.48 B. 反面向上的概率是0.48 C. 正面向上的频率为0.48 D. 反面向上的频率是0.48 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和概率的定义逐项判定可得答案. 【详解】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误； 对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误； 对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确； 对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误. 故选：C. 2. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以． 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以 4. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形的面积公式求的长度，再根据斜二测画法的规则确定的长度. 【详解】在中，由，解得， 根据斜二测画法的规则可得： . 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】正弦定理，，，即； ，，，即. ，，； 或； ，，，，； ，，即. 6. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 8. 已知为边长为8的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. 16 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可． 【详解】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为等边的边长为，所以． 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以． 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，都是复数，下列选项中正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则是实数 C. D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A根据复数模的性质判断可得；对B由共轭复数的定义及复数的加法运算可得；对C由共轭复数的定义及运算可得；对D通过举反例判断可得. 【详解】选项A：复数的模满足，若，则， 所以或，即或，故A正确. 选项B：设（），由得，则，为实数，故B正确. 选项C：设（）， 左边， 右边，左右两边相等，故C正确. 选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若仅说明差为正实数，但可能含虚部， 比如，，但两个虚数和无法比较大小，故D错误. 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在长方体中，，，若是的中点．则（ ） A. 过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B. 存在实数，使得直线与平面垂直 C. 直线平面，则 D. 点到直线的距离的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合面面平行的性质分析判断；对于C：连接交于点，根据平面的性质可知，结合几何性质分析判断；对于BD：建系并标点，利用空间向量结合垂直关系判断B；利用空间向量求点到直线的距离，进而判断D. 【详解】对于选项A：因为平面与平面平行， 则平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 取的中点，连接，则四边形为平行四边形， 又因为， 所以截面为菱形，故A正确； 对于选项C：连接交于点，连接， 因为平面平面，则， 可知，则， 所以，故C正确； 对于选项BC：以为坐标原点，所在直线分别为轴建系， 则，，， 可得， 若直线与平面垂直，则，解得， 所以存在实数，使得直线与平面垂直，故B正确； 因为， 则， 又因为，则，，可得，故D错误； 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，12题、13题、14题每小题5分． 12. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______. 【答案】 【解析】 【详解】记事件为“甲解出该题目”，事件为“乙解出该题目”，“题目被解出”对应事件. ∵ 甲、乙两人解题相互独立，且，， ∴ 甲、乙都未解出题目的概率为， 代入数值计算得， ∴ 这道题被解出的概率. 13. 如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【详解】设铁塔的高度为米. 由题意可得，，地面，则，. ，，，. ，，即，解得； ，，即铁塔的高度为米. 14. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称为的k阶等距平面，M为的k阶等距集．如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，当两侧各有两个顶点时，符合条件的有______个，m的取值为______． 【答案】 ①. 3 ②. ##0.5 【解析】 【分析】结合题意，分别取的中点，可得平面为正四面体的1个1阶等距平面，且为正方体棱长的一半，等于，同理分析即可求解. 【详解】分别取的中点， 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 可得平面为正四面体的1个1阶等距平面， 且为正方体棱长的一半，等于． 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【答案】（1），分位数为 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，结合分位数的性质进行求解即可； （2）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得 【小问1详解】 因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 所以. 成绩小于分的占比，成绩小于分的占比， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 而，所以分位数为； 【小问2详解】 成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 . 16. 如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． 【小问2详解】 ，则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点. （1）求证：平面平面PAB； （2）若二面角的大小为： （ⅰ）求PA的长； （ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】(1)通过证明线面平行，从而证明面面平行； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解空间角的正弦值. 【小问1详解】 在PAD中，、分别是PD、AD的中点， 所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以， 又，是AD的中点，所以，， 所以四边形ABCF是矩形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为，平面CEF，平面CEF， 所以平面平面PAB； 【小问2详解】 （ⅰ）连接AC，BF， 由（1）同理可证四边形BCDF是平行四边形，所以， 因为四边形ABCF是矩形，，所以四边形ABCF是正方形， 所以，所以， 又平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC，又平面PAC，又平面PAC，所以PC，PA， 所以是二面角的平面角，即， 所以，因为四边形ABCF是正方形，且， 所以，所以； （ⅱ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面BCE的一个法向量为，则, 所以，取，则，， 所以，设直线CD与平面BCE所成的角为， 所以 所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. 【小问2详解】 由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． 【小问3详解】 由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 19. 如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若动点P满足，且． （i）若，E为上一动点，是否存在E使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （ii）若，点O为三棱锥外接球的球心，求的取值范围． 【答案】（1）如图，设，连接， 因直四棱柱的所有棱长均为2，且M，N分别为AD，的中点， 因为平面，平面， 则， 又，则， 又因，则， ， 又，则， 故是二面角的平面角. 又因，可得， 故平面平面. （2）（i）存在，；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，连接，分别证明，，得出是二面角的平面角，通过计算借助于勾股定理证明即得证； （2）（ⅰ）由条件确定点为线段上的靠近的三等分点，连接，作，交于点，作交于点，连接，通过平面平面．即可求解；（ⅱ）分别取的中点，连接，由条件推得，即点在射线上，作平面于，由可得点为的外心，外接球的球心满足平面，半径为，借助于直角梯形由勾股定理即可求得，利用二次函数性质即可求得的范围，进而得到OP的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 即点为线段上的靠近的三等分点， 如图连接，并在其上任取点，分别作，交于点， 作交于点，连接， 因，平面，平面， 则平面，同理可得平面， 因平面，故平面平面． 又平面，则平面， 故． （ⅱ）分别取的中点，连接，则， 当时，，则点在射线上， 设，易得点为的外心，作平面于，则，且点在射线上. 三棱锥外接球的球心满足平面，则，连接， 设三棱锥外接球半径为，因，则，， 则，设， 于是有，化简得， 因，该函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，此时取得最小值；当时，， 故OP的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $