精品解析：广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷

广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 22 D. 33 4. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者被随机分配到四个物资发放点（站点），每人原属站点分别为．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 一个零点为 D. 在区间上单调递减 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 4是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程恰有8不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 13. 已知函数若只有一个零点，则的取值范围是______． 14. 已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角、、的对边分别为、、，有余弦定理： ， ， ． （1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明； （2）若，，，求的面积． 16. 潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表． 样本分数段 [90，100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 0.3 03 0.1 （1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数； （2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面BCDE； （2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值． 18. 已知函数最大值为1． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）设为函数的两个相异零点，求的最小值． 19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④． （1）设，求和； （2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由； （3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出，再根据交集的定义即可求得的答案. 【详解】依题意，所以，所以． 故选：B． 2. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 3. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 22 D. 33 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数定义计算即可求解. 【详解】该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据， 由题意且， 则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33．故D正确. 故选:D． 4. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 5. 已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 6. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示． 由图象可知．故B正确. 故选:B． 7. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 8. 在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者被随机分配到四个物资发放点（站点），每人原属站点分别为．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A必然在站点2，3，4中的某一个的机会均等，可求得志愿者A被分配到站点4的概率. 【详解】A被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的，且A必然在站点2，3，4中的某一个，则A在站点2，3，4中的概率都是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】化简的解析，根据三角函数的周期性、对称性、零点、单调性等知识求得正确答案. 【详解】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确； 令，求得，故B错误； ，令， 求得，故的一个零点为，故C正确； 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，所以在上没有单调性，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 4是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程恰有8不同的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的对称性结合奇偶性计算求解周期判断A，应用对称中心定义判断B，应用周期性求函数值判断C，画出图象结合数形结合判断交点判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以，即， ， 即的周期，故A正确； 对于B，由A得，函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因为的周期，，则 当时，，则， 由，令则，令则， 所以，故C正确； 对于D，作出函数与函数的图象，如图． 所以曲线与有8个交点，故D正确． 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 【答案】0.6## 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】随机事件和互斥，则． 又和对立，. 故答案为：0.6． 13. 已知函数若只有一个零点，则取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】问题化为函数和，作出与的图象，数形结合确定参数范围即可. 【详解】函数只有一个零点，则函数和只有一个交点， 作出与的图象，如图所示．由图象可知， 当只有一个零点时，实数的取值范围为． 故答案为：. 14. 已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设的外接圆半径为，圆心为，根据正弦定理可求，根据几何关系可求到平面ABC的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求面积的最大值，即可得解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，故，解得， ，设的外接圆半径为，圆心为， 根据正弦定理知，，即， ， 是球的直径，是AD的中点， 点到平面ABC的距离为， 在中，根据余弦定理得， 即， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 三棱锥体积的最大值． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角、、的对边分别为、、，有余弦定理： ， ， ． （1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，根据平面向量的减法可得出，再结合平面向量数量积的运算性质可证得结论成立； （2）由正弦定理结合余弦定理可得出关于的方程，解出的值，再结合三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 如图，在中，设，，，则， 所以，即． 同理可得，. 【小问2详解】 由及正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 联立方程组整理，得，所以或（舍去）． 所以． 16. 潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表． 样本分数段 [90，100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 03 0.3 0.1 （1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数； （2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），；76； （2）总平均数是62，总方差是23． 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据分层抽样的分法，得到分数在和的人数，结合分层抽样的方差的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 由， 解得，则， 平均数的估计值为． 【小问2详解】 由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20， 故两组成绩的总平均数， 两组成绩的总方差． 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23． 17. 如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面BCDE； （2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可； （2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可. 【小问1详解】 因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点， 所以， 又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC， 而底面ABC，所以， 因为平面平面BCDE，且， 所以平面BCDE， 又因为平面ACD，所以平面平面BCDE． 【小问2详解】 如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM． 因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角． 因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径， 所以EM为上底面圆的直径， 因为AM是圆柱的母线，所以平面DME， 因为DE平面DME，所以． 又因为EM为上底面圆的直径，所以， 因为平面，所以平面AMD， 因为平面AMD，所以，又因为平面平面， 所以为平面ADE与平面DME的夹角， 又因为在底面ABC的射影为，所以， 所以，又因为母线长为，所以， 又因为平面平面DME，所以， 所以， 所以， 即平面ADE与平面ABC夹角余弦值为． 18. 已知函数的最大值为1． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）设为函数的两个相异零点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用两角和差的余弦公式结合辅助角公式计算化简，再结合值域列式求参； （2）应用正弦函数的单调减区间列式计算求解； （3）根据已知零点个数结合特殊值列式，再根据不等式性质求解最小值. 小问1详解】 ． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 令， 解得， 所以函数的单调递减区间为． 【小问3详解】 令，得， 因为为的两个相异零点，所以， ①，且， 或，且， 此时． ②， ， 所以． 综上所述，，即的最小值为． 19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④． （1）设，求和； （2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由； （3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的． 【答案】（1）；； （2）正确，理由见解析； （3）3，证明见解析. 【解析】 分析】（1）代入公式③④即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算及数量积运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可. 【小问1详解】 由， 得， ． ． 【小问2详解】 设， ， ， 因为， 所以，故正确． 【小问3详解】 不妨令，则， 则 ， 当时，取得最小值3， 此时， 设满足条件的， 则， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $