精品解析：辽宁省 沈阳虹桥中学2025-2026学年八年级下学期 期末数学试卷

2025－2026学年度（下）虹桥中学教育集团八年级 数学学科 期末考试 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 随着社会的不断变化和科技的飞速发展，AI时代带给我们前所未有的新体验．下列图案是AI人工智能软件的图标．请问图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐项分析求解即可． 【详解】解：A． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意． 2. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质， 即不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，由，移项得，故A错误，不符合题意； B选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，得，故B错误，不符合题意； C选项，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，故C正确，符合题意； D选项，不等式两边同时乘，不等号方向不变，得，故D错误，不符合题意． 4. 多项式中，各项的公因式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 在中，已知的度数之比是，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理与角度比求出的度数，判断为含角的直角三角形，再利用直角三角形性质和勾股定理计算的长度． 【详解】解∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 7. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，则菱形的周长是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质及三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理求出的长，再根据菱形的四条边都相等即可得到答案． 【详解】E、F分别是、的中点， 是的中位线， ， 菱形的周长． 故选D． 8. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用在直角三角形中所对的边为斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，直角三角形两锐角互余以及等角对等边求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 由旋转得，，，， ， ， ， ． 9. 如图，直线交坐标轴于两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点B落在直线上时，点C平移的距离为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点B为线段的中点，可知，把代入函数关系式得，即可知点B向上平移距离，根据图形平移的性质可知点C平移距离． 【详解】解：当时，， 解得， 点D的坐标为． 点B为线段的中点， 点B的坐标为， ． 当时，， 点B向上平移落在直线上时坐标为， 点B向上平移距离为2， 根据图形平移的性质可知点C平移距离为2． 10. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F．在图1，图2，图3中按照如下方法作图得到点M、N，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（ ） 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作中边上的中线 分别作中的平分线 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2和图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2和图3为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质、矩形的判定，全等三角形的判定和性质，作出相应辅助线，进行证明即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， ， ， 在和中， ， ， ， 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ，， ， 在和中， ， ， ， 为的中线， ， 四边形为平行四边形， 即图2为平行四边形； 连接、，如图所示： 同理得：， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若代数式的值为，则实数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：∵代数式的值为 ∴且， 解得． 13. 如图，若关于x的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线在直线下方（含交点）时对应的的取值范围，即为不等式的解集，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 14. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：在中，，且，，如图，连接， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，, ∴， ∴的最小值为． 15. 如图，在中，，E是的中点，平分，，连接，．若，则的周长为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点G，可证明，得，，由，，，得，则，求得，则，，所以， ，则的周长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点G， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）因式分解； （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （2）利用通分，完全平方公式和平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 18. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【答案】A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 【解析】 【详解】解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】（1）解：下图为所求： （2）解：下图线段为所求： （3） 下图线段为所求，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． （1）求证：； （2）若点E是的中点，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）55° 【解析】 【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出； （2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 21. 吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：肉粽进价为2元/个，蛋黄粽进价为3元/个；肉粽售价定为4元/个，蛋黄粽售价定为元/个，超市计划购进这两种粽子共个．设购进肉粽x个，全部售完后的总利润为y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据市场需求，超市计划在成本不超过元的情况下进货，若进货后全部售出，可获的最大利润是多少元？ 【答案】（1）（，为整数） （2）最大利润为元 【解析】 【分析】（1）单个肉粽利润元、单个蛋黄粽利润元，蛋黄粽数量是个，利用总利润等于肉粽总利润加上蛋黄粽总利润列出式子化简，同时确定自变量取值范围即可得到y关于x的函数表达式； （2）先依据总进价不超过元列出不等式，求出，再根据一次函数中，故y随x增大而减小，因此x取最小值时利润最大，代入可算出最大利润． 【小问1详解】 解：购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个， 由题意得（，为整数）； 【小问2详解】 解：由题意得，解得， 由（1）得， 因为，所以y随x增大而减小， 故当时，最大为, 答：最大利润为元. 22. 在平面直角坐标系中，将平移得到，点A，B，C，D的对应点分别是，它们的坐标如下表： 已知点A在直线上． （1）若点B也在直线上， ①求b的值； ②a的值为______（直接填空）； （2）求m的值； （3）若点在x轴上，点是否在直线上？请说明理由． 【答案】（1）①；② （2） （3）点在直线上，理由如下： 设平移的横坐标变化量为，纵坐标变化量为， ∴由平移的性质可知：，， ∴， ∵点在x轴上， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， 根据平移规律可得点的坐标：，， ∵点A在直线上， ∴， ∴， 把代入得：， ∴点在直线上． 【解析】 【分析】（1）①把代入进行求解即可；②根据平移的性质可进行求解； （2）根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解； （3）设平移的横坐标变化量为，纵坐标变化量为，由平移的性质可知：，，然后可得，，则有，，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：①把代入得：； ②由将平移得到，且，，，，可知：， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：； 【小问3详解】 略 23. 在正方形中，对角线与交于点O，，点M在线段上，连接，将沿翻折，得到． （1）如图①，当点N落在对角线上时，求线段的长； （2）如图②，点P在线段上，且，连接，当点N落在线段上时，的面积为______（直接填空）； （3）如图③，连接，，延长交于点H，若，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理求出的长，由折叠得，，证得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出的长； （2）连接，利用勾股定理求出，过点M作，，由角平分线的性质得到，证明四边形是正方形，得到，设，由四边形的面积，求出，最后根据面积公式求出的面积； （3）连接，过点D作，过点N作，根据折叠的性质及等腰三角形的性质证得，，利用余角的性质推出，证明，得到，利用勾股定理得，求出，，根据面积法求出，勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，，最后利用勾股定理求出． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得， 由折叠得，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ， ∴， 过点M作，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∵四边形的面积， ∴， 解得， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：连接，过点D作，过点N作 由折叠得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题是几何图形综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一的性质，折叠的性质，综合掌握各知识点并熟练应用是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（下）虹桥中学教育集团八年级 数学学科 期末考试 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 随着社会的不断变化和科技的飞速发展，AI时代带给我们前所未有的新体验．下列图案是AI人工智能软件的图标．请问图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 多项式中，各项的公因式是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知的度数之比是，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，则菱形的周长是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线交坐标轴于两点，等边三角形的边在x轴上，且点B为线段的中点，若将沿y轴竖直向上平移，当点B落在直线上时，点C平移的距离为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 10. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F．在图1，图2，图3中按照如下方法作图得到点M、N，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（ ） 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作中边上的中线 分别作中的平分线 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2和图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2和图3为矩形 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 若代数式的值为，则实数的值是______． 13. 如图，若关于x的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为______． 14. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为_____． 15. 如图，在中，，E是的中点，平分，，连接，．若，则的周长为 _________ ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）因式分解； （2）计算： 17. 解不等式组： 18. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 20. 如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． （1）求证：； （2）若点E是的中点，，求的度数． 21. 吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：肉粽进价为2元/个，蛋黄粽进价为3元/个；肉粽售价定为4元/个，蛋黄粽售价定为元/个，超市计划购进这两种粽子共个．设购进肉粽x个，全部售完后的总利润为y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据市场需求，超市计划在成本不超过元的情况下进货，若进货后全部售出，可获的最大利润是多少元？ 22. 在平面直角坐标系中，将平移得到，点A，B，C，D的对应点分别是，它们的坐标如下表： 已知点A在直线上． （1）若点B也在直线上， ①求b的值； ②a的值为______（直接填空）； （2）求m的值； （3）若点在x轴上，点是否在直线上？请说明理由． 23. 在正方形中，对角线与交于点O，，点M在线段上，连接，将沿翻折，得到． （1）如图①，当点N落在对角线上时，求线段的长； （2）如图②，点P在线段上，且，连接，当点N落在线段上时，的面积为______（直接填空）； （3）如图③，连接，，延长交于点H，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $