精品解析：广东省揭阳市榕城区2025-2026学年第二学期期末八年级数学试卷

2025−2026学年度第二学期期终质检 八年级数学科目试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 6. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 9. 如图，在中，，，为上一点，，于点，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 21 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：_____． 12. 若分式的值为0，则的值为__________． 13. 小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数______． 14. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限． 15. 如图，在中，，，，连接，、分别是、上的点，连接、，若，则的最小值为________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 17. 先化简：，再在中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值． 18. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在中， 求证：． （1）尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 20. 如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）请你探索和的关系，并说明理由． 21. 请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． （1）求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 23. 【问题初探】线段的中点在复杂几何题的证明中往往是一个非常重要的条件，为了让学生能感受到它的重要性，数学刘老师给出了如下问题： （1）如图1， 在平行四边形中，，且，交于点O，点E是的中点，点F 为对角线上的点，且 连接线段，若，求和的长．小红同学在求的时候，考虑到点E是的中点，猜想会不会是的中位线?请你利用小红的提示，解决这个问题． （2）【类比拓展】刘老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，提出了下面问题，请你解答． 如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． （3）【学以致用】如图3，在中，，点D在上，，点E， F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期期终质检 八年级数学科目试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了不等式，根据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有①②⑤⑥，共4个， 故选：C． 3. 体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可得：. 4. 在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：∵因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式乘积的形式； ∴选项A，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项B，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项C，右边是多项式和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合要求； 选项D，左边是多项式，右边是整式乘积，等式成立，属于因式分解，符合要求. 5. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 6. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程无解的本质是产生增根或去分母后的整式方程无解，本题中整式方程有解，故存在增根，增根会使原分式方程的分母为0，先确定增根的值，再代入去分母后的整式方程即可求出n的值. 【详解】解：若分式方程无解，则方程存在增根， 令原方程分母，得增根， 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得 ， ∵ 原方程无解， ∴ 是上述整式方程的根， 将代入得， 得 ， 解得 . 7. 如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等． 8. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把已知整理成，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将整体代入是解题关键． 9. 如图，在中，，，为上一点，，于点，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质，首先根据，，可得：，因为，根据等腰三角形的三线合一定理可知点是的中点，又因为点为的中点，可得：是的中位线，根据中位线的性质可以求出． 【详解】解：，， ， 又， ， 点是的中点， 点为的中点， 是的中位线， ． 故选：C． 10. 关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 12. 若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 经检验，时，，符合题意． 13. 小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限． 【答案】一、二、四 【解析】 【分析】根据不等式的解集，判断的符号，推导得到的符号，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限． 【详解】解：不等式的解集是， ，且当时，，即一次函数与轴交于点， 将代入得：， 整理得， ， ∴， 对于一次函数，，，根据一次函数的性质，其图象一定经过第一，第二，第四象限． 15. 如图，在中，，，，连接，、分别是、上的点，连接、，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于，过作于，当重合时，，此时最小，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接交于，过作于， ∴当重合时，，此时最小， ∵，， ∴， ， ， ∴， ∵，， ∴. ∴的最小值为. 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数的值是，0，1，2，3 【解析】 【分析】此题考查了求不等式组的解集和整数解．求出每个不等式的解集，找到解集的公共部分即可得到不等式组的解集．再写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是， 则满足条件的整数的值是，0，1，2，3． 17. 先化简：，再在中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】首先计算分式的除法，再算分式的加法，化简后，再确定a的值，代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴a取0， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确把分式进行化简． 18. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在中， 求证：． （1）尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）如解图，，即为所求． （2）证明：平分， ． 又， ． ． ， ． 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的步骤作图即可； （2）利用判定出，再根据性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】（1）另一个因式为，的值为 （2）另一个因式为，的值为 【解析】 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【小问1详解】 解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 【小问2详解】 解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 20. 如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）请你探索和的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：为中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形. （2），且；理由如下： 由（1）知，四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 是的中位线， ∴，且. 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质证明，可得，再进一步证明即可； （2）利用平行四边形的性质结合中位线的性质证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：设， ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． （1）求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】（1）该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元 （2）购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元，根据两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个建立方程求解即可； （2）设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为，根据购买资金不超过1080万元列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元； 【小问2详解】 解：设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为， 根据题意得：， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，利润最大，（万元）． 答：购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元． 23. 【问题初探】线段的中点在复杂几何题的证明中往往是一个非常重要的条件，为了让学生能感受到它的重要性，数学刘老师给出了如下问题： （1）如图1， 在平行四边形中，，且，交于点O，点E是的中点，点F 为对角线上的点，且 连接线段，若，求和的长．小红同学在求的时候，考虑到点E是的中点，猜想会不会是的中位线?请你利用小红的提示，解决这个问题． （2）【类比拓展】刘老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，提出了下面问题，请你解答． 如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． （3）【学以致用】如图3，在中，，点D在上，，点E， F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）， （2）证明：如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $