精品解析：广东省揭阳市榕城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：； 乙：； 丙：． 下列判断正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 只有丙对 D. 三人说的都对 7. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 10. 如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 13. 如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是______． 14. 对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则______． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解分式方程：． 17. 如图，在中，点在上，且，，求的度数． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 19. 已知a是不等式的最小整数解，求的值． 20. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 21. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：___________； （2）若，则的最小值为___________； （3）已知，求的值． 22. 综合与应用 【问题情境】 为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同． 【问题解决】 （1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？ 【拓展应用】 （2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？ （3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？ 23. 综合与探究： （1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明： 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； （2）【拓展延伸】 如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：； （3）【问题解决】 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在同一条数轴上表示出每一个不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 在同一条数轴上表示出每一个不等式的解集为： 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是解一元一次不等式组中每一个不等式的解集，会在数轴上表示不等式的解集，注意：有等于符号的要用实心圆圈表示，没有等于符号的要用空心圆圈表示． 3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解的判断．熟练掌握因式分解的定义，是解题的关键． 4. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为： ， 故选：A． 5. 如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （14-3）×6 =11×6 =66（m2）， ∴绿化区的面积是66 m2， 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 6. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：； 乙：； 丙：． 下列判断正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 只有丙对 D. 三人说的都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，即可判断甲；由即可判断乙；证明即可判断丙，即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故丙正确； 故选：D． 7. 若，则值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，正确推出是解题的关键．先根据已知式子推出，再代入计算即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 8. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 9. 如图，对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 10. 如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，求得，即，即可得到；根据，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；证明，得到，则， 即可得到． 【详解】解：在中， ，，平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①正确； ， ， ， 故平分，故②正确； 依据中，，即可得到，故③错误； 是中点，为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 13. 如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义及性质和外角和．先根据题意画出图形，再根据已知条件求出和的度数，然后根据正多边形的性质和外角和，求出正多边形的边数即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ， ， 正多边形每个外角都相等， ， 正多边形的外角和为， 它的边数为：， 的值为5， 故答案为：5． 14. 对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，根据定义运算表示出的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入中，求出结果即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD， 交CD的延长线于点E； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=4， ∵点M为AD的中点，∠BCD=30°， ∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°， ∴ME=DM=1，DE=， ∴CE=CD+DE=4，由勾股定理得： CM2=ME2+CE2， ∴CM=7；由翻折变换的性质得：MA′=MA=2， 显然，当折线MA′C与线段MC重合时， 线段A′C的长度最短，此时A′C=7-2=5， 故答案为5． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17. 如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】（1） 解：依题意作图如下，则即为所求作的高： （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可； （2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，是边上的高， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键． 19. 已知a是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，分式的化简求值；先化简分式，再求解不等式的最小整数解，再代入计算即可； 【详解】解： ． 由，得， ∵a是不等式的最小整数解， ∴． ∴原式． 20. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，以及角平分线的性质， （1）根据平行线的性质得，结合已知即可求得； （2）根据角平分线的性质得，结合平行线的性质得，进一步依据平行线的判定即可判定． 【小问1详解】 解：∵， ． 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：平分，， ． 又∵， ． ， ． 21. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：___________； （2）若，则的最小值为___________； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）类比例题求的最小值即可； （3）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案． 本题主要考查配方法的运用、公式法分解因式，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，， 【小问2详解】 解： ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：， ， ， 又，，， ，，， ，， 22. 综合与应用 【问题情境】 为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同． 【问题解决】 （1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？ 【拓展应用】 （2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？ （3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？ 【答案】（1）乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元；（2）有三种方案：甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为 40件；甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为 39件；甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为38 件；（3）应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及整式加减的应用． （1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元．根据用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同，列分式方程求解即可；                             （2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装，根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元得，解得的整数，即可解答； （3）根据题意，甲种服装的售价为元，乙种服装的售价为元，由（2）中三种方案分别计算比较即可． 【详解】解：（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元． 根据题意：， 解得：， 经检验，是原分式方程解， 则（元） 答：乙服装进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元； （2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装， 根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元， 得， 解得：， ∵为正整数， ∴， 则有三种方案： 甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为（件）； 甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为（件）； 甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为（件）； （3）根据题意，甲种服装的售价为元， 乙种服装的售价为元， 当甲服装购进 60件，乙服装购进件，则利润为：（元）； 当甲服装购进 61件，乙服装购进件，则利润为：（元）； 当甲服装购进 62件，乙服装购进件，则利润为：（元）； ∴ ∵， ∴， ∴， 答：应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润． 23. 综合与探究： （1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明： 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； （2）【拓展延伸】 如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：； （3）【问题解决】 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（）证是的中位线，是的中位线，则，，再证，即可得出结论； （）连接，取中点，连接，，由（）得，再证明，即可求证； （）连接，取中点，连接，，由（）得，证明，，由，是的中点，则，，最后分当，当两种情况即可求解； 此题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理及正确添加辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 ∵是对角线的中点，是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接，取中点，连接，，由（）得， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 如图，连接，取中点，连接，，由（）得， 同（）可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵是直角三角形，， ∴当， 由勾股定理得，， 当， 由勾股定理得，， 综上可知的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $