2.4 第4课时 有理数的加减混合运算 课件 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数的加减混合运算，通过“温故知新”复习减法转化为加法的公式，衔接有理数减法知识，搭建从单一运算到混合运算的学习支架。 其亮点在于分层设计与思维培养，通过典型例题（如巡道员位置问题）渗透数学思维（分组求和）和数学语言（代数和表达），归纳步骤与规律（奇负偶正）帮助学生提升运算能力与应用意识，为教师提供系统教学资源。

研究课题 2.4 有理数的加法与减法（4） ——有理数的加减混合运算 温故知新 计算：（1）2-（-5） （2）2-5 a - b = a + (-b) 转化 减法 加法 典型例题 例1 解： （1）2 + 5 -8 = 2 + 5 +（-8） =（2+5）+（-8） =7+（-8） =-1 统一为加法 加法结合律 有理数加减混合运算可以看成几个有理数的加法运算，只不过加号省略了. 运算符号 读作： 代数和 2加5减8 2，+5，-8的和 典型例题 例1 解： 统一为加法 加法交换律和结合律 (2)   14−25+12−17 = 14 + (−25) + 12 + (−17) =(14+12) + [(−25)+(−17)] =26 + (−42) =−16 或读作：14，-25，+12，-17的和（代数和） 读作：14减25加12减17（运算符号） 方法点拨 (1)(－10)－(＋16)＋21－35－(－23) 把下列算式统一为加法，并写成省略加号和括号的代数和的形式： (2)(－8)－(－1)＋(－5)－9 ＝－10＋(－16)＋21＋(－35)＋(＋23) ＝ －8 ＋ 1 － 5 － 9 数字前“－”号是奇数个取“－” 数字前“－”号是偶数个取“＋” 思考 写成省略加号和括号的代数和的形式，有什么规律吗？ ＝－10 － 16 ＋ 21－ 35 ＋ 23 ＝(－8)＋(＋1)＋(－5) ＋(－9) 方法： 也可采多重符号化简方法. 奇负偶正 先统一成加法运算，再省略加号和括号. 典型例题 例2 1.计算： （1） （2） 随堂小练 典型例题 例3.巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护．他从住地出发，先向东走了7 km，休息之后又向东走了3 km，然后折返向西走了11.5 km．此时他在住地的什么方向？与住地的距离是多少? 解: 如果把铁路看成数轴，巡道员的住地看成原点，规定向东为正， 那么根据题意，可得 随堂检测 随堂小练 2.某出租车一天上午从A地出发在沿着东西向的大街营运,向东为正,向西为负,行驶里程(单位:km)依先后次序记录如下:+18,-5,-2,+3,+10,-9,+12,-3,-7,-15. (1)将最后一名乘客送到目的地,出租车相对出发地的位置? (2)不超过3千米时,按起步价收费10元,超过3千米的部分,每千米收费2元,司机上午的营业额是多少? 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律简便计算； （4）按有理数加法法则计算． 归纳小结 拓展提升 在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题 -1+2-3+4+......-2017+2018的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为根据这个思路学生改编了下列几题： 计算：(1)1-2+3-4+......+2017-2018=____ （2）1-3+5-7+......+2017-2019=____ 小灶课 有理数的加减混合运算 ——拔高提升篇 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的“有理数的加减混合运算”拔高小灶课。在课本中，我们已经掌握了有理数加减运算的基本法则。但数学的魅力远不止于此，它像一座宝藏，等待我们去挖掘更深层次的规律和更巧妙的方法。今天，我们将一起挑战更具思维含量的问题，开启一场思维的进阶之旅！ ‹#› 模块 发现数列的“密码” 在数字的世界里，许多看似复杂的运算背后，都隐藏着简洁优美的规律。这些规律如同数列中隐藏的“密码”，等待我们去发掘和破译。学会敏锐地发现并灵活利用这些规律，能帮助我们跳出繁琐的计算，达到事半功倍的解题效果。 ★ 核心思想与方法：运用“从特殊到一般”的归纳思维去洞察数列本质，掌握“裂项相消”这一强力解题技巧，将复杂的求和问题转化为简单的项的抵消，直击问题核心。 1.7.2013 首先，我们进入第一个模块——规律探究篇。在这个模块中，我们将学习如何从一系列数字中发现隐藏的模式，也就是数列的“密码”。我们会用到一个非常重要的思想方法，叫做“从特殊到一般”，以及一个强大的解题技巧——“裂项相消”。掌握了它，很多复杂的求和问题就能迎刃而解。 ‹#› 典型例题 例1 计算：1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 2025 - 2026 01 观察规律：算式为“一正一负”交替，每两项结合：(1-2) = -1，(3-4) = -1... 02 分组变形：将相邻两项括起分组：原式 = (1-2) + (3-4) + ... + (2025-2026) 03 计算结果：共 2026 ÷ 2 = 1013 组，每组结果为 -1，故原式 = (-1) × 1013 = -1013 💡 核心技巧：分组求和法 当遇到规律明显的长算式时，寻找重复出现的“计算单元”，将其捆绑分组，把复杂的长式转化为简单的乘法运算，化繁为简。 🔑 避坑指南 务必准确计算总项数以确定分组数量，注意算式是“奇项”还是“偶项”结尾；分组时注意符号的变化，避免因括号导致的符号错误。 总结：对于有规律的加减混合运算，“分组求和”是最直接有效的解题策略，关键在于发现并构造相同的计算模块。 1.7.2013 我们来看第一个例题。这个算式看起来很长，但我们仔细观察会发现，它是按照“加、减”的规律交替出现的。我们可以把每两项结合在一起，比如(1-2)，(3-4)，它们的结果都是-1。从1到2026一共有2026个数，两两一组，就得到了1013组。所以，最后的结果就是1013个-1相加，也就是-1013。这种方法就叫做分组求和。 ‹#› 典型例题 电子跳蚤在数轴上跳动，第一次向右跳1个单位，第二次向左跳2个单位，第三次向右跳3个单位……按此规律连续跳100次。求：（1）最终落点在数轴上表示的数是多少？（2）这100次跳动经过的总路程是多少？ 解: （1）确定落点位置（代数和）：将跳动的数依次相加：(+1)+(-2)+(+3)+(-4)+…+(+99)+(-100)。采用分组法，每两项为一组：(1-2)+(3-4)+…+(99-100)，共50组，每组结果为-1，因此总和为 50×(-1) = -50，即落点在原点左侧，表示的数是-50。 （2）计算总路程（绝对值和）：路程无方向，需算每次跳动的绝对值之和：|+1|+|-2|+…+|+100| = 1+2+3+…+100。利用等差数列求和公式：(首项+末项)×项数÷2，得 (1+100)×100÷2 = 5050，即总路程为5050个单位长度。 核心归纳：解决此类数轴动点问题，关键要区分“位置”（含方向，求代数和）与“路程”（不含方向，求绝对值和）的概念，灵活运用“分组求和法”或“等差数列求和公式”可快速简化计算。 变式 1.7.2013 最后一个模块，我们将数学应用到生活中。比如这只电子跳蚤，它的跳动就可以用有理数的运算来描述。第一问，求落点位置，就是求这些数的代数和，我们用分组求和的方法得到-50。第二问，求总路程，路程是没有方向的，所以要求每次跳动距离的绝对值之和，也就是1到100的和，等于5050。这里要注意区分“位置”和“路程”的概念。 ‹#› 典型例题 例2 解： 核心技巧：裂项相消法 效果：拆分抵消，化繁为简 计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + ... + 1/9900 1. 观察：分母为 n(n+1)，如 9900=99×100 2. 变形：1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1) 3. 代入：(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) 4. 求和：中间抵消，得 1 - 1/100 = 99/100 适用场景：分母为两个连续自然数乘积的分数求和 牢记公式：1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1) （n为正整数） 1.7.2013 接下来这个例子更有趣。我们观察分母，会发现它们都是两个连续自然数的乘积。这时，我们可以使用一个非常巧妙的技巧——裂项相消法。比如，1/2可以写成1减1/2，1/6可以写成1/2减1/3。把所有项都这样拆开后，神奇的事情发生了：中间的-1/2和+1/2，-1/3和+1/3都相互抵消了，最后只剩下首项1和末项-1/100。结果就是99/100。 ‹#› 典型例题 例3 题目背景：某水库设定标准水位为0米。若水面先上升 +0.1 米，随后下降 -0.25 米，最后又上升 +0.2 米，请计算此时的最终水面高度。 解题步骤：根据题意列式：最终高度 = (+0.1) - (-0.25) + (+0.2) 利用法则转化：= 0.1 + 0.25 + 0.2（减去负数等于加上其相反数） 计算结果：= 0.55 (米) 结论：最终水面高于标准水位 0.55 米。解决此类问题的关键在于准确将“上升/下降”的实际意义与有理数的正负号建立对应关系。 1.7.2013 我们再看一个水位变化的例子。这里的关键是理解“下降-0.25米”是什么意思。下降对应减法，所以是减去-0.25，根据法则，减去一个负数等于加上它的相反数。所以算式就变成了0.1 + 0.25 + 0.2，最终结果是0.55米。这体现了如何将实际问题转化为数学模型来解决。 ‹#› 数学核心思想与技巧提炼 01 裂项相消法：针对分数求和，利用 1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1) 拆分，化繁为简。 02 数学建模思想：将实际应用题转化为方程、函数等数学模型，用数学方法解决问题。 归纳小结 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天学到的核心思想和技巧。我们学习了用于数列求和的裂项相消法；用于破解绝对值谜题的分类讨论思想；用于解决数轴问题的数形结合思想；用于简化字母运算的整体代换思想；以及用于解决实际问题的建立数学模型思想。希望大家能将这些思想内化于心，真正领略数学的智慧。 ‹#› 循理而行，来日再研 $