2.5 第3课时《有理数的除法》课件2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数除法法则，通过复习小学分数除法引入负数除法问题，结合气温平均计算情境，引导学生探究除法与乘法的逆运算关系，搭建从具体实例到抽象法则的学习支架。 其亮点在于情境化探究与分层训练结合，通过气温问题培养抽象能力，用分类讨论解决符号判断提升推理意识，混合运算进阶训练强化运算能力。例如用“三正两负”分类讨论含绝对值的符号问题，帮助学生夯实基础发展思维，教师可借助分层内容高效开展差异化教学。

研究课题 2.5 有理数的乘法与除法( 3 ) ——除法法则 复习引入 计算： （1） （2） （3） 活动探究 某地某星期每天上午8时的气温记录如下： 该地该星期每天上午8时的平均气温为： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -4℃ -4℃ 0℃ 1℃ 1℃ -3℃ -5℃ = 如何计算呢？ 活动探究 因为(－2)×7=-14， 所以-14÷7=-2， 归纳总结 有理数除法法则（一） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 除法法则 记作：a÷b = a× ( b≠0 ) 注意：0不能作除数. 填空： 巩固练习 除法法则 （1）（-10）÷5=（-10）× ___=___ （2） 24÷ (-8) = 24×___=___ （3）（-12）÷（-4）=（-15）×___=___ 乘法 除法 逆运算 （-3）×6= （-25）×（-）= 3×（-9）= 3×7= 0×（-2）= 0×2.1= （-18）÷6= 5÷（-）= （-27）÷（-9）= 21÷7= 0÷（-2）= 0÷2.1= -18 5 -27 21 0 0 -3 -25 3 3 0 0 异号 同号 两数相除，商的符号如何确定？商的绝对值如何确定？ 归纳总结 有理数除法法则（二） 1.两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并 把绝对值相除. 2.0除以任何一个不等于0的数，都得0. 除法法则 注：通常用在两数能整除的情况下 化简下列分数： 学以致用 按照小学的习惯，两个数相除可以写成分数的形式，即a÷b = ( b≠0 ) 典型例题 例1 计算： 例2 计算： 典型例题 除法法则 计算时，我们该注意哪些呢？ 拓展提升 3.定义一种新运算： ，求 的值 1.已知：a为正整数，则a，-a，的大小关系是（ ） 拓展提升 3.已知有理数a、b、c满足a+b+c>0,abc<0, 求 的值 本节课你有什么收获？ 课堂小结 小灶课 有理数的除法 · 拔高提升 1.7.2013 同学们好！欢迎来到我们的“有理数的除法”拔高小灶课。这节课，我们将一起探索课本之外更深奥、更有趣的数学世界。如果你觉得课堂上的知识已经掌握得很好，想要挑战更高难度，那么你来对地方了！让我们一起开启这段进阶之旅吧！ ‹#› 学习目标 核心提升 01 精通符号：掌握复杂情境下商的符号判断技巧，快速精准判定结果正负性，夯实运算基础。 02 巧算运算：熟练运用运算律拆解分数与除法混合运算，优化计算步骤，提升解题速度与准确率。 03 驾驭字母：灵活处理含字母、绝对值的代数式除法求值问题，突破抽象代数运算的思维难点。 04 解密新规：快速拆解各类“新定义运算”规则，结合有理数除法法则，举一反三应对变式挑战。 05 学以致用：将有理数除法模型应用于工程分配、行程速度等实际生活场景，解决实际数学问题。 06 规避陷阱：精准识别运算顺序颠倒、符号处理失误等常见易错点，建立严谨细致的计算习惯。 1.7.2013 在开始挑战之前，我们先明确一下本次小灶课的目标。通过这节课的学习，大家需要在六个方面得到提升：精通符号判断、巧算混合运算、驾驭含字母的代数式、解密新定义运算、学以致用解决实际问题，以及规避常见的易错陷阱。希望课程结束时，大家都能自信地说：这些我都掌握了！ ‹#› 符号判断 例题：已知有理数a, b, c在数轴上的位置如图， a、b在原点右侧，c在原点左侧，试判断 (a ÷ b) ÷ c 的符号。 STEP 01：定位定号 根据数轴性质：原点右侧为正，左侧为负。 得出：a > 0，b > 0，c < 0。这是判断符号的基础前提。 推理过程 STEP 02：分步运算推理 ① a ÷ b：正数 ÷ 正数 = 正数（同号得正）； ② 结果 ÷ c：正数 ÷ 负数 = 负数（异号得负）。 最终结论：该代数式的计算结果符号为负（-） 1.7.2013 我们来看第一个拔高模块：复杂的符号判断。这里有一道结合了数轴的题目。首先，我们根据数轴判断出a和b是正数，c是负数。然后，我们分步计算，先看a除以b，两个正数相除，结果是正的。再用这个正数去除以c，也就是一个负数，最终结果必然是负数。通过数轴判断符号，是解决这类问题的关键第一步。 ‹#› 例题： 巩固练习 复杂符号判断 已知 a < 0，b > 0 且 |a| > |b|，试判断: (|a| ÷ b) × (-a² ÷ |b|) 的符号。 解析：① |a|=-a>0，b>0 ⇒ |a|÷b 为正数； ② a²≥0 ⇒ -a²<0，|b|=b>0 ⇒ -a²÷|b| 为负数。 结论：正数 × 负数 = 负数，因此该式结果的符号为负（-）。 💡 核心技巧：先拆解每个因子的符号，再利用“同号得正，异号得负”法则。 1.7.2013 接下来，我们增加一点难度，引入绝对值和乘方。看这道题，已知a是负数，b是正数。我们来分析每个部分的符号：|a|一定是正数，b也是正数；-a²，因为a²是正的，所以前面加个负号就是负数；|b|同样是正数。那么，第一部分|a|÷b是正数，第二部分-a²÷|b|是负数。一个正数乘以一个负数，结果当然是负数。大家看，只要我们把每个部分的符号都分析清楚，问题就迎刃而解了。 ‹#› 典型例题 模块二：混合运算进阶 — 巧用运算律 例3计算： (-81) ÷ (9/4) × (4/9) ÷ (-16) 01 常规解法：按部就班 原式 = (-81) × (4/9) × (4/9) × (-1/16) = (-36) × (4/9) × (-1/16) = (-16) × (-1/16) = 1 ⚠️ 缺点：步骤繁琐，中间数据大，容易计算失误。 02 进阶技巧：巧用运算律 原式 = [(-81)×(4/9)] × [(4/9)×(-1/16)] = (-36) × (-1/36) = 1 ✨ 核心：利用乘法交换律和结合律，将能约分的数优先组合，一步到位。 💡 名师点睛：遇到乘除混合运算时，先统一化为乘法，再观察因数的特点。把互为倒数、能凑整或能直接约分的数结合在一起，能极大地简化计算过程，提高准确率。 1.7.2013 进入第二个模块，混合运算的进阶技巧。这道题如果按部就班从左到右算，会比较繁琐。但如果我们运用乘法的交换律和结合律，把能凑整的数先结合在一起，计算就会简单很多。比如，我们把-81和4/9结合，4/9和-1/16结合，很快就能得到-36和-1/36，两者相乘，结果就是1。记住，运算律是我们简化计算的利器！ ‹#› 进阶技巧 混合运算进阶精讲 核心思路： 化除为乘转分数 巧用分配律拆分 例题4：繁分数运算（主分数线=除号） 计算：(-1/2 + 1/3) ÷ (1/6 - 1/4) 步骤1：分别计算分子、分母 ① 分子：-1/2 + 1/3 = -(3/6 - 2/6) = -1/6 ② 分母：1/6 - 1/4 = -(2/12 - 3/12) = -1/12 步骤2：化除为乘，约分计算 原式 = (-1/6) × (-12/1) = 2 例题5：拆分法（分配律逆用） 计算：(2⅓ - 3½ + 1 1/45) ÷ (-1⅙) 步骤1：带分数转假分数，化除为乘 原式 = (7/3 - 7/2 + 46/45) × (-6/7) 步骤2：分配律拆分，逐项计算 = 7/3×(-6/7) -7/2×(-6/7) +46/45×(-6/7) = -2 + 3 - 92/105 = 1 - 92/105 = 13/105 1.7.2013 我们再来看两种进阶技巧。第一种是处理繁分数，记住，主分数线就相当于除号。我们先分别算出分子和分母的值，再把除法变成乘法来计算。第二种是拆分法，也叫分配律的逆用。当被除数是一个复杂的加减算式时，我们可以把它拆开来，分别除以除数，这样可以大大简化计算。大家看例题5，是不是比直接硬算要简单得多？ ‹#› 已知条件 分类讨论 符号判定 【例题6】核心剖析 已知 abc ≠ 0，求下式的值： (a/|a|) ÷ (b/|b|) × (c/|c|) 💡 关键点：对于非零数 x，x/|x| 仅能取 1 或 -1 即：正数得1，负数得-1。需根据 a,b,c 的正负性进行穷尽式讨论。 四种组合情况推演 1. 三正 (a,b,c>0)：1 ÷ 1 × 1 =1 2. 两正一负：1 ÷ 1 × (-1) =-1 3. 一正两负：1 ÷ (-1) × (-1) =1 4. 三负 (a,b,c<0)：(-1) ÷ (-1) × (-1) =-1 结论：所有可能值为1 或 -1（分类讨论是数学严谨性的体现） 1.7.2013 第三个模块，我们来挑战含有字母的代数式。看到a/|a|这样的形式，大家要立刻想到，它的值取决于a的正负，要么是1，要么是-1。这道题需要我们进行分类讨论，把a、b、c所有可能的正负组合都考虑到。经过分析，我们发现无论哪种组合，最终结果只有两种可能：1或者-1。分类讨论是数学中非常重要的思想，能帮助我们做到不重不漏。 ‹#› 模块三：变式练习 【题目】已知 x / |x| + y / |y| = 0， 请求出代数式 (xy) / |xy| 的值。 【思路分析】x/|x|与y/|y|的结果只能是1或-1，二者和为0说明x、y异号，故 xy < 0。 【规范求解】∵ x/|x| + y/|y| = 0，∴ x、y异号，即 xy < 0，|xy| = -xy。 因此：(xy) / |xy| = xy / (-xy) =-1 1.7.2013 我们来练习一下分类讨论的思想。这道题告诉我们x/|x|与y/|y|的和是0，这说明什么呢？说明一个是1，另一个是-1，也就是说x和y一个是正数，一个是负数。既然x和y异号，那么它们的乘积xy就一定是负数。所以，xy除以|xy|，结果就是-1。大家看，通过简单的分析，我们就能找到解题的关键。 ‹#› 模块四：新定义运算 【例题7】规则应用与求解 【运算定义】规定一种新运算：a * b = (a + b) ÷ (a - b)，请按要求计算： ① 直接求值：计算 (-3) * 2 的结果； ② 逆向求解：若 x * (-1) = 2，求 x 的值。 【详细解答】 ① 代入公式：(-3)*2 = (-3 + 2) ÷ (-3 - 2) = (-1) ÷ (-5) = 1/5； ② 转化方程：(x - 1) ÷ (x + 1) = 2 → x - 1 = 2(x + 1) → 解得：x = -3。 1.7.2013 第四个模块是新定义运算，这是考试中非常喜欢出的题型。解题的关键就两个字：“听话”。题目怎么定义，我们就怎么做。比如这道题，定义了a*b等于(a+b)除以(a-b)。那么第一问，我们就把-3和2代入公式。第二问稍微复杂一点，需要我们根据定义列出方程，然后解这个方程求出x的值。只要严格遵守规则，这类问题并不可怕。 ‹#› 【例题8】定义与计算： 模块四 多层新定义运算 核心口诀： 先算内层括号 再算外层运算！ STEP 01 计算内层：2 ⊕ (-3) 已知定义：a ⊕ b = a² ÷ b 代入数值：a=2，b=-3 计算过程：2² ÷ (-3) = 4 ÷ (-3) = -4/3 STEP 02 计算外层：(-4/3) ⊕ (-6) 代入新值：a=-4/3，b=-6 计算过程：(-4/3)² ÷ (-6) = 16/9 ÷ (-6) 最终结果：16/9 × (-1/6) = -8/27 💡 避坑指南：多层运算切忌“跳步”或“从外到内”计算。新定义运算的本质是“照葫芦画瓢”，先把括号内的结果算出，再将其作为新的“瓢”去匹配外层的运算规则，同时要特别注意负数的平方与除法符号的变化。 1.7.2013 新定义运算也可能嵌套出现，像这道题一样。遇到这种情况，我们要记住一个原则：从内到外，先算括号里的。我们先算出2⊕(-3)的值是-4/3，然后再用这个结果作为新的a，和-6进行运算，最终得到答案-8/27。运算顺序是关键，千万不能搞反了。 ‹#› 模块五：实际应用案例 某科技公司2026年第一季度月利润记录如下： 1 月 2 月 3 月 -15 万元 +20 万元 +27 万元 结合公司目标，需解决以下计算问题： 1. 计算该公司2026年第一季度的月平均利润是多少万元？ 2. 若计划在2027年将月均利润提升30%，则目标值需达到多少万元？ 如何运用有理数运算求解？ 1.7.2013 数学最终要应用于生活。来看一个公司绩效分析的案例。这里有一个表格，记录了某公司2026年第一季度每个月的利润，其中亏损记为负数。问题一，计算2026年的月平均利润。问题二，计算2027年要达到的目标月平均利润。大家想一想，这两个问题应该怎么用我们学过的有理数除法来解决呢？ ‹#› 模块六：易错辨析 有理数除法高频易错陷阱大盘点： 易错类型 典型错误示范 正确解题步骤 混淆运算顺序 −6 ÷ 2 × 3 = −1 −6 ÷ 2 × 3 = −9 符号判断失误 (−8) ÷ (−2) = −4 (−8) ÷ (−2) = 4 误用除法分配律 12 ÷ (1/2+1/3) = 60 12 ÷ (5/6) = 14.4 避坑锦囊与核心口诀： 同级运算从左算，符号法则记心间； 除零无意义要警惕，分配律除法不成立。 细心审题算符号，规范步骤少丢分！ 1.7.2013 最后，我们来总结一下有理数除法中最常见的几个“陷阱”。比如混淆运算顺序、符号判断失误、误用除法分配律、忽略0不能做除数、搞混乘方的符号等等。这些都是大家在计算时容易犯的错误。希望通过这个表格，大家能引以为戒，在以后的计算中更加细心，避免这些不必要的失分。 ‹#› 循理而行，来日再研 $