2.5 第1课时《有理数的乘法》课件2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数乘法法则，通过水库水位变化的生活情境导入，温故知新环节对比小学加法与有理数加法的联系与区别，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于以生活情境和合作探究为基础，通过观察算式归纳法则培养数学思维，结合巧算秘籍和生活应用提升运算能力与应用意识。例如用水位变化抽象算式归纳法则，出租车行程问题体现数学语言表达现实，帮助学生发展抽象能力和推理意识，为教师提供系统教学资源和多样化例题。

温故知新 2.有理数的加法与小学学的加法有什么联系与区别？ 小学的加法是有理数加法中的一种特例，即两个正数相加或正数与0相加． 与小学不同的是，有理数由符号与绝对值两部分组成，运算时先定符号，再定绝对值． 温故知新 你会算吗？ 1.（+2）+（+2）+（+2） 2.（-3）+（-3）+（-3）+（-3） 3.（-4）×（-3）=？ 温故知新 2.5.1 有理数的乘法与除法( 1 ) ——乘法法则 研究课题 （1）某水库水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天_________（填“高”或“低”） _______cm；3天前的水位比今天_________cm. 高 12 低12 情境引入 （2）如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天________cm； 3天前的水位比今天______cm. 低12 高12 我们用有理数的运算来研究上面的问题. 可以怎样列式？请完成表格，并与同学交流。 规定水位上升为正，下降为负；几天后为正，几天前为负. （1）某水库水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天_______（填“高”或“低”） ________cm.3天前的水位比今天_________cm. 第一天 第二天 第三天 今天水位 规定水位上升为正，下降为负；几天后为正，几天前为负. 高 12 低12 合作探究 （2）如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天_______cm；3天前的水位比今天______cm. 第一天 第二天 第三天 今天水位 规定水位上升为正，下降为负；几天后为正，几天前为负. 低12 高12 合作探究 写出表示1天后、2天后、1天前、2天前的水位变化的算式. （＋4）×（＋3）＝_____，（－ 4）×（－3）＝_____， （＋4）×（＋2）＝_____，（－ 4）×（－2）＝_____， （＋4）×（＋1）＝_____，（－4）×（－1）＝_____， （ － 4）×0 ＝ ________, （＋4） × 0 ＝ _____, （＋4）×（－1）＝_____， （－ 4）×（＋1）＝_____， （＋4）×（－2）＝_____， （－ 4）×（＋2）＝_____， （＋4）×（－3）＝_____． （－ 4）×（＋3）＝_____． 两个有理数相乘：(1)积的符号与因数的符号有什么关系？ (2)积的绝对值怎样确定？ 同号 异号 与0 观察归纳 水位每天上升4cm 水位每天下降4cm 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正；异号得负，并把绝对值相乘． 2. 0与任何数相乘，都得0． 注意：法则是针对两个有理数相乘而言的. 归纳小结 典型例题 例1 计算 （1）（-2）×（-7） （2）7×（） （3）（+2） （4）（-1）×0 1. ：看两个数是同号还是异号 2. ：确定积的符号 3. ：算积的绝对值 你能总结一下有理数乘法的运算一般步骤吗？ 归纳小结 定 看 算 例2.计算： （1）（-）××（-） （2）（-2）×6×（-4） （3）（-1）×（-2）×（-3）×4 （4）（-0.25）×（-2）×（-）×0.8 （5）（-2）×6×（-4）×0 两个负因数 三个负因数 归纳：几个不为0的有理数相乘，积的符号由_____________决定. 1.当负因数的个数是奇数时，积的符号为_____ 2.当负因数的个数是偶数时，积的符号为_____ 3.几个数相乘，有一个数为0时，积为_____ 负因数的个数 正 负 0 奇负偶正 有一个因数为0 变式练习 计算：（1）（-）××（-） （2）（-）×77×（-90）×0 （3）（-9）×9 （4 ）（-1）×1.25×（-3.2）× （-） （5） 1.若a<b<0<c<d,则abcd______0 拓展提升 2.如果四个互不相等的整数的积为9，那么这四个整数的和是_________. 拓展提升 3.计算： 1.回忆一下有理数乘法法则的探究过程？ 小结反思 2.有理数的乘法与小学学的乘法有什么联系与区别？ 小学的乘法是有理数乘法中的一种特例，即两个正数相乘或正数与0相乘． 与小学不同的是，有理数由符号与绝对值两部分组成，进行乘法运算时先定符号，再求绝对值。 小结反思 回顾反思 谈谈你这节课的收获与体会…… 4. a、b是什么有理数时，等式ab＝|ab|成立． 等式ab＝|ab|成立； 解：（1）当a、b同号时， （2）当a、b异号时， （3） 当a、b至少有一个数为0时， 等式ab＝|ab|不成立； 等式ab＝|ab|成立. ∴当a、b同号或a、b中至少有一个数为0时，等式ab＝|ab|成立 变式：a、b、c是什么有理数时，等式abc＝|abc|成立． 拓展提升 有理数的乘法 · 拔高小灶课 从“会算”到“巧算”，解锁数学思维新境界 1.7.2013 同学们好！欢迎来到有理数乘法的拔高小灶课。我们已经掌握了基本的乘法法则，但数学的魅力远不止于此。这节课，我们将一起探索如何从“会算”升级到“巧算”，解锁更多数学思维的新境界。准备好迎接挑战了吗？让我们开始吧！ ‹#› 有理数乘法进阶：五大核心模块深度解析 01 运算律巧算秘籍：深挖交换律、结合律与分配律的灵活运用，掌握简便计算的核心技巧，大幅提升运算速度与准确率。 02 符号判断火眼金睛：攻克多个有理数相乘的符号判定难题，突破含字母的符号推理，建立严谨的符号判断逻辑体系。 03 生活中的数学智慧：将乘法法则融入实际场景，解决温度变化、盈亏计算、行程问题等复杂生活难题，体会数学的实用价值。 04 概念融合终极挑战：结合绝对值、相反数、倒数等核心概念进行综合运算，打通知识脉络，强化综合解题与知识迁移能力。 05 思维拓展新大陆：解锁“找规律”与“定义新运算”等创新题型，跳出常规解题思维，培养数学探索精神与创新思维。 课程大纲 1.7.2013 本次小灶课将分为五个模块。首先，我们会学习如何巧妙运用运算律进行简便计算。接着，挑战更复杂的符号判断问题。然后，我们会将所学知识应用到实际生活中。之后，进行概念融合的终极挑战。最后，我们会一起探索找规律和定义新运算这两个有趣的思维拓展题型。 ‹#› 凑整与凑倒数 ▍核心思想：巧用乘法交换律与结合律，将容易计算的数优先结合，化繁为简。 ▍速记口诀：“好朋友，手拉手” —— 见0.125找8，遇分数找约分，凑整计算更轻松！ 例题 1：(-0.125) × (-20) × (-8) 解析：结合“好朋友”凑整 → [(-0.125) × (-8)] × (-20) = 1 × (-20) = -20 例题 2：(9/4) × (-2.3) × (8/9) 解析：交换位置先约分 → [(9/4) × (8/9)] × (-2.3) = 2 × (-2.3) = -4.6 巧算秘籍 1.7.2013 我们来看第一个巧算秘籍：凑整与凑倒数。核心思想就是利用乘法交换律和结合律，把容易计算的数先结合在一起。比如看到0.125就找8，看到分数就找能约分的伙伴。通过两个例题，我们可以看到，通过巧妙结合，复杂的计算变得非常简单。 ‹#› 秘籍二：分配律巧算 01 正向分配（去括号）：(7/9 - 5/6 + 3/4 - 7/18) × (-36) 解析：利用分配律消去分母，避免通分 → -28 + 30 - 27 + 14 =-11 02 逆向分配（提公因）：(-5)×(-7⅓) +7×(-7⅓) -(-12)×(-7⅓) 解析：提取公因数(-7⅓) → (-22/3) × [(-5)+7-12] =-308/3 正向：破括号 遇分母凑整，直接展开消分母 逆向：聚公因数 见重复因数，合并括号简化算 核心：凑整优先 💡 核心心法总结： 1. 正向去括号：针对括号外有“整十/整百”或分母倍数的数，直接分配消去分母。 2. 逆向提公因：当多个乘法算式相加/减且含相同因数时，提取后合并计算。 遇括则展，遇同则提 —— 分配律速算八字诀 1.7.2013 接下来是分配律的妙用。分配律不仅可以正向使用，去掉括号简化计算，更重要的是要学会逆向使用，也就是提取公因数。当看到多个乘法式子相加或相减，并且有共同的因数时，一定要想到逆向运用分配律，这会大大简化计算过程。 ‹#› 模块二：进阶挑战 01 例题精讲：判断两数符号 题目：若 a + b < 0，且 ab > 0，试判断 a 与 b 的符号？ 解析：① 由 ab > 0 可知，a、b 同号（同正或同负）；② 由 a+b < 0 排除同正可能，故必为同负。 结论：∴ a < 0，b < 0（两数均为负数） 02 例题精讲：判断乘积符号 题目：已知 a > b > c，且 a + b + c = 0，判断 ac 的符号。 解析：① 和为0说明必有正负数；② 由 a > b > c 知，最大数 a 为正，最小数 c 为负；③ 异号相乘结果为负。 结论：∴ ac < 0（乘积为负数） 1.7.2013 现在我们来挑战更高级的符号判断问题，特别是含有字母的情况。解决这类问题的关键是综合运用乘法法则和加法法则。比如例5，我们先通过乘法法则判断出a和b同号，再通过加法法则确定它们都是负数。例6则需要我们结合大小关系和和为0的条件，推理出a为正，c为负，从而判断ac的符号。 ‹#› 观察题目给出的所有条件，梳理乘法、加法、不等式等关键线索 依据法则定范围：用乘法判同/异号，结合加法与不等式定正负 综合各字母的正负性结论，完成最终的表达式符号判断 如何解决含字母的符号判断问题？ 归纳小结 定 看 判 1.7.2013 总结一下解决这类问题的思路。首先，要仔细观察题目给出的所有条件。然后，根据有理数的乘法法则、加法法则以及不等式的性质，一步步确定每个字母的正负性。最后，在明确了每个字母的符号后，再进行最终的判断。这个过程就像一个侦探破案，需要我们抽丝剥茧，找到关键线索。 ‹#› 模块三 · 生活中的数学智慧 例题精讲：出租车行程中的有理数运算 【题目背景】出租车司机小李下午行车里程（单位：km）依次为：+15, -3, +14, -11, +10, -18, +14（规定向东为正方向）。 问题 1：将最后一名乘客送到目的地时，小李距离出发点多远？在出发点的东边还是西边？ 【解答 1】(+15) + (-3) + (+14) + (-11) + (+10) + (-18) + (+14) = 21 (km)。即小李距出发点21 千米，在出发点的东边。 问题 2：若汽车耗油量为 0.15 升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 【解答 2】总路程 = |15| + |-3| + |14| + |-11| + |10| + |-18| + |14| = 85 (km)，总耗油量 = 85 × 0.15 =12.75 升。 【思维变式挑战】如果每行驶1千米的成本为1元，向东行驶每千米收入3元，向西行驶每千米收入2元。那么小李这天下午的利润是多少元？（利润计算公式：利润 = 总收入 - 总成本） 1.7.2013 数学来源于生活，也服务于生活。我们来看一个行程问题。第一问，求最终位置，用加法，结果的正负表示方向。第二问，求总耗油量，这与行驶的总路程有关，与方向无关，所以我们需要计算所有里程的绝对值之和。这个例子告诉我们，解决实际问题时，一定要理解每个量的实际意义。 ‹#› 模块三：思路总结 —— 解决实际问题的关键策略 01 位置判定问题 核心用有理数的加法求解，结果的正负号表示最终的方位方向，绝对值则对应实际的距离长度，是数形结合的基础应用。 02 路程与工作量计算 需计算各数的绝对值之和，因为路程是实际走过的路径总长度，工作量是任务完成的实际累加，与方向无关只看实际量。 03 成本与利润分析 重点在于拆解每个量的实际经济意义，将实际场景转化为加法、乘法等数学运算，结合实际语境判断运算逻辑与符号关系。 核心回顾 1.7.2013 总结一下解决实际问题的关键点。如果是求位置，我们用加法。如果是求总路程或总工作量，我们需要计算绝对值的和。而对于更复杂的成本或利润问题，则需要我们更深入地分析每个量的含义，将其转化为准确的数学表达式。 ‹#› 例题精讲 【题目】已知 a, b 互为相反数，c, d 互为倒数，x 的绝对值是 2。求代数式 (a+b)/x + x² - cd 的值。 【解析】1. 依据定义转化已知条件： • 互为相反数 ⇒ a + b = 0；互为倒数 ⇒ cd = 1；|x|=2 ⇒ x=±2，且 x²=4。 2. 分情况代入代数式计算： • 当 x=2 时，原式 = 0/2 + 4 - 1 = 3； • 当 x=-2 时，原式 = 0/(-2) + 4 - 1 = 3。 【结论】无论 x 取 2 还是 -2，该代数式的最终结果均为3。 1.7.2013 现在我们进入终极挑战，将相反数、倒数、绝对值这些概念与乘法结合起来。解决这类问题的黄金法则是“先化简，再求值”。我们先根据定义，把a+b、cd和x²的值求出来，然后再代入代数式。特别注意，如果遇到绝对值，可能需要分类讨论，但在这个例子中，两种情况的结果是一样的。 ‹#› 转化条件：据相反数、倒数、绝对值等，求出字母或式子的值 代入计算：将所得结果代入待求代数式进行化简与计算 分类讨论：遇绝对值等多解情况需分类，确保答案完整无遗漏 “先化简，再求值”的核心解题步骤梳理 模块四：思路总结 代 转 分 1.7.2013 我们再来强调一下“先化简，再求值”的步骤。第一步，转化，把题目中的文字描述转化为数学表达式。第二步，代入，将已知的值代入到要求的式子中。第三步，讨论，如果有多种可能情况，一定要分类讨论，不能遗漏。掌握这个方法，这类综合题就迎刃而解了。 ‹#› 典型例题 例题精讲 ：定义新运算 对于有理数 a, b，定义一种新运算规则：a⊕b = a×b - 2(b - a) - 5。请根据此规则，计算 (-2)⊕4 的值。 ▍ 思路与解析 1.明确对应关系：将算式 (-2)⊕4 与定义式 a⊕b 对比，确定 a = -2，b = 4。 2.严格代入公式：把数值替换进新运算公式中： (-2)⊕4 = (-2)×4 - 2×[4 - (-2)] - 5 3.遵循运算顺序：先算括号，再算乘法，最后算加减： 原式 = -8 - 2×6 - 5 = -8 - 12 - 5 = -25 1.7.2013 接下来，我们探索两个思维拓展的题型。首先是定义新运算。这类题目的关键是“照猫画虎”，题目会给一个全新的运算符号和规则，我们只需要严格按照这个规则，把数字准确代入，然后细心计算就可以了。它考察的是我们的阅读理解能力和运算能力。 ‹#› 拓展题型：找规律 例题精讲 ：裂项相消求和 【观察规律】：(-1) × 1/2 = -1 + 1/2；(-1/2) × 1/3 = -1/2 + 1/3 …… 【计算任务】：求 S = (-1)×(1/2) + (-1/2)×(1/3) + … + (-1/2026)×(1/2027) —— 解题解析 —— 1.规律展开：将每一项按“乘积转和差”规律拆分，中间项相互抵消。 原式 = (-1 + 1/2) + (-1/2 + 1/3) + … + (-1/2026 + 1/2027) 2.结果化简：消去中间项后，仅剩首项和末项，最终计算得： S = -1 + 1/2027 = -2026/2027 1.7.2013 另一个有趣的题型是找规律。解题的关键是通过观察，找出算式内在的模式。在这个例子中，我们发现了一个可以“裂项”的规律。将每一项展开后，神奇的事情发生了，中间的项可以相互抵消，最后只剩下首项和末项，大大简化了计算。这种“裂项相消”是非常重要的求和技巧。 ‹#› 课堂总结 今日收获：巧算三律与思维进阶 01 巧算三律 · 灵活破题 巧用交换律、结合律凑整约分，正反活用分配律，告别繁琐硬算，提升运算速度。 02 符号判断 · 精准分析 牢记“奇负偶正”法则，结合不等式性质与加法法则，快速理清复杂的符号逻辑。 03 概念融合 · 夯实基础 贯通相反数、倒数、绝对值的核心性质，掌握分类讨论思想，解决综合型概念题。 04 实际应用 · 学以致用 理解正负数的实际意义，将温度、海拔、盈亏等生活场景转化为数学运算模型。 05 思维拓展 · 探索规律 学会“照猫画虎”解决新定义运算，掌握“裂项相消”技巧，破解数列规律难题。 💡 核心心法：解题三步走——先观察特征，再思考策略，最后选择最优方法，拒绝盲目下笔！ 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天的收获。我们学习了运算律的巧算技巧，掌握了更高级的符号判断方法，学会了将数学应用于生活，挑战了概念融合的综合题，并探索了有趣的思维拓展题型。希望大家记住，解题的核心思想是先观察，再思考，选择最优的方法，而不是盲目地硬算。 ‹#› 课后巩固练习 01. 简便计算：-99 71/72 × 36 02. 符号判断：已知 abc > 0，且 a + b + c < 0，试判断 a、b、c 三个数中负数的个数。 03. 综合应用：某食品厂一周产量与计划对比记录为：+50, -15, -7, +10, -20, +35, -5（单位：袋）。若每袋利润2元，超额完成每袋额外奖0.5元，未完成每袋扣1元，求该厂本周的总利润。 04. 概念融合：已知 |a - 1| + |b + 2| = 0，求 (a + b)²⁰²⁶ 的值。 05. 定义新运算：规定 a⊗b = a×b + |a| - b，请分别计算 3⊗(-2) 与 (-2)⊗3，并比较两者的大小。 1.7.2013 最后，这里有几道课后巩固练习题，涵盖了我们今天学习的所有模块。请大家认真完成，检验一下自己的学习成果。通过练习，把今天学到的知识和技巧真正变成自己的能力。我们下节课再见！ ‹#› 循理而行，来日再研 $