2027届高三物理一轮复习讲义：第4讲 万有引力定律及应用

该高中物理高考复习教案聚焦万有引力定律及应用专题，涵盖开普勒三定律、万有引力定律理解与应用、天体质量和密度计算、卫星运行参量比较等高考核心考点，按“定律理解—应用方法—综合计算”的逻辑层次构建知识体系。通过基础自测诊断学情，考点梳理结合考向分析（如“挖补法”“黄金代换”），典例精讲与真题训练（含2025-2026年地方卷例题），帮助学生系统突破难点。 教案以科学思维和模型建构为导向，创新设计“挖补法”处理非完整球体引力、开普勒第三定律估算轨道半径等专题突破策略，通过例题解析构建“天体运动模型”。设置A级基础、B级综合、C级拔尖三层练习，匹配不同学生需求，配合即时反馈机制，有效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4讲　万有引力定律及应用 学习目标 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。 2.掌握天体质量和密度的计算方法。 3.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。 1. 2. 基础自测 1.(人教版必修第二册P58T4改编)地球公转轨道接近圆，但哈雷彗星运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图为地球与哈雷彗星绕日运动的示意图。设哈雷彗星运动轨道近日点和远日点与太阳中心的距离分别为r1和r2，则以下说法正确的是(　　) A.哈雷彗星在近日点的加速度小于地球的加速度 B.哈雷彗星在近日点的线速度比在远日点的线速度小 C.地球与太阳的连线和哈雷彗星与太阳的连线在任意相等时间内扫过的面积相等 D.哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比a1∶a2=∶ 答案　D 2.(人教版必修第二册P71T4改编)地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间。当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为(　　) A.1∶9　 B.9∶1　 C.1∶81　 D.81∶1 答案　B 考点一　开普勒三定律的理解和应用 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2，则v1·Δt·r1=v2·Δt·r2，解得=，即行星在两个位置的速度之比与到太阳中心的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3.开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，则该定律只能用在绕同一中心天体运动的两星体之间。 注意:开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 例1 (2026·江苏苏州期中)地球绕太阳的公转轨道是一个接近正圆的椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。如图所示，S1、S2是地球公转轨道的两个焦点，甲和乙位置为短轴和轨道的交点。由于地球公转速度大小不是恒定的，地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半。下列说法正确的是(　　) A.太阳的位置在焦点S1处 B.甲位置时地球的公转速度为全年最大 C.夏至时地球的公转速度比冬至时小 D.地球和太阳的连线在相等时间内在夏至附近扫过的面积更大 答案　C 解析　由于地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半，所以该过程的平均速度较小，可知夏至时地球在远日点，故太阳的位置在焦点S2处，在冬至时地球的公转速度为全年最大，在夏至时地球的公转速度为全年最小，故A、B错误，C正确;由开普勒第二定律可知，地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故D错误。 例2 (2025·云南卷，5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　) 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半 径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A.金星与地球的公转轨道之间 B.地球与火星的公转轨道之间 C.火星与木星的公转轨道之间 D.天王星与海王星的公转轨道之间 答案　C 解析　由开普勒第三定律有=，解得R行=R地≈3.2 AU，结合题表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。 考点二　万有引力定律的理解及应用 考向　“挖补法”求解万有引力 例3 (2026·江苏南通开学考试)如图所示，在半径为R、质量均匀分布的球体中挖去直径为R的球体，虚线过两球的球心，一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为F1、F2、F3，则有(　　) A.F1<F2=F3 B.F1<F2<F3 C.F1=F2=F3 D.F1=F2<F3 答案　D 解析　 设球体的密度为ρ，则未挖去小球体前的质量为M=ρ·πR3，被挖去的小球体质量为M'=ρ·π()3=M。设质点的质量为m，根据万有引力定律可得F1=G-G=，F3=G-G=，采用填补法可知，剩余部分对位于2时质点的万有引力大小等于挖掉的部分对位于2时质点的万有引力大小，即F2=G=G，则有F1=F2<F3，故D正确。 考向　万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道处:G=mg1+mω2R。 (2)在两极处:G=mg0。 (3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G=mg。 例4 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，在赤道处的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　　) A.2π B.π C.4π D.2π 答案　D 解析　两极处有G=mg0，赤道处有G=mg+mR，联立解得T=2π，故D正确。 考向　地球上空重力加速度的求解 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=G，可得g=。 (2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':mg'=G，可得g'=，所以=。 例5 在电影《流浪地球2》里，人类在赤道某地修建了一座太空电梯，电梯轿厢能将人、货物竖直送达太空(如图)。轿厢在地面静止时，搭载的植物种子重25 N，当轿厢达到一某高度时，轿厢处于匀速运动状态，种子的重力“变成”了16 N。已知地球半径为R，不考虑地球的自转，则此时太空电梯的轿厢距地面的高度为(　　) A.2R B. C. D. 答案　C 解析　由于忽略地球的自转，则在地球表面附近有G=mg，解得地球表面的重力加速度g=，太空电梯的轿厢处有G=mg'，解得太空电梯的轿厢处的重力加速度g'=，又mg=25 N，mg'=16 N，联立解得h=，故C正确。 考向　星体内部重力加速度的求解 (1)在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。 (2)在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F=G。 例6 (2025·江苏南通模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　) 答案　D 解析　设地球的质量为M，半径为R，“海斗一号”下潜h深度时，以地心为球心、以R-h为半径的地球的质量为M'，则根据密度相等有=;由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G=mg，联立可得g=-h，故D正确。 考点三　天体质量与密度的计算 考向　利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 例7 为了测定一未知星球的质量，在星球表面做了一个实验，离其表面h高以水平速度v0抛出一小球，小球落到星球表面的水平位移为x。已知星球半径为R，引力常量为G，不考虑星球自转和稀薄气体的影响。 (1)求未知星球表面的重力加速度g星; (2)求未知星球的质量M; (3)已知未知星球绕太阳转动的轨道半长轴为a，地球绕太阳公转的半径为r，求该星球绕太阳公转周期与地球绕太阳公转周期的倍数。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)小球做平抛运动，则有h=g星t2，x=v0t 联立可得g星=。 (2)忽略星球的自转，则有G=mg星 可得M==。 (3)由开普勒第三定律有= 可得=。 考向　利用运行天体(以已知周期为例) 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr得M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕中心天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例8 近地卫星P绕地球做匀速圆周运动，经观测发现，卫星P经过时间t转过的角度为θ。已知引力常量为G，则地球的平均密度为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　近地卫星做匀速圆周运动的角速度为ω=，万有引力提供向心力有G=mω2R，地球的密度为ρ=，联立解得ρ=，A正确。 估算天体质量和密度的“四点”注意 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕中心天体运动的天体质量。 (2)区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在中心天体表面附近的卫星，才有r≈R;计算天体密度时，V=πR3中的“R”指的是中心天体的半径。 (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天或1年等。 (4)注意黄金代换式Gm中心=gR2的应用。 A级　基础对点练 对点练1　开普勒三定律的理解和应用 1.如图所示，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB;C为绕地球沿圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC。下列说法或关系式正确的是(　　) A.地球位于卫星B轨道的一个焦点上，位于卫星C轨道的圆心上 B.卫星B和卫星C运动的速度大小均不变 C.=，该比值的大小与地球和卫星有关 D.≠，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关 答案　A 解析　由开普勒第一定律可知，地球位于卫星B轨道的一个焦点上，位于卫星C轨道的圆心上，A正确;由开普勒第二定律可知，卫星B绕地球转动时速度大小在不断变化，卫星C运动的速度大小不变，B错误;由开普勒第三定律可知==k，比值的大小仅与中心天体即地球的质量有关，C、D错误。 2.假如从某天开始地球加速绕太阳沿椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R(R为加速前地球绕太阳做圆周运动时与太阳间的距离)，地球距太阳的最远距离为7R，则地球的公转周期变为(　　) A.2年 B.4年 C.6年 D.8年 答案　D 解析　地球加速绕太阳沿椭圆轨道运动的半长轴a==4R，根据开普勒第三定律有=，其中，地球做圆周运动时的周期T0=1年，可得地球的公转周期变为T=8年，故D正确。 对点练2　万有引力定律的理解及应用 3.(2024·广西卷，1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　) A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 答案　A 解析　根据万有引力公式F=G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故A正确。 4.(2026·江苏泰州期中)2024年6月，嫦娥六号实现世界首次月球背面自动采样返回，采回样品质量1 935.3 g。已知月球和地球的质量之比为a，半径之比为b，所采样品在月球与在地球上的重力之比为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由万有引力等于重力有G=mg，解得星球表面的重力加速度为g=，则月球与地球的表面的重力加速度之比为=，由G=mg可知，所采样品在月球与在地球上的重力之比为，故D正确。 5.(2026·江苏苏州期中)中国天眼发现距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为(　　) A. B. C. D.g 答案　A 解析　设该星球的质量为M，半径为R，置于该星球表面物体的质量为m，物体在A位置有G=mg，物体在D位置有G=m+mω2R，物体在E位置有an=ω2Rcos 60°，联立解得E位置的向心加速度an=g，故A正确。 对点练3　天体质量与密度的计算 6.(2024·海南卷，6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　 ρ=，故D正确。 7.(2025·安徽卷，9改编)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　) A.r= B.r= C.M= D.M= 答案　C 解析　根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r=a+b+2R，解得r=，A、B错误;对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G=mr，解得M=，C正确，D错误。 B级　综合提升练 8.(2025·广东卷，5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　) A.公转周期约为6年 B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 答案　D 解析　由题意可知，该小行星轨道的半长轴为a小行星==6r地，由开普勒第三定律有=，解得T小行星=T地≈14.7年，A错误;从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律F=G可知，该小行星所受太阳引力大小逐渐增大，B错误;由开普勒第二定律可知，行星在近日点时速度最大、在远日点时速度最小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小逐渐增大，C错误;由牛顿第二定律有G=ma，可得a=，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5倍，故该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，D正确。 9.(2025·河南卷，3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为(　　) A.13天 B.27天 C.64天 D.128天 答案　A 解析　由G=mr→T=2π==，则TG=×365天≈13天，A正确。 10.假设月球是半径为R、质量分布均匀的球体，距离月球中心为r处的重力加速度g与r的关系如图所示。已知引力常量为G，月球表面的重力加速度大小为g0，由上述信息可知(　　) A.距离月心处的重力加速度为 B.月球的质量为 C.月球的平均密度为 D.以上均不正确 答案　A 解析　由题图可知，离月心的距离r=，故A正确，D错误;在月球表面万有引力等于重力，则有G=mg0，解得月球的质量M=，故B错误;月球的平均密度为ρ===，故C错误。 11.由于地球自转的影响，在地球表面不同地方，物体的重力会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧测力计称量一个相对于地面静止的小物体的重力，在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F1;在赤道地面称量时，弹簧测力计的读数是F2。求: (1)在赤道地面，小物体随地球自转的向心力大小F(可以直接写结果); (2)在纬度为45°的地面称量时，弹簧测力计的读数F3。 答案　(1)F1-F2　(2) 解析　(1)设地球质量为M，半径为R，地球自转角速度为ω，小物体的质量为m，在地球北极地面时有G=mg1，F1=mg1 在赤道地面时有G=mg2+F，F2=mg2 联立可得在赤道地面，小物体随地球自转的向心力大小为F=F1-F2。 (2)在纬度为45°的地面称量时，小物体所需向心力大小为F'=mω2Rcos 45° 又F=mω2R 可得F'=F 根据几何关系可知此时弹簧测力计的读数为 =(mg3)2=(G)2+F'2-2G·F'cos 45° 联立可得F3=。 C级　拔尖进阶练 12.在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角θ极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ的物体宽度为d。已知地球公转周期为T，引力常量为G，θ极小时sin θ≈tan θ。则太阳密度ρ可表示为(　　) A.()3 B.()3 C.()3 D.()3 答案　D 解析　设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有G=m()2r，太阳密度ρ=，由几何关系有=，联立可得ρ=()3，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $