第17讲 万有引力定律及应用（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理讲义聚焦万有引力定律及应用高考核心考点，涵盖开普勒三定律、万有引力公式、黄金代换、天体质量与密度计算等内容，按“定律理解-公式应用-模型建构”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破椭圆轨道分析、重力加速度比较等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料突出科学思维与模型建构，如将椭圆轨道抽象为匀速圆周运动模型，推导“高轨低速长周期”规律培养科学推理能力。结合嫦娥探月等航天背景设计典例，渗透科学态度与责任。设置基础巩固与综合提升分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏提供支撑，助力学生提升应考能力。

第17讲万有引力定律及应用 目录 1 4 考点一开普勒三定律的理解和应用 4 考向1：开普勒第一定律与开普勒第二定律 4 考向2：开普勒第三定律 5 考点二万有引力定律 8 考向1：万有引力定律的理解及简单应用 8 考向2：补偿法求万有引力 9 考向3：万有引力与重力的关系 10 考向4：星体表面及上空或星体内部的重力加速度 10 考点三天体质量及密度的计算 14 考向1：利用重力加速度计算天体质量和密度 14 考向2：利用环绕法计算天体质量和密度 15 19 基础巩固练 19 综合提升练 28 核心考点 1.开普勒行星运动定律： 第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。近地点速度大，远地点速度小。 第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等（a³/T²=k，k只与中心天体质量有关）。 2.万有引力定律： 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比（F=Gm₁m₂/r²）。 适用条件：质点间、或两个质量分布均匀的球体间（r为球心距）。 3.万有引力与重力的关系： 在地球表面：GMm/R²=mg（黄金代换式GM=gR²），近似认为重力等于万有引力（忽略地球自转）。 在距地面高h处：重力加速度g'=gR²/(R+h)²。 4.天体质量和密度的估算： 利用“环绕法”（GMm/r²=m·4π²r/T²）：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r，可求中心天体质量M=4π²r³/GT²。 利用“表面法”（黄金代换GM=gR²）：测出中心天体的半径R和表面的重力加速度g，可求质量M=gR²/G，密度ρ=3g/4πGR。 考情透析 1.题型与难度：以选择题为主，有时作为计算题的第一小问，难度基础→中档，属高考必考内容（常出现在选择题的中间位置）。 2.命题规律： 常以我国航天的最新成就（如嫦娥探月、天问一号、天宫空间站、北斗导航）为背景，考查万有引力定律的应用，体现科技与物理的融合。 常结合开普勒定律，考查椭圆轨道上行星/卫星速度、加速度的比较，以及周期定律的应用。 常以黑洞、双星、行星冲日等新颖题材，考查万有引力与圆周运动的综合。 3.考查方向：侧重开普勒定律的理解与定量计算、万有引力定律公式的灵活应用、中心天体质量与密度的估算方法、卫星运行参数的比较（速度、周期、加速度、机械能）、黄金代换式的应用。 素养对接 1.模型建构：将“行星绕恒星”、“卫星绕行星”的椭圆轨道近似为匀速圆周运动模型，忽略次要因素（如行星间引力、轨道摄动），培养理想化建模能力。 2.科学推理：基于万有引力提供向心力（F万=F向），推导出v、ω、T、a与轨道半径r的关系，培养从核心公式推导结论的逻辑推理能力。 3.归纳法：通过分析多个天体系统的轨道路径、速度、周期等，总结出开普勒三定律，体现了通过大量事实归纳物理规律的科学方法。 4.守恒与对称思想：理解开普勒第二定律（面积定律）本质是角动量守恒的体现；理解轨道上引力做功与机械能守恒的关系。 学习目标 1.知识目标： 能准确说出开普勒三定律的核心内容和数学表达式。 能写出万有引力定律的公式F=Gm₁m₂/r²及适用条件。 能写出黄金代换式GM=gR²及其推导过程。 能说出利用“环绕法”和“表面法”估算中心天体质量和密度的表达式。 2.能力目标： 公式运用能力：能熟练运用GMm/r²=mv²/r=mω²r=m·4π²r/T²=ma及GM=gR²解决天体运动问题。 比较分析能力：能根据轨道半径r的大小，判断卫星/行星的v、ω、T、a的大小关系（“高轨低速长周期”）。 估算建模能力：能将天体（如行星、黑洞）的运动抽象为匀速圆周运动，并建立万有引力完全提供向心力的动力学方程进行求解。 数据处理能力：能根据题干给出的条件（如T、r、g、R等），正确选择公式组，进行质量和密度的计算。 备考建议 1.记牢“高轨低速长周期”口诀： 内容：卫星（或行星）的轨道半径r越大，其运行速度v越小，角速度ω越小，加速度a越小，周期T越大。该口诀可解决大量比较类选择题。 推导：要求能从GMm/r²=mv²/r中独立推导出v=√(GM/r)，并判断出单调性。 2.务必掌握“黄金代换”和“环绕法”： 黄金代换GM=gR²：核心在“表面”二字，只有在天体表面或近地面时，重力才近似等于万有引力。广泛应用于求天体的质量、密度。 环绕法GMm/r²=m·4π²r/T²：直接用于求中心天体的质量M。注意：不能求环绕天体的质量。 3.攻克开普勒定律的常考题型： 第二定律（面积定律）：主要用来比较椭圆轨道不同位置的速率——近日点快，远日点慢。 第三定律（周期定律）：a³/T²=k，常考比较不同轨道（如椭圆、圆）的周期，核心是找半长轴a（圆轨道时a=r）。 4.巧用“重力加速度”作为桥梁： 当问题同时涉及地面和天空中不同位置的重力加速度时，常通过两个关系式建立联系： 地面处：GMm/R²=mg。 高空某处（距地心r）：GMm/r²=mg'。 联立可得g'/g=R²/r²。 5.重视图像与易错点： 图像：v-r图像（单曲线递减）、ω-r图像（单曲线递减）、T-r图像（T²∝r³的抛物线），能识别出对应的表达式。 易错点： 混淆“环绕天体”和“中心天体”的质量（T只与中心天体质量有关）。 混淆“轨道半径”与“天体半径”（估算密度公式中r为轨道半径，而R为天体半径）。 误以为第一宇宙速度是“发射卫星的最大速度”（实际是“最小发射速度，最大环绕速度”）。 考点一开普勒三定律的理解和应用 【必备知识回顾】 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 【重难模型精讲】 考向1：开普勒第一定律与开普勒第二定律 【典例1】（多选）（2026·海南海口·模拟预测）下列有关开普勒提出的行星运动定律的叙述正确的是（） A．行星绕太阳运动的周期与轨道半长轴成正比 B．开普勒第三定律只适用于太阳系行星围绕太阳的运动 C．太阳位于行星椭圆轨道的一个焦点上 D．行星近日点的运行速度大于它在远日点的运行速度 【答案】CD 【解析】A．根据开普勒第三定律（与中心天体有关的常量），行星运动周期的平方与轨道半长轴的三次方成正比，并非周期与半长轴成正比，故A错误； B．开普勒第三定律不仅适用于太阳系行星绕太阳的运动，也适用于其他天体系统（如卫星绕行星运动、其他恒星系的行星运动），故B错误； C．开普勒第一定律指出：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在行星椭圆轨道的一个焦点上，故C正确； D．根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，近日点行星到太阳的距离更小，因此运行速度更大，远日点运行速度更小，故D正确。 故选CD。 考向2：开普勒第三定律 【典例2】（2026·四川·模拟预测）如图所示，我国某环境监测卫星沿椭圆轨道绕地球运行，下列说法正确的是（　　） A．该卫星近地点的速度小于远地点速度 B．该卫星近地点加速度大于远地点加速度 C．该卫星周期小于与近地点高度相同的圆轨道卫星的周期 D．该卫星远地点的运行速度大于与远地点高度相同的圆轨道卫星速度 【答案】B 【解析】A．根据开普勒第二定律，卫星与地球的连线在相等时间内扫过相等面积。近地点距地心近，相同时间内运动弧长必须大，因此近地点速度大于远地点速度，故A错误； B．根据牛顿第二定律 可得 故加速度大小仅与到地心的距离有关。近地点小，故加速度大；远地点大，故加速度小，故B正确； C．设近地点到地心距离为，则椭圆轨道的半长轴。由开普勒第三定律，因，故，故C错误； D．若卫星做圆周运动，所需向心力恰好等于万有引力，由 可得速度 卫星椭圆轨道远地点两侧的轨迹到地心的距离，小于圆轨道上该点两侧轨迹到地心的距离，若卫星在远地点速度，则卫星接下来会运动到比周围两侧更高的圆轨道上，故该卫星远地点的运行速度要小于与远地点高度相同的圆轨道卫星速度，才能继续待在椭圆轨道，故D错误； 故选B。 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·北京丰台·二模）如图所示为某彗星绕太阳转动的椭圆轨道示意图。a、b分别为彗星绕太阳运行的近日点和远日点，c、d为椭圆短轴与轨道的交点，彗星先后经过a、d、b、c、a，下列说法正确的是（　　） A．彗星在近日点的速度比远日点的速度小 B．彗星在近日点的加速度比远日点的加速度小 C．从d运行到b的过程中，太阳对彗星的万有引力对彗星一直做负功 D．彗星从a运行到d的时间等于从d运行到b的时间 【答案】C 【解析】A．根据开普勒第二定律（面积定律），彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。近日点距离太阳更近，为了保持面积相等，彗星在近日点的线速度必须更大，远日点距离太阳更远，线速度更小。因此，彗星在近日点的速度比远日点的速度大，A错误。 B．彗星的加速度由万有引力提供，根据牛顿第二定律 近日点到太阳的距离更小，因此加速度更大；远日点距离更大，加速度更小。因此，彗星在近日点的加速度比远日点的加速度大，B错误。 C．从运行到的过程中，彗星与太阳的距离逐渐增大，万有引力的方向与彗星的速度方向夹角大于，根据功的定义式 ，所以万有引力对彗星一直做负功。C正确。 D．彗星从运行到时，距离太阳更近，根据开普勒第二定律，平均速度更大；从运行到时，距离太阳更远，平均速度更小。两段轨道的弧长相近，但平均速度不同，因此时间不相等，D错误。 故选C。 【变式2】（2026·河北衡水·二模）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的4倍和6倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 B．公转周期约为地球公转周期的5倍 C．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 D．从近日点到远日点线速度大小逐渐增大 【答案】C 【解析】A．从远日点到近日点，小行星与太阳的距离r逐渐减小，由万有引力公式可知，引力逐渐增大，A错误。 D．根据开普勒第二定律，小行星从近日点到远日点过程中，线速度大小逐渐减小，D错误。 B．小行星轨道的半长轴为 由开普勒第三定律得 解得，B错误。 C．由万有引力提供向心力有 解得 近日点r＝4R，则，C正确。 故选C。 【变式3】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，质量为m的卫星围绕地球做椭圆运动，近地点A、远地点B到地心的距离之比为1:4，卫星在近地点A到地心的距离为d，已知卫星在地球周围的引力势能（M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星到地心的距离，G为引力常量）。则卫星运动到远地点B时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设卫星在A点的速度为v1，B点的速度为。根据开普勒面积定律有 且 卫星在A、B两点机械能守恒，则有 联立解得 故选A。 【方法规律】 1．远近点的速度关系：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。 3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。 考点二万有引力定律 【必备知识回顾】 万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11N·m2/kg2。 (3)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 (4)万有引力定律在天体上的应用 ①基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 ②应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 【重难模型精讲】 考向1：万有引力定律的理解及简单应用 【典例3】（2026·新疆·三模）牛顿用月-地检验来验证万有引力中引力与距离的二次方成反比的正确性。当时已知地球半径，地面物体由引力产生的加速度，月球公转周期，地月距离。下面是月-地检验的重要步骤。 ①求出 ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 符合逻辑的月-地检验的顺序是（　　） A．①②③④⑤ B．②①③④⑤ C．②③①④⑤ D．①③②④⑤ 【答案】C 【解析】月地检验的核心逻辑是“提出假设→推导理论值→实际观测计算实际值→比较验证”，步骤如下： ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ①求出 ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 故符合逻辑的月-地检验的顺序是②③①④⑤。 故选C。 考向2：补偿法求万有引力 【典例4】（2025·河北保定·期末）如图所示，一质量分布均匀的球体，半径为R，现从其内部挖出一半径为的小球体，放置于原球体右侧位置，已知、、在一条直线上，且、相距2R，引力常量为G，挖出的小球体质量为m。则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知被挖出的小球体的体积为原球体的，质量也为原球体的，则原球体质量为8m。根据割补法可知，没挖之前球对质点的引力减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力，则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为 故B正确，A、C、D错误。故选B。 考向3：万有引力与重力的关系 【典例5】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为，若在地下存在一半径为的球形的矿坑，则点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，矿坑的中心离点的距离为，点、点与地球球心共线。定义为“重力加速度反常值”，已知当时，测得“重力加速度反常值”为，忽略地球自转，下列说法正确的是（　　） A．，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A．原本地下全为密度的岩石，P点重力加速度为；当球形区域换为密度的矿物，相当于总引力的变化仅来自这个小球的密度差：小球体积，小球对P点物体的引力差导致重力加速度变化，由万有引力定律可得 根据定义，代入得 为正的常数，与成正比。若，则，得，故A错误； B．由之前分析，若，则，得，故B正确； C．当时， 得 若，，故C错误； D．由之前分析，若，，故D正确。 故选BD。 考向4：星体表面、上空及星体内部的重力加速度 【典例6】（2026高三上·辽宁·期末）在一个质量为、半径为的均匀实心球体内部，距球心处有一个质点，其受到的万有引力为。另一个质量为、半径为的均匀实心球体，现将其内部同心挖去一个半径为的球体，剩余部分对于球体外表面的质点产生的万有引力为，已知质点的质量相等，均匀球壳内部的物体受到球壳的万有引力为零，空心球对外部的万有引力等于质量集中于球心产生的万有引力。则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】质点位于球心内处，受到的万有引力仅由半径为的球体部分提供（球壳对内部引力为零）。该部分质量 。 挖去半径为的球体后，剩余质量 。 联立可得。 故选A。 【变式训练与拓展】 【变式4】（2026·广西崇左·二模）巨蟹座55（类太阳恒星系统）中，主星巨蟹座55A是一颗超富金属恒星，质量为M。巨蟹座55e为55A的一颗行星，55e的质量为m，半径为R，自转周期为T1，55e绕55A运行的轨道半径为r，公转周期为T2。引力常量为G，则55e绕55A做匀速圆周运动时，所需的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB．55e绕55A做匀速圆周运动的向心力由二者间的万有引力提供，则 其中r为公转轨道半径，故A正确，B错误； CD．公转运动的向心力周期公式为，故CD错误。 故选A。 【变式5】（2026·云南昆明·期中）假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，地表重力加速度为，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图所示，若在地球内部以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则小球在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设地球总质量为，对地表物体，因万有引力等于重力有 可得 地球密度均匀，因此 根据题意，均匀球壳对内部物体引力为零，小球在半径的隧道内做圆周运动，只有半径以内的球体对小球有引力作用，该部分球体质量 万有引力提供小球做匀速圆周运动的向心力 整理得 代入、 解得 故选D。 【变式6】（2026·吉林长春·模拟预测）已知地球质量为，月球质量为，引力常量为。将月球绕地球的运动看成匀速圆周运动，且月球与地球两球心之间的距离为。 (1)求月球绕地球公转的线速度的大小； (2)在牛顿的时代，已经能够比较精确地测定：月球与地球两球心之间的距离（）约为地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期，地球表面的重力加速度取。请通过计算推理说明“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律（可取，忽略天体的自转及空气阻力的影响）。 【答案】(1) (2)误差允许范围内，说明两者遵从相同的规律 【解析】（1）对月球：万有引力提供向心力有 解得月球绕地球公转的线速度大小 （2）假设两种力都遵从万有引力定律，则对地表的苹果来说，有 对月球来说，有 由以上两式可得 接下来分析实际情况：地表的苹果有 月球绕地球做匀速圆周运动，其向心加速度 代入题给数据，， 计算得， 故在误差允许范围内，由于理论比值与实际比值近似相等，说明使月球绕地球运动的力与使苹果落地的力遵从相同的规律。 【方法规律】 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面及上空的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。 3．两个推论 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 考点三天体质量及密度的计算 【必备知识回顾】 1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R——“自力更生法” (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用绕行天体的周期和轨道半径——“环绕法” (1)由G＝mr，得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见只要测出在天体表面附近的卫星环绕天体运动的周期T，就可估算出天体的密度。 【重难模型精讲】 考向1：利用重力加速度计算天体质量和密度 【典例7】（2026·安徽亳州·模拟预测）2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船被长征二号F遥二十一运载火箭成功送入太空，11月1日3时22分，神舟二十一号成功相会“天宫”（空间站天和核心舱），天和核心舱距离地面约，地球北极的重力加速度为g，地球赤道表面的重力加速度为，地球自转的周期为T，引力常量为G。天和核心舱轨道为正圆，地球为球体。根据题目的已知条件，下列说法错误的是（　　） A．可以求出地球的半径 B．天和核心舱在轨运行的线速度大于第一宇宙速度 C．可以求出天和核心舱的周期 D．可以求出地球质量 【答案】B 【解析】A．在地球北极，万有引力完全等于重力，得 在赤道处，万有引力分解为重力和地球自转的向心力 化简得 可解得地球半径，故A正确； B．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，由环绕速度公式可知：轨道半径越大，线速度越小。天和核心舱轨道半径，因此它的线速度小于第一宇宙速度，故B错误； C．对天和核心舱，万有引力提供圆周运动向心力 整理得，代入，均已知，因此可以求出核心舱的周期，故C正确； D．由得地球质量，已求出，已知，因此可以求出地球质量，故D正确。 本题选择错误选项，故选B。 考向2：利用环绕法计算天体质量和密度 【典例8】（2026·河南新乡·模拟预测）2026年3月30日，中科宇航力箭二号遥一运载火箭在东风商业航天创新试验区成功发射，将新征程01卫星、新征程02卫星和天视卫星01星送入预定轨道，发射任务取得成功。若某卫星在半径为r的圆轨道上以周期T绕地球运行，已知引力常量为G，地球半径为R，则（） A．该卫星的发射速度大于11.2km/s B．该卫星做圆周运动的速度可能大于7.9km/s C．地球的质量为 D．地球的密度为 【答案】C 【解析】A．11.2km/s是第二宇宙速度，是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，该卫星仍绕地球运行，发射速度应小于11.2km/s，故A错误； B．7.9km/s是第一宇宙速度，是地球卫星做圆轨道运动的最大环绕速度，由万有引力提供向心力有 可解得 所以轨道半径越大，线速度越小，该卫星轨道半径，运行速度不大于7.9km/s，故B错误； C．卫星做圆周运动万有引力提供向心力，有 整理得地球质量，故C正确； D．地球体积为 地球密度 仅当（近地卫星）时密度才为，本题，故D错误。 故选C。 【变式训练与拓展】 【变式7】（2026·北京朝阳·二模）月球环绕地球的运动可近似为匀速圆周运动。已知引力常量为G，以下数据能够计算地球质量的是（　　） A．月球绕地球运动的周期和线速度 B．月球绕地球运动的周期和角速度 C．月球绕地球运动的线速度和月球质量 D．月球绕地球运动的线速度和地球半径 【答案】A 【解析】A．若已知月球绕地球运动的周期和线速度，则由万有引力提供向心力有 又因为 联立解得地球的质量为 即若已知月球绕地球运动的周期和线速度，可直接计算地球的质量，故A正确； B．若已知月球绕地球运动的周期和角速度，则由万有引力提供向心力有 由于周期和角速度的关系满足，二者为相关量，仅能提供1个独立物理量，代入上式后，无法求出月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径，所以无法求解地球的质量，故B错误； C．若已知月球绕地球运动的线速度和月球质量，则由万有引力提供向心力有 由于月球质量在上式中可以约去，属于无关量，由于仅知道线速度时轨道半径未知，所以无法求解地球的质量，故C错误； D．若已知月球绕地球运动的线速度和地球半径，则由万有引力提供向心力有 由于上式中是月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径，与地球半径无关，所以未知，无法求解地球的质量，故D错误。 故选A。 【变式8】（2026·北京西城·二模）火星具有诸多与地球相似的特征，例如存在昼夜交替与四季更迭，这使其理论上具备成为人类宜居星球的潜在条件。已知，火星的公转轨道半径约为地球的1.5倍，火星的半径约为地球的，火星的质量约为地球的，火星的自转周期、自转轴倾角均与地球相近，由此可推测（　　） A．火星上的一年约为地球的1.5倍 B．火星表面的重力加速度约为地球的 C．火星表面接收到的太阳辐射功率约为地球的 D．若星球上的温度仅受太阳辐射的影响，当太阳辐射功率增大为现在的2.25倍时，火星可以达到适合人类居住的温度 【答案】D 【解析】A．根据开普勒第三定律，绕太阳公转的天体满足 因此，火星年约为地球的1.84倍，故A错误； B．根据牛顿第二定律 可得星球表面重力加速度满足 因此 火星表面重力加速度约为地球的，故B错误； C．太阳辐射为球面波，单位面积接收功率 和公转轨道半径平方成反比，因此 火星接收的太阳辐射功率约为地球的，故C错误； D．星球热平衡时吸收的太阳辐射功率等于自身热辐射功率，温度由接收的太阳辐射功率决定。当太阳总辐射功率增大为现在的2.25倍时，火星处的太阳辐射功率 和地球现在接收的太阳辐射功率相同，热平衡温度与地球相近，适合人类居住，故D正确。 故选D。 【变式9】（2026·浙江·二模）如图所示，“土卫六”是土星系统中最大的卫星，若土星是一个球体，“土卫六”做匀速圆周运动，已知引力常量，利用“土卫六”测量土星的平均密度，需要测得（） A．围绕土星的公转周期和土星半径 B．围绕土星的轨道半径和土星的自转周期 C．围绕土星的公转周期和轨道半径，土星半径 D．围绕土星的轨道半径，土星的自转周期和半径 【答案】C 【解析】“土卫六”绕土星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 又 解得 可知需要测得围绕土星的公转周期和轨道半径，土星半径。 故选C。 【变式10】（2026·黑龙江辽宁·期末）据国家航天局消息，科研团队根据“祝融号”火星车发回遥测信号确认，5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。天问一号靠近火星时，被火星引力捕获后绕火星做近似圆周运动，周期为T，轨道半径近似等于火星半径R，已知万有引力常量为G。求： (1)火星的平均密度； (2)离火星表面距离为R处的重力加速度g0。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设卫星质量为m，火星质量为M，对卫星 解得 则火星密度 得火星密度 （2）设离火星表面距离为R处的物体质量为m'，由 解得 【方法规律】 估算天体质量和密度的四点注意 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h，公转周期为365天等。 (4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 基础巩固练 1．（2026·江苏连云港·阶段检测）下列说法中正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量 B．由可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．开普勒总结出了太阳系中行星运动的规律 D．天王星被人们称为“笔尖下发现的行星” 【答案】C 【解析】A．牛顿发现了万有引力定律，但引力常量是卡文迪许通过扭秤实验测得的，故A错误； B．万有引力公式仅适用于质点或均匀球体，当r趋近于零时，物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，无法得出万有引力趋近于无穷大的结论，故B错误； C．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，总结出了太阳系行星运动的三大定律，正确描述了太阳系行星的运动规律，故C正确； D．被称为“笔尖下发现的行星”的是海王星，它是人类首次通过万有引力定律计算轨道后发现的行星，不是天王星，故D错误。 故选C。 2．（2026·河北保定·二模）下列说法中正确的是（） A．静止在地球表面上的物体受到地球的引力等于其所受的重力 B．地球上不同纬度的重力加速度大小跟地球自转有关系 C．加速下降的电梯中，体重计示数变小，是因为重力加速度变小了 D．地球两极处的重力加速度小于赤道处的重力加速度 【答案】B 【解析】A．地球对物体的万有引力一部分提供物体随地球自转的向心力，剩余部分才是重力，仅在南北两极二者相等，其余位置引力大于重力，故A错误； B．不同纬度处物体随地球自转的轨道半径不同，由向心力公式可知所需向心力不同，则对应重力大小不同，因此重力加速度大小与地球自转有关，故B正确； C．加速下降的电梯处于失重状态，体重计示数为视重，视重小于实际重力，但物体所受重力、重力加速度均未发生变化，故C错误； D．地球两极处物体随地球自转的向心力为0，万有引力全部等于重力，赤道处自转轨道半径最大、向心力最大，重力最小，因此两极处重力加速度大于赤道处，故D错误。 故选B。 3．（2026·江西·模拟预测）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测器，实现火星取样返回。“天问三号”探测器进入环火椭圆轨道运行时，运行周期为，近火点、远火点到火星球心距离分别为和。已知引力常量为，火星视为匀质球体，不考虑其他星体的影响，则可求得火星的（　　） A．质量 B．密度 C．第一宇宙速度 D．表面的重力加速度 【答案】A 【解析】A．设“天问三号”探测器在半径为的轨道上围绕火星做匀速圆周运动，周期为，根据万有引力提供向心力，则有 解得火星的质量为 根据开普勒第三定律有 联立可得火星的质量，故A正确； B．根据 由于火星的半径未知，无法求火星的密度，故B错误； C．当某卫星做匀速圆周运动的轨道半径等于火星半径时，其运行的速度为火星的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，则有 解得 由于火星的半径未知，无法求火星的第一宇宙速度，故C错误； D．“天问三号”探测器在火星表面上，根据万有引力等于重力，则有 解得 由于火星的半径未知，无法求火星表面的重力加速度，故D错误。 故选A。 4．（2026·陕西渭南·二模）开普勒第三定律是：行星围绕太阳沿椭圆轨道运动，所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方比值都相等。若a代表行星椭圆轨道的半长轴，T代表周期，这个定律可以表示为，k是对所有行星都相同的一个常数。设太阳的质量为M，万有引力常量为G，则常数k为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将行星绕太阳的椭圆运动近似为匀速圆周运动，此时轨道半长轴等于圆周轨道半径，行星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有 整理得 结合开普勒第三定律 可得 故选A。 5．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）“紫金山1号”彗星是新中国成立后我国发现的首颗彗星。如图所示，该彗星仅在万有引力作用下沿以太阳为焦点的椭圆轨道运动，A、B分别为其椭圆轨道的近日点和远日点。关于彗星经过近日点A和远日点B时的线速度大小、和加速度大小、，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等．结合扇形面积的公式可知，距离太阳近的点的线速度大，即，故A正确，B错误； CD．根据 解得 可知，在A点的加速度较大，故CD错误； 故选A。 6．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国空间站已稳定在轨运行超1300天。已知空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，运动周期为，距离地面高度为，地球半径为，地球表面重力加速度为，万有引力常量为。则（） A．空间站线速度大小为 B．空间站向心加速度大小为 C．若空间站在更低的轨道上做匀速圆周运动，其速度将减小 D．地球质量为 【答案】B 【解析】A．空间站做匀速圆周运动的轨道半径为 线速度公式为，故A错误； B．地球表面物体重力等于万有引力，有 得黄金代换式 对空间站，万有引力提供向心力 代入 得，故B正确； C．由万有引力提供向心力 推导得，轨道越低越小，线速度越大，故C错误； D．由万有引力提供向心力 解得地球质量，故D错误。 故选B。 7．（2026·广东广州·期中）二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化，节气早在《淮南子》中就有记载。沿椭圆轨道绕太阳运行时，假设地球所处不同位置对应的中国节气如图所示（2025年），下列说法正确的是（　　） A．太阳对地球的万有引力在夏至时达到最大值 B．地球绕太阳公转运行到冬至时线速度达到最大值 C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，加速度逐渐增大 D．根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出地球的质量 【答案】B 【解析】A．夏至时地球距离太阳最远，则太阳对地球的万有引力在夏至时达到最小值，选项A错误； B．根据开普勒第二定律，地球绕太阳公转运行到冬至时距离最近，可知此时地球的线速度达到最大值，选项B正确； C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，距离太阳的距离先变大后变小，则所受太阳的引力先变小后变大，可知加速度先变小后变大，选项C错误； D．根据可知，根据地球的公转周期T和太阳与地球的距离r可估算出太阳的质量M，选项D错误。 故选B。 8．（2026·湖南长沙·三模）“月地检验”验证了万有引力定律。通过测量和观测可知，地球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为，地球的半径为，月球的半径为，月球与地球中心的距离为，地球的自转周期为，月球绕地球公转的周期为，下列等式成立且能验证万有引力定律的是（） A． B．月球的向心加速度 C． D． 【答案】C 【解析】A．地球表面有 可得重力加速度满足 同理月球表面重力加速度满足 由于地球和月球质量不相等，因此，故A错误； B．该式是圆周运动向心加速度的运动学定义式，仅描述月球的运动规律，未与万有引力定律关联，无法验证万有引力定律，故B错误； C．对地球表面物体，重力等于万有引力 得 月球绕地球公转时万有引力提供向心力 将代入整理可得 该式将地面重力规律和月球公转规律结合，可验证万有引力定律，故C正确； D．开普勒第三定律适用于绕同一中心天体运动的天体，且为地球自转周期，和月球公转无关联，等式不成立，故D错误。 故选C。 9．（2026·山西·二模）牛顿在发现万有引力定律的过程中，进行了著名的“月-地检验”，其基本思路为月球绕地球做圆周运动的向心加速度，与地球表面物体的重力加速度，都遵从“与距离平方成反比”的规律，从而验证天上与地下的引力是同一种力。已知设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为，地球中心与苹果的距离近似为，月球绕地球运动周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕地球运动的向心加速度为 B．月-地检验只需知道和 C．月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足 D．根据题干内容可求得地球质量 【答案】C 【解析】A．月球绕地球做圆周运动的轨道半径为地月间距，根据牛顿第二定律结合圆周运动有 又解得，选项错将月球轨道半径替换为地球半径，故A错误； B．月-地检验的核心是比较月球绕地的向心加速度与地表重力加速度，看是否满足平方反比关系，除、（用于计算）外，还需要地球半径和地表重力加速度，故B错误； C．对月球，万有引力提供向心力解得 对地表苹果，万有引力近似等于重力解得，两式相比可得，故C正确； D．由地表重力等于万有引力的推导式，解得地球质量，选项错将地球半径替换为地月间距，故D错误； 故选C。 10．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为。据此可以推算出，约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】星球极地的重力等于万有引力，赤道处万有引力的一部分用于提供自转的向心力，因此极地与赤道的重力加速度差等于赤道处自转的向心加速度，公式为 其中为星球半径，为星球自转周期。 因此两者的比值为 代入已知条件，月球自转周期，地球自转周期 可得 故选C。 11．（2026·河南驻马店·期末）如图所示，假设沿地轴凿通一条贯穿地球的光滑隧道。由于隧道极窄，地球仍可视作半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，地心在O点，不考虑地球的自转，一小球（可视为质点）由隧道上空距地球表面高度也为R的位置由静止释放，小球运动过程中加速度与释放位置加速度相同的点到地心的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设地球质量为，小球质量为。小球释放位置距地球表面高度为，则距地心距离 此时小球在地球外部，根据万有引力定律，小球受到的万有引力 由牛顿第二定律得释放时的加速度 当小球运动到地球内部距地心距离为()的位置时，根据题意“质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零”，小球受到的引力仅由半径为的内部球体产生。设地球密度为，则内部球体质量 而地球总质量 故 此时小球受到的引力 加速度 题目要求找加速度与释放位置加速度相同的点，即令 有 解得 故选B。 12．（多选）（2026·陕西商洛·三模）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆轨道，将地球绕日一年转的分为24份，每为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。地球公转位置与节气的对照图如图所示。下列说法正确的是（　　） A．夏至时地球的机械能比冬至时地球的机械能大 B．太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力大小始终相等 C．地球绕太阳公转的每一天中，夏至这一天地球与太阳的连线扫过的面积最大 D．太阳系内行星轨道的半长轴a与周期T均满足关系式（k为常量） 【答案】BD 【解析】A．地球绕太阳公转的过程中仅受到太阳的万有引力，地球的机械能守恒，故A错误； B．根据牛顿第三定律可知，太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力大小始终相等、方向相反，故B正确； C．根据开普勒第二定律可知，地球绕太阳公转的每一天，地球与太阳的连线扫过的面积均相同，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，太阳系内行星轨道的半长轴a与周期T均满足关系式（k为常量），故D正确。 故选BD。 13．（多选）（2026·山西吕梁·三模）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．乘客在P点的线速度大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点受到的万有引力大小为 D．体重计的示数 【答案】BC 【解析】由题意可知，“太空电梯”上各点的运动周期及同步卫星的运动周期都与地球的自转周期相同，由可知，它们的角速度也相同。 A．乘客所受万有引力提供向心力时 可解出 但乘客还受到体重计的支持力，所以乘客在点的线速度不等于，故A错误； B．地球同步轨道上空间站的向心加速度 因为乘客与空间站具有相同的角速度，但乘客在点的运动半径小于地球同步轨道半径，由 可知乘客在点的向心加速度小于，故B正确； C．乘客在点受到的万有引力大小为，故C正确； D．根据牛顿第三定律，体重计示数与体重计对乘客的支持力等大反向，分析乘客的受力得 可解得，故D错误。 故选BC。 14．（2026·江苏徐州·模拟预测）“天问一号”探测器在火星表面附近的圆形轨道上做匀速圆周运动，测得其线速度大小为，周期为，引力常量为，忽略火星自转影响，求： (1)火星的半径； (2)火星的平均密度。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据 可得，火星的半径为 （2）根据万有引力提供向心力可得 可得，火星的质量为 将（1）中代入，化简可得 火星的体积为 则火星的密度为 15．（2025·福建福州·期末）天宫一号是中国载人航天工程发射的第一个目标飞行器，也是中国第一个空间实验室，一些天文爱好者借助人造天体过境预报网站提供的数据用天文望远镜可以看到天宫一号，为了简化问题便于研究，将“天宫一号”绕地球的运动视为匀速圆周运动，已知“天宫一号”做匀速圆周运动的半径为r，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。求： (1)地球的质量M； (2)“天宫一号”运动的线速度v的大小。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）地球表面质量为的物体，所受重力等于地球对物体的万有引力，有 得地球质量 （2）天宫一号绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设天宫一号质量为，轨道半径为，有 整理得 综合提升练 1．（2016·全国III卷·高考真题）关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（） A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 【答案】B 【解析】开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出了行星按照这些规律运动的原因；牛顿在开普勒行星运动定律的基础上推导出万有引力定律。 故选B。 2．（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（　　） A．受月球的引力大小保持不变 B．相对月球的速度大小保持不变 C．离月球越近，其相对月球的速度越大 D．离月球越近，其所受月球的引力越小 【答案】C 【解析】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据可知受月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD错误； B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。 故选C。 3．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【解析】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。 故选A。 4．（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 【答案】C 【解析】根据开普勒第三定律可知 其中，， 代入解得 故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。 故选C。 5．（2026·浙江·高考真题）已知行星的平均密度为，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据万有引力定律和圆周运动规律，卫星在行星表面附近运行时，万有引力提供向心力 行星平均密度 联立解得 A．，与有关，非常量，故A错误； B．，为常量，故B正确； C．，与有关，非常量，故C错误； D．，与有关，非常量，故D错误。 故选B。 6．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67×10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 【答案】A 【解析】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得 A．题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A正确； B．若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC错误； D．根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D错误。 故选A。 7．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 8．（2024·全国甲卷·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【答案】D 【解析】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误； BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确； C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 故选D。 9．（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【答案】B 【解析】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 故选B。 10．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据 可得 其中 联立可得 故选D。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 万有引力定律及应用 目录 1 4 考点一开普勒三定律的理解和应用 4 考向1：开普勒第一定律与开普勒第二定律 4 考向2：开普勒第三定律 4 考点二万有引力定律 6 考向1：万有引力定律的理解及简单应用 7 考向2：补偿法求万有引力 7 考向3：万有引力与重力的关系 7 考向4：星体表面及上空或星体内部的重力加速度 8 考点三天体质量及密度的计算 10 考向1：利用重力加速度计算天体质量和密度 10 考向2：利用环绕法计算天体质量和密度 11 12 基础巩固练 12 综合提升练 16 核心考点 1.开普勒行星运动定律： 第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。近地点速度大，远地点速度小。 第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等（a³/T²=k，k只与中心天体质量有关）。 2.万有引力定律： 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比（F=Gm₁m₂/r²）。 适用条件：质点间、或两个质量分布均匀的球体间（r为球心距）。 3.万有引力与重力的关系： 在地球表面：GMm/R²=mg（黄金代换式GM=gR²），近似认为重力等于万有引力（忽略地球自转）。 在距地面高h处：重力加速度g'=gR²/(R+h)²。 4.天体质量和密度的估算： 利用“环绕法”（GMm/r²=m·4π²r/T²）：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r，可求中心天体质量M=4π²r³/GT²。 利用“表面法”（黄金代换GM=gR²）：测出中心天体的半径R和表面的重力加速度g，可求质量M=gR²/G，密度ρ=3g/4πGR。 考情透析 1.题型与难度：以选择题为主，有时作为计算题的第一小问，难度基础→中档，属高考必考内容（常出现在选择题的中间位置）。 2.命题规律： 常以我国航天的最新成就（如嫦娥探月、天问一号、天宫空间站、北斗导航）为背景，考查万有引力定律的应用，体现科技与物理的融合。 常结合开普勒定律，考查椭圆轨道上行星/卫星速度、加速度的比较，以及周期定律的应用。 常以黑洞、双星、行星冲日等新颖题材，考查万有引力与圆周运动的综合。 3.考查方向：侧重开普勒定律的理解与定量计算、万有引力定律公式的灵活应用、中心天体质量与密度的估算方法、卫星运行参数的比较（速度、周期、加速度、机械能）、黄金代换式的应用。 素养对接 1.模型建构：将“行星绕恒星”、“卫星绕行星”的椭圆轨道近似为匀速圆周运动模型，忽略次要因素（如行星间引力、轨道摄动），培养理想化建模能力。 2.科学推理：基于万有引力提供向心力（F万=F向），推导出v、ω、T、a与轨道半径r的关系，培养从核心公式推导结论的逻辑推理能力。 3.归纳法：通过分析多个天体系统的轨道路径、速度、周期等，总结出开普勒三定律，体现了通过大量事实归纳物理规律的科学方法。 4.守恒与对称思想：理解开普勒第二定律（面积定律）本质是角动量守恒的体现；理解轨道上引力做功与机械能守恒的关系。 学习目标 1.知识目标： 能准确说出开普勒三定律的核心内容和数学表达式。 能写出万有引力定律的公式F=Gm₁m₂/r²及适用条件。 能写出黄金代换式GM=gR²及其推导过程。 能说出利用“环绕法”和“表面法”估算中心天体质量和密度的表达式。 2.能力目标： 公式运用能力：能熟练运用GMm/r²=mv²/r=mω²r=m·4π²r/T²=ma及GM=gR²解决天体运动问题。 比较分析能力：能根据轨道半径r的大小，判断卫星/行星的v、ω、T、a的大小关系（“高轨低速长周期”）。 估算建模能力：能将天体（如行星、黑洞）的运动抽象为匀速圆周运动，并建立万有引力完全提供向心力的动力学方程进行求解。 数据处理能力：能根据题干给出的条件（如T、r、g、R等），正确选择公式组，进行质量和密度的计算。 备考建议 1.记牢“高轨低速长周期”口诀： 内容：卫星（或行星）的轨道半径r越大，其运行速度v越小，角速度ω越小，加速度a越小，周期T越大。该口诀可解决大量比较类选择题。 推导：要求能从GMm/r²=mv²/r中独立推导出v=√(GM/r)，并判断出单调性。 2.务必掌握“黄金代换”和“环绕法”： 黄金代换GM=gR²：核心在“表面”二字，只有在天体表面或近地面时，重力才近似等于万有引力。广泛应用于求天体的质量、密度。 环绕法GMm/r²=m·4π²r/T²：直接用于求中心天体的质量M。注意：不能求环绕天体的质量。 3.攻克开普勒定律的常考题型： 第二定律（面积定律）：主要用来比较椭圆轨道不同位置的速率——近日点快，远日点慢。 第三定律（周期定律）：a³/T²=k，常考比较不同轨道（如椭圆、圆）的周期，核心是找半长轴a（圆轨道时a=r）。 4.巧用“重力加速度”作为桥梁： 当问题同时涉及地面和天空中不同位置的重力加速度时，常通过两个关系式建立联系： 地面处：GMm/R²=mg。 高空某处（距地心r）：GMm/r²=mg'。 联立可得g'/g=R²/r²。 5.重视图像与易错点： 图像：v-r图像（单曲线递减）、ω-r图像（单曲线递减）、T-r图像（T²∝r³的抛物线），能识别出对应的表达式。 易错点： 混淆“环绕天体”和“中心天体”的质量（T只与中心天体质量有关）。 混淆“轨道半径”与“天体半径”（估算密度公式中r为轨道半径，而R为天体半径）。 误以为第一宇宙速度是“发射卫星的最大速度”（实际是“最小发射速度，最大环绕速度”）。 考点一开普勒三定律的理解和应用 【必备知识回顾】 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 【重难模型精讲】 考向1：开普勒第一定律与开普勒第二定律 【典例1】（多选）（2026·海南海口·模拟预测）下列有关开普勒提出的行星运动定律的叙述正确的是（） A．行星绕太阳运动的周期与轨道半长轴成正比 B．开普勒第三定律只适用于太阳系行星围绕太阳的运动 C．太阳位于行星椭圆轨道的一个焦点上 D．行星近日点的运行速度大于它在远日点的运行速度 考向2：开普勒第三定律 【典例2】（2026·四川·模拟预测）如图所示，我国某环境监测卫星沿椭圆轨道绕地球运行，下列说法正确的是（　　） A．该卫星近地点的速度小于远地点速度 B．该卫星近地点加速度大于远地点加速度 C．该卫星周期小于与近地点高度相同的圆轨道卫星的周期 D．该卫星远地点的运行速度大于与远地点高度相同的圆轨道卫星速度 【变式训练与拓展】 【变式1】（2026·北京丰台·二模）如图所示为某彗星绕太阳转动的椭圆轨道示意图。a、b分别为彗星绕太阳运行的近日点和远日点，c、d为椭圆短轴与轨道的交点，彗星先后经过a、d、b、c、a，下列说法正确的是（　　） A．彗星在近日点的速度比远日点的速度小 B．彗星在近日点的加速度比远日点的加速度小 C．从d运行到b的过程中，太阳对彗星的万有引力对彗星一直做负功 D．彗星从a运行到d的时间等于从d运行到b的时间 【变式2】（2026·河北衡水·二模）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的4倍和6倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 B．公转周期约为地球公转周期的5倍 C．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 D．从近日点到远日点线速度大小逐渐增大 【变式3】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，质量为m的卫星围绕地球做椭圆运动，近地点A、远地点B到地心的距离之比为1:4，卫星在近地点A到地心的距离为d，已知卫星在地球周围的引力势能（M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星到地心的距离，G为引力常量）。则卫星运动到远地点B时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【方法规律】 1．远近点的速度关系：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。 3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。 考点二万有引力定律 【必备知识回顾】 万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11N·m2/kg2。 (3)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 (4)万有引力定律在天体上的应用 ①基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 ②应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 【重难模型精讲】 考向1：万有引力定律的理解及简单应用 【典例3】（2026·新疆·三模）牛顿用月-地检验来验证万有引力中引力与距离的二次方成反比的正确性。当时已知地球半径，地面物体由引力产生的加速度，月球公转周期，地月距离。下面是月-地检验的重要步骤。 ①求出 ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 符合逻辑的月-地检验的顺序是（　　） A．①②③④⑤ B．②①③④⑤ C．②③①④⑤ D．①③②④⑤ 考向2：补偿法求万有引力 【典例4】（2025·河北保定·期末）如图所示，一质量分布均匀的球体，半径为R，现从其内部挖出一半径为的小球体，放置于原球体右侧位置，已知、、在一条直线上，且、相距2R，引力常量为G，挖出的小球体质量为m。则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 考向3：万有引力与重力的关系 【典例5】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为，若在地下存在一半径为的球形的矿坑，则点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，矿坑的中心离点的距离为，点、点与地球球心共线。定义为“重力加速度反常值”，已知当时，测得“重力加速度反常值”为，忽略地球自转，下列说法正确的是（　　） A．，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 考向4：星体表面、上空及星体内部的重力加速度 【典例6】（2026高三上·辽宁·期末）在一个质量为、半径为的均匀实心球体内部，距球心处有一个质点，其受到的万有引力为。另一个质量为、半径为的均匀实心球体，现将其内部同心挖去一个半径为的球体，剩余部分对于球体外表面的质点产生的万有引力为，已知质点的质量相等，均匀球壳内部的物体受到球壳的万有引力为零，空心球对外部的万有引力等于质量集中于球心产生的万有引力。则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练与拓展】 【变式4】（2026·广西崇左·二模）巨蟹座55（类太阳恒星系统）中，主星巨蟹座55A是一颗超富金属恒星，质量为M。巨蟹座55e为55A的一颗行星，55e的质量为m，半径为R，自转周期为T1，55e绕55A运行的轨道半径为r，公转周期为T2。引力常量为G，则55e绕55A做匀速圆周运动时，所需的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式5】（2026·云南昆明·期中）假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，地表重力加速度为，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图所示，若在地球内部以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则小球在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式6】（2026·吉林长春·模拟预测）已知地球质量为，月球质量为，引力常量为。将月球绕地球的运动看成匀速圆周运动，且月球与地球两球心之间的距离为。 (1)求月球绕地球公转的线速度的大小； (2)在牛顿的时代，已经能够比较精确地测定：月球与地球两球心之间的距离（）约为地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期，地球表面的重力加速度取。请通过计算推理说明“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律（可取，忽略天体的自转及空气阻力的影响）。 【方法规律】 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面及上空的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。 3．两个推论 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 考点三天体质量及密度的计算 【必备知识回顾】 1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R——“自力更生法” (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用绕行天体的周期和轨道半径——“环绕法” (1)由G＝mr，得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见只要测出在天体表面附近的卫星环绕天体运动的周期T，就可估算出天体的密度。 【重难模型精讲】 考向1：利用重力加速度计算天体质量和密度 【典例7】（2026·安徽亳州·模拟预测）2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船被长征二号F遥二十一运载火箭成功送入太空，11月1日3时22分，神舟二十一号成功相会“天宫”（空间站天和核心舱），天和核心舱距离地面约，地球北极的重力加速度为g，地球赤道表面的重力加速度为，地球自转的周期为T，引力常量为G。天和核心舱轨道为正圆，地球为球体。根据题目的已知条件，下列说法错误的是（　　） A．可以求出地球的半径 B．天和核心舱在轨运行的线速度大于第一宇宙速度 C．可以求出天和核心舱的周期 D．可以求出地球质量 考向2：利用环绕法计算天体质量和密度 【典例8】（2026·河南新乡·模拟预测）2026年3月30日，中科宇航力箭二号遥一运载火箭在东风商业航天创新试验区成功发射，将新征程01卫星、新征程02卫星和天视卫星01星送入预定轨道，发射任务取得成功。若某卫星在半径为r的圆轨道上以周期T绕地球运行，已知引力常量为G，地球半径为R，则（） A．该卫星的发射速度大于11.2km/s B．该卫星做圆周运动的速度可能大于7.9km/s C．地球的质量为 D．地球的密度为 【变式训练与拓展】 【变式7】（2026·北京朝阳·二模）月球环绕地球的运动可近似为匀速圆周运动。已知引力常量为G，以下数据能够计算地球质量的是（　　） A．月球绕地球运动的周期和线速度 B．月球绕地球运动的周期和角速度 C．月球绕地球运动的线速度和月球质量 D．月球绕地球运动的线速度和地球半径 【变式8】（2026·北京西城·二模）火星具有诸多与地球相似的特征，例如存在昼夜交替与四季更迭，这使其理论上具备成为人类宜居星球的潜在条件。已知，火星的公转轨道半径约为地球的1.5倍，火星的半径约为地球的，火星的质量约为地球的，火星的自转周期、自转轴倾角均与地球相近，由此可推测（　　） A．火星上的一年约为地球的1.5倍 B．火星表面的重力加速度约为地球的 C．火星表面接收到的太阳辐射功率约为地球的 D．若星球上的温度仅受太阳辐射的影响，当太阳辐射功率增大为现在的2.25倍时，火星可以达到适合人类居住的温度 【变式9】（2026·浙江·二模）如图所示，“土卫六”是土星系统中最大的卫星，若土星是一个球体，“土卫六”做匀速圆周运动，已知引力常量，利用“土卫六”测量土星的平均密度，需要测得（） A．围绕土星的公转周期和土星半径 B．围绕土星的轨道半径和土星的自转周期 C．围绕土星的公转周期和轨道半径，土星半径 D．围绕土星的轨道半径，土星的自转周期和半径 【变式10】（2026·黑龙江辽宁·期末）据国家航天局消息，科研团队根据“祝融号”火星车发回遥测信号确认，5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。天问一号靠近火星时，被火星引力捕获后绕火星做近似圆周运动，周期为T，轨道半径近似等于火星半径R，已知万有引力常量为G。求： (1)火星的平均密度； (2)离火星表面距离为R处的重力加速度g0。 【方法规律】 估算天体质量和密度的四点注意 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h，公转周期为365天等。 (4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 基础巩固练 1．（2026·江苏连云港·阶段检测）下列说法中正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量 B．由可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．开普勒总结出了太阳系中行星运动的规律 D．天王星被人们称为“笔尖下发现的行星” 2．（2026·河北保定·二模）下列说法中正确的是（） A．静止在地球表面上的物体受到地球的引力等于其所受的重力 B．地球上不同纬度的重力加速度大小跟地球自转有关系 C．加速下降的电梯中，体重计示数变小，是因为重力加速度变小了 D．地球两极处的重力加速度小于赤道处的重力加速度 3．（2026·江西·模拟预测）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测器，实现火星取样返回。“天问三号”探测器进入环火椭圆轨道运行时，运行周期为，近火点、远火点到火星球心距离分别为和。已知引力常量为，火星视为匀质球体，不考虑其他星体的影响，则可求得火星的（　　） A．质量 B．密度 C．第一宇宙速度 D．表面的重力加速度 4．（2026·陕西渭南·二模）开普勒第三定律是：行星围绕太阳沿椭圆轨道运动，所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方比值都相等。若a代表行星椭圆轨道的半长轴，T代表周期，这个定律可以表示为，k是对所有行星都相同的一个常数。设太阳的质量为M，万有引力常量为G，则常数k为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）“紫金山1号”彗星是新中国成立后我国发现的首颗彗星。如图所示，该彗星仅在万有引力作用下沿以太阳为焦点的椭圆轨道运动，A、B分别为其椭圆轨道的近日点和远日点。关于彗星经过近日点A和远日点B时的线速度大小、和加速度大小、，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国空间站已稳定在轨运行超1300天。已知空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，运动周期为，距离地面高度为，地球半径为，地球表面重力加速度为，万有引力常量为。则（） A．空间站线速度大小为 B．空间站向心加速度大小为 C．若空间站在更低的轨道上做匀速圆周运动，其速度将减小 D．地球质量为 7．（2026·广东广州·期中）二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化，节气早在《淮南子》中就有记载。沿椭圆轨道绕太阳运行时，假设地球所处不同位置对应的中国节气如图所示（2025年），下列说法正确的是（　　） A．太阳对地球的万有引力在夏至时达到最大值 B．地球绕太阳公转运行到冬至时线速度达到最大值 C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，加速度逐渐增大 D．根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出地球的质量 8．（2026·湖南长沙·三模）“月地检验”验证了万有引力定律。通过测量和观测可知，地球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为，地球的半径为，月球的半径为，月球与地球中心的距离为，地球的自转周期为，月球绕地球公转的周期为，下列等式成立且能验证万有引力定律的是（） A． B．月球的向心加速度 C． D． 9．（2026·山西·二模）牛顿在发现万有引力定律的过程中，进行了著名的“月-地检验”，其基本思路为月球绕地球做圆周运动的向心加速度，与地球表面物体的重力加速度，都遵从“与距离平方成反比”的规律，从而验证天上与地下的引力是同一种力。已知设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为，地球中心与苹果的距离近似为，月球绕地球运动周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕地球运动的向心加速度为 B．月-地检验只需知道和 C．月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足 D．根据题干内容可求得地球质量 10．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为。据此可以推算出，约为（　　） A． B． C． D． 11．（2026·河南驻马店·期末）如图所示，假设沿地轴凿通一条贯穿地球的光滑隧道。由于隧道极窄，地球仍可视作半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，地心在O点，不考虑地球的自转，一小球（可视为质点）由隧道上空距地球表面高度也为R的位置由静止释放，小球运动过程中加速度与释放位置加速度相同的点到地心的距离为（） A． B． C． D． 12．（多选）（2026·陕西商洛·三模）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆轨道，将地球绕日一年转的分为24份，每为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。地球公转位置与节气的对照图如图所示。下列说法正确的是（　　） A．夏至时地球的机械能比冬至时地球的机械能大 B．太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力大小始终相等 C．地球绕太阳公转的每一天中，夏至这一天地球与太阳的连线扫过的面积最大 D．太阳系内行星轨道的半长轴a与周期T均满足关系式（k为常量） 13．（多选）（2026·山西吕梁·三模）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．乘客在P点的线速度大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点受到的万有引力大小为 D．体重计的示数 14．（2026·江苏徐州·模拟预测）“天问一号”探测器在火星表面附近的圆形轨道上做匀速圆周运动，测得其线速度大小为，周期为，引力常量为，忽略火星自转影响，求： (1)火星的半径； (2)火星的平均密度。 15．（2025·福建福州·期末）天宫一号是中国载人航天工程发射的第一个目标飞行器，也是中国第一个空间实验室，一些天文爱好者借助人造天体过境预报网站提供的数据用天文望远镜可以看到天宫一号，为了简化问题便于研究，将“天宫一号”绕地球的运动视为匀速圆周运动，已知“天宫一号”做匀速圆周运动的半径为r，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。求： (1)地球的质量M； (2)“天宫一号”运动的线速度v的大小。 综合提升练 1．（2016·全国III卷·高考真题）关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（） A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 2．（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（　　） A．受月球的引力大小保持不变 B．相对月球的速度大小保持不变 C．离月球越近，其相对月球的速度越大 D．离月球越近，其所受月球的引力越小 3．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 4．（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 5．（2026·浙江·高考真题）已知行星的平均密度为，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是（） A． B． C． D． 6．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67×10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 7．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 9．（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 10．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $