第13讲 万有引力定律及应用 讲义 -2027届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦万有引力定律及应用专题，覆盖开普勒三定律、万有引力定律理解与应用、天体质量和密度计算等核心考点，按知识梳理、考点解析、典例精讲的逻辑架构展开，通过基础概念梳理、解题方法指导（如黄金代换、挖补法）、真题模拟训练（如2025年模拟题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破重点难点。 资料突出科学思维与科学态度培养，创新采用“挖补法”分析非完整球体引力（典例4），结合“祝融”探火、嫦娥七号等航天实例（典例3、8），通过分层典例（基础应用到综合计算）训练，提升学生模型建构与科学推理能力，为教师把控复习节奏、学生高效备考提供有力支持。

第13讲 万有引力定律及应用 讲义 知识梳理： 1．开普勒三定律 (1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 (2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 (3)周期定律：所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等。 2．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。 (3)适用条件：①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 考点一　开普勒三定律的理解和应用 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 3.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 典例1：如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　) A.太阳位于焦点F1处 B.S1>S2 C.在M和N处，小行星的动能EkM>EkN D.在N和P处，小行星的加速度aN>aP [答案]　B[解析]:由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误;根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确;由动能定理知，由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM<EkN，C错误;根据万有引力公式F＝G，可知小行星在N处受到的引力小于在P处受到的引力，由牛顿第二定律F＝ma，得aN<aP，D错误. 典例2：2023年4月12日，水星抵达今年第一次东大距的位置。由于水星是地内行星，平时都在太阳附近难以观察，从地球看出去，水星和太阳的最大夹角θ(也称距角，即“大距”)时，观测时机最佳，如图所示。若将水星与地球的公转均视为圆周运动，地球公转周期约为水星公转周期的4倍，则水星东大距时的距角θ的正弦值sin θ为(　　) A． B． C． D． [答案]　B[解析]:根据开普勒第三定律＝，根据几何关系sin θ＝，联立解得sin θ＝，故选B。 考点二　万有引力定律的理解和应用 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 (3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0,即∑F引＝0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 万有引力定律的应用 典例3： 从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　) A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1 [答案]　B[解析]:悬停时“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G得×2＝，故B正确。 “挖补法”求解万有引力 典例4：有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为(　　) A． B． C． D． [答案]　A[解析]:挖去小球前球与质点的万有引力F1＝G＝，挖去的球体的质量M′＝M＝，被挖部分对质点的引力为F2＝＝ ，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。 万有引力与重力的关系 典例5：假定太阳系中一颗质量均匀、可看作球体的小行星其自转原来可以忽略。现若该行星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的。已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为(　　) A． B． C． D． [答案]　D[解析]:该行星表面“赤道”上的物体相对行星中心静止，忽略行星自转时，有＝FN，行星自转角速度为ω时，有＝FN＋mRω2，行星的密度ρ＝，解得ρ＝，故选D。 星体上空及星体内部重力加速度的求解 典例6：(2025·山西太原一模)神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”!已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为d(10 909 m)，空间站离地面的高度为h(400 km)。假设地球质量分布均匀，半径为R，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为d处和高度为h处的重力加速度之比为(　　) A. B. C. D. [答案]　A[解析]:设质量为m1的物体在马里亚纳海沟底处，有G＝m1g1，又，质量为m2的物体在空间站，有G＝m2g2，解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为，故A正确。 考点三　天体质量和密度的计算 天体质量和密度的计算方法 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ — 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ — 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 典例7：(2025·陕西宝鸡模拟)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的质量m月＝ C.月球的第一宇宙速度v＝ D.月球的平均密度ρ＝ [答案]　D[解析]:由平抛运动规律可得h＝g月t2，L＝v0t，联立得月球表面的重力加速度g月＝，故A错误;在月球表面，由万有引力等于重力得G＝mg月，将g月＝代入上式得月球的质量m月＝，故B错误;由牛顿第二定律得G＝m，将m月＝代入上式得月球的第一宇宙速度v＝，故C错误;月球的平均密度ρ＝，故D正确。 典例8：(2025·辽宁大连模拟)嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为T1，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，轨道半径为月球球体半径的k倍，引力常量为G。根据题中所给信息，下列说法正确的是(　　) A.可以估测地球的质量 B.可以估测月球的密度 C.周期T2与周期T1满足＝k3 D.地球的质量与月球的质量之比等于 [答案]　B [解析]:月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，则有G＝M月(kR月)，解得M地＝，由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误;嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有G＝mR月，解得M月＝，月球的密度为ρ＝，故B正确;由于地球质量不知道，故不能从所给信息中直接求出的值，故C错误;地球的质量与月球的质量之比等于，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $