第13讲 万有引力定律及应用 讲义 -2027届高三物理一轮复习

第13讲 万有引力定律及应用 讲义

知识梳理：

1．开普勒三定律

(1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

(2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

(3)周期定律：所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等。

2．万有引力定律

(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。

(2)表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。

(3)适用条件：①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。

考点一　开普勒三定律的理解和应用

 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

3.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。

4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。

典例1：如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的

过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　)

A.太阳位于焦点F1处

B.S1>S2

C.在M和N处，小行星的动能EkM>EkN

D.在N和P处，小行星的加速度aN>aP

[答案]　B[解析]:由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误;根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确;由动能定理知，由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM<EkN，C错误;根据万有引力公式F＝G，可知小行星在N处受到的引力小于在P处受到的引力，由牛顿第二定律F＝ma，得aN<aP，D错误.

典例2：2023年4月12日，水星抵达今年第一次东大距的位置。由于水星是地内行星，平时都在太阳附近难以观察，从地球看出去，水星和太阳的最大夹角θ(也称距角，即“大距”)时，观测时机最佳，如图所示。若将水星与地球的公转均视为圆周运动，地球公转周期约为水星公转周期的4倍，则水星东大距时的距角θ的正弦值sin θ为(　　)

A．        B．

C．          D．

[答案]　B[解析]:根据开普勒第三定律＝，根据几何关系sin θ＝，联立解得sin θ＝，故选B。

考点二　万有引力定律的理解和应用

1．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。

(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。

(2)在两极上：G＝mg2。

2．星体表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。

(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。

(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。

3．万有引力的两个推论

(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0,即∑F引＝0。

(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。

万有引力定律的应用

典例3： 从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)

A.9∶1       B.9∶2 

C.36∶1      D.72∶1

[答案]　B[解析]:悬停时“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力等于万有引力，根据F