精品解析：黑龙江哈尔滨市双城区2025—2026学年度八年级下学期期末调研测试数学试卷

双城区2025—2026学年度八年级下学期期末调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 关于的一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 一次函数的图象过第一、三、四象限 B. 一次函数的图象过点 C. 随的增大而减小 D. 与轴交点的坐标为 6. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 7. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 9. 如图，按照以下步骤作四边形：画；以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接，，．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10题，每题3分，共30分） 11. 的值为___________． 12. 某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填“甲”或“乙”或“丙”） 甲 乙 丙 平均数 方差 13. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 14. 如图，在菱形中，若，，则的度数为________． 15. 为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 16. 直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是________． 17. 如图，正方形的边长为，分别取，，，各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为________． 18. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 19. 已知菱形的边长为，，如果点是菱形内的一点，且，那么的长为_____． 20. 如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三．解答题（本大题共7题，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画的中线． （2）在图②中画的高． 23. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试，发现成绩都在分以上（满分分），把成绩（）分成，，，四个等级：：，：，：，：．通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级等级测试成绩的数据为：，，，，，，，． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是________；小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是________年级的学生； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）成绩在分及以上的同学可获得垃圾分类小能手的称号，该校七年级有名学生，八年级有名学生，请你估计该校七、八年级共有多少学生获得垃圾分类小能手的称号． 24. 如图所示，在中，于，于，且． （1）求证：为菱形； （2）若，，求的面积． 25. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 26. 在中，点E在上，． （1）如图1，求证：是直角三角形； （2）如图2，是的角平分线，过点E作的垂线，垂足为点G，交于点F，交延长线于点H，K是上一点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是的中点，连接，过C作交的延长线于点N，，，求线段的长． 27. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； （3）如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双城区2025—2026学年度八年级下学期期末调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意，得， 解得． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A. ，选项正确，符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. ，选项错误，不符合题意． 3. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 5. 关于的一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 一次函数的图象过第一、三、四象限 B. 一次函数的图象过点 C. 随的增大而减小 D. 与轴交点的坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的系数判断增减性和经过的象限，再代入计算验证点坐标和与轴交点，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数为，其中，， A.由，，可知一次函数图象经过第一、三、四象限，A正确； B.当时，，则图象不过点，B错误； C.由，可知随的增大而增大，C错误； D.当时，，与轴交点坐标为，不是，D错误． 6. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得出，从而求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：平分，，， ， ， ， 在中，， 的周长为． 7. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意判断  为直角三角形，再利用斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出 、 两点间的距离． 【详解】解：，   是直角三角形，， 是的中点，， ∴． 8. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“上加下减，左加右减”得到平移后的直线解析式，再将已知点代入即可求出的值． 【详解】解：根据函数图象平移规律“上加下减”，将直线沿轴向下平移3个单位后，得到的直线解析式为． ∵平移后的直线经过点， ∴将，代入解析式得：， 解得． 9. 如图，按照以下步骤作四边形：画；以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接，，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图步骤可得，判定四边形为菱形，利用等腰三角形性质求出，再根据菱形对角相等求解． 【详解】由作图步骤可知：，， ，， 四边形是菱形，， ． 10. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两个点的纵坐标大小，比较横坐标的大小即可． 【详解】解：∵一次函数中，比例系数， ∴随的增大而减小， ∵点，都在该一次函数图象上，且， ∴． 二．填空题（本大题共10题，每题3分，共30分） 11. 的值为___________． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：． 12. 某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填“甲”或“乙”或“丙”） 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【解析】 【分析】根据平均数和方差的统计意义，成绩好要求平均数更大，发挥稳定要求方差更小，先比较平均数，再比较方差即可得到结果． 【详解】解：∵乙和丙的平均数为，大于甲的平均数， ∴乙和丙的成绩好于甲． ∵乙的方差是，小于丙的方差和甲的方差，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求，应选择乙． 13. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质，结合图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解： 一次函数的图象不经过第三象限，该一次函数的一次项系数为，直线必过第二，四象限， 常数项需满足， 解得：． 14. 如图，在菱形中，若，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出，根据等边对等角及三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵， ∴． 15. 为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 【答案】 【解析】 【分析】先根据完全平方公式化简，再分别将四个运算符代入计算，判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：， 当填时，原式，是有理数，符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求． 16. 直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据x轴上点的纵坐标为0的性质求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征计算得到结果． 【详解】解：∵ 点是直线与轴的交点，轴上点的纵坐标为 ∴令，代入得， 解得 ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 17. 如图，正方形的边长为，分别取，，，各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由线段中点的定义可得，则由勾股定理可得，则正方形的边长为，同理求出正方形的边长为1，正方形的边长为，据此可得正方形的边长为，由此可得答案． 【详解】解：∵在正方形中，，． 由题意可得：， ∴， ∴正方形的边长为， 同理可得，， ∴， ∴正方形的边长为1， 同理可得正方形的边长为， ……， 以此类推，可知正方形的边长为． ∴正方形的边长为． 18. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 19. 已知菱形的边长为，，如果点是菱形内的一点，且，那么的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由菱形性质可知，到、距离相等的点在对角线上，分与在同侧和异侧两种情况，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ，则， 在中，由勾股定理得：， ， 点在的垂直平分线上， 当与在同侧时，在中，由勾股定理得：， ； 当与在异侧时，同理可得，， 两种情况的点都在菱形内，符合题意， 综上所述，的长为或． 20. 如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【解析】 【分析】①连接，根据对称的性质得，，由此可判定和全等则，再证明和全等得，由此可得出，据此即可对结论①进行判断；②根据全等三角形性质得，，则，进而得，再根据得，据此即可对结论②进行判断；③根据，及全等三角形性质得，，则，在中，根据三角形三边之间关系得，则，进而得，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边上的一动点（不与点，重合）， ∴， ∴， 即，故结论②正确； ③∵正方形的边长为1，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故结论③错误． 综上所述：正确的结论序号是①②． 三．解答题（本大题共7题，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将代入求解． 【详解】解： ． 当时，原式． 22. 图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画的中线． （2）在图②中画的高． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 23. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试，发现成绩都在分以上（满分分），把成绩（）分成，，，四个等级：：，：，：，：．通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级等级测试成绩的数据为：，，，，，，，． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是________；小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是________年级的学生； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）成绩在分及以上的同学可获得垃圾分类小能手的称号，该校七年级有名学生，八年级有名学生，请你估计该校七、八年级共有多少学生获得垃圾分类小能手的称号． 【答案】（1），八 （2） （3）该校七、八年级共有名学生获得垃圾分类小能手的称号． 【解析】 【分析】（1）先根据扇形统计图计算出八年级各等级人数，找到第、个数据的平均数，得到八年级中位数；再计算七年级的中位数，对比分与两个年级中位数的关系，判断小明所在年级． （2）先根据频数分布直方图得到七年级各等级的频数，再按题目要求计算各等级的中间值，最后用加权平均数公式计算平均数． （3）先根据七年级频数分布直方图和八年级扇形统计图，分别算出两个年级样本中等级的频率，再用样本频率估计总体，计算出七、八年级获得称号的总人数． 【小问1详解】 解：八年级各等级人数： ， ， ， ， 将八年级个成绩从大到小排列，第、个数据在等级，等级数据为：，，，，，，，， 第个数据：，第个数据：， ∴八年级中位数， 七年级各等级人数： ，，， 将七年级个成绩从小到大排列，第、个数据都在等级（），中位数在之间． ，七年级中位数， 故小明是七年级学生． 【小问2详解】 解：七年级各等级中间值：，，，， ； 【小问3详解】 解：七年级等级频率：，八年级等级频率： 七年级获称号人数， 八年级获称号人数， 总人数， 答：该校七、八年级共有名学生获得垃圾分类小能手的称号． 24. 如图所示，在中，于，于，且． （1）求证：为菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ∴， ， 是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理证明； （2）结合菱形的性质和勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在菱形中，， ∴，， 在中，， ∴，， ． 25. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，依题意，得，然后进行求解即可； （2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为w人，由题意易得，，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为w人， 则． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大． 26. 在中，点E在上，． （1）如图1，求证：是直角三角形； （2）如图2，是的角平分线，过点E作的垂线，垂足为点G，交于点F，交延长线于点H，K是上一点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是的中点，连接，过C作交的延长线于点N，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明： 在中， 即 ∴，即 ∴ 是直角三角形； （2） 证明： 在中，， 在中， 是角平分线 ． 又 即． 即； （3）1 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，即可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和余角性质证得，再根据角平分线的定义得到，进而再利用直角三角形的两个锐角互余得到，结合已知可得结论； （3）过K作于点Q．先利用直角三角形斜边中线性质得到．利用等腰三角形的性质及等量代换可得，则，证明得到，；利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明，利用直角三角形的斜边中线性质创造条件分别证明和得到，，， 设，利用勾股定理列方程求得，再设，利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过K作于点Q． 是斜边中线， ． ， ． 即， ， 而， , 由（2）知， ， ，又 ， ， ， ，又 ， ，即 又且 ， ，， 设 在中， 在中， 则 解得：， ，， 在中， ，， ∴，， 设，则， 在中， 则 解得： ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 27. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； （3）如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）①；②存在， 【解析】 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【小问1详解】 解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． 【小问2详解】 解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． 【小问3详解】 ①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $