精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

黑龙江省哈尔滨市双城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据：2，3，4，6，6，5，这组数据的中位数、众数分别是（　　） A. 3，6 B. 5，3 C. 3.5，6 D. 4.5，6 4. 将一次函数的图象向上平移4个单位，所得函数图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 13 5. 在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 0.3，0.4，0.5 C. 3，5，7 D. ，， 6. 在中，，，点是内一点，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4 D. 4 7. 如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 10. 如图，正方形的面积为16，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（   ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是____． 12. 图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则______．（填“”，“”，“”） 13. 点在一次函数图象上，则该直线经过_________象限． 14. 如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为________． 15. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为___________． 16. 点、在一次函数的图像上，则_______（用“”、“”或“”填空）． 17. 如图，在正方形中，对角线与相交于点 O，，点E，F分别在边上，，，则的长为________． 18. 如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 19. 已知：在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在直线AD上，连接BE，CE，若BE＝AD，则∠BEC的大小为_____度． 20. 如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，则①垂直平分；②；③；④，下列结论正确的是___________填编号 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中作图保留作图痕迹 （1）在图1中，画的中位线，使点D在边上，使点E在边上； （2）在图2中，以为对角线，画正方形，其中M、N都在格点上． 23. 人工智能简称为“”已成为推动全球创新和经济增长的重要力量，某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“交互设计”、“工程实践”、“综合技能”、“创新挑战”、“轨迹普及”五项“”社团课程．为了了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图均不完整 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整． （2）求在扇形统计图中“轨迹普及”的百分比和表示“创新挑战”的扇形的圆心角的度数． （3）若该校学生的总人数是3000人，请你估计有意向参加“创新挑战”社团课程的学生有多少人？ 24. 如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为4，求菱形边长． 25. 某企业的一个生产组有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元，在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品． （1）求出此车间每天获取利润（元）与（人）之间的函数解析式； （2）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为最多派多少名工人去生产甲种产品才合适？ 26. 如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． （1）探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明： （3）如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 27. 已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点． （1）直线的函数表达式为：______；点的坐标为______；（直接写出结果） （2）点为线段上的一个动点，连接． 若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； 点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市双城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意； B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； C．不是二次根式，故不符合题意； D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法、加减法和除法，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、不能合并，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 3. 一组数据：2，3，4，6，6，5，这组数据的中位数、众数分别是（　　） A. 3，6 B. 5，3 C. 3.5，6 D. 4.5，6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到的顺序排列为：2，3，4，5，6，6，则中位数为， ∵6出现的次数最多， ∴众数为6， 故选：D． 4. 将一次函数的图象向上平移4个单位，所得函数图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，解题的关键在按照一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出新函数解析式，然后将点代入其中，解出即可求得a的值． 【详解】解：∵将一次函数的图象向上平移4个单位， ∴平移后的新函数为：， 又∵平移后的新函数图象经过点， ∴把代入， 可得：， 故选A． 5. 在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 0.3，0.4，0.5 C. 3，5，7 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A、 ，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故该选项符合题意； C、 ，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 在中，，，点是内一点，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，延长，过点C作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，． 【详解】解：延长，过点C作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：D． 7. 如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键． 连接，由矩形的性质得，利用中位线性质可得，根据勾股定理计算出，可得，利用线段和差求出长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵F是的中点， ∴OF是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 8. 如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．根据图像以及两交点，点的坐标得出即可． 【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点， ∴观察图像可知解集为， 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关整数点是解题的关键． 由平行四边形的性质和作图过程、等腰三角形的判定推出，根据勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ，，， ， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，正方形的面积为16，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，利用分类讨论的思想解题是关键．分别求出点在正方形三边时的函数解析式，进而判断图象即可． 【详解】解：正方形的面积为16， ，， 设点运动的路程为，的面积为， 当点在边上时，， ； 函数图象随的增大而增大； 当点在边上时，的高恒为4， ； 函数图象为平行于轴的线段； 当点在边上时，， ， 函数图象随的增大而减小， 只有B选项图象符合， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解决本题的关键是根据二次根式有意义的条件得到关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 系数化为可得：． 故答案为： ． 12. 图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则______．（填“”，“”，“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定， ∴， 故答案为：． 13. 点在一次函数图象上，则该直线经过_________象限． 【答案】一，二，四． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特点， 以及一次函数经过的象限，把点代入，求出k的值，再根据，可得出该直线经过一，二，四象限． 【详解】解：把点代入， 得出：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵，， ∴该直线经过一，二，四象限， 故答案为：一，二，四． 14. 如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据菱形的性质，解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据题意列得算式为，再结合已知条件确定x的最小正整数值即可． 【详解】解：由题意得， 要使该式为有理数，则要为平方数， 当取最小正整数时，，在此范围内的最小平方数为， ∴， 解得：． 故答案为： ． 16. 点、在一次函数的图像上，则_______（用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，对角线与相交于点 O，，点E，F分别在边上，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明得到，，再求出，则可由勾股定理得到，再由勾股定理得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， ， ∵OE⊥OF， ， ， ， ∴，， ∴． 即． ∴在中，由勾股定理得：． 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，推出当时，四边形周长的最小是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，得到，再推出四边形周长，然后求出的最小值即可． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形周长 ， 四边形周长最小时，只要最小即可， 过点O作交于点，交于点，如图， 此时的最小值为，四边形周长的最小值， ， 由勾股定理，得， ， ， 四边形周长的最小值， 故答案为： 19. 已知：在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在直线AD上，连接BE，CE，若BE＝AD，则∠BEC的大小为_____度． 【答案】75或15 【解析】 【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，BE＝AD，由矩形的性质得出BC＝AD＝BE＝2AB，∠BAE＝90°，AD∥BC，得出BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE，∠CBE＝∠AEB，得出AB＝ BE，证出∠AEB＝30°，得出∠CBE＝30°，即可得出结果；②点E在DA延长线上时，BE＝AD，同①得出∠AEB＝30°，由直角三角形的性质得出∠ABE＝60°，求出∠CBE＝90°+60°＝150°，即可得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当点E在线段AD上时，BE＝AD，如图1所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝BE＝2AB，∠BAE＝90°，AD∥BC， ∴BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE，∠CBE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝30°， ∴∠BEC＝∠CBE＝（180°﹣30°）＝75°； ②点E在DA延长线上时，BE＝AD，如图2所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝BE＝2AB，∠ABC＝∠BAE＝∠BAD＝90°， ∴BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE， ∴AB＝BE， ∴∠AEB＝30°， ∴∠ABE＝60°， ∴∠CBE＝90°+60°＝150°， ∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣150°）＝15°； 故答案为75或15． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解题的关键． 20. 如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，则①垂直平分；②；③；④，下列结论正确的是___________填编号 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由正方形和折叠的性质可得，，证明可得，即可由线段垂直平分线的性质判断①；由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求，可判断②；利用三角形的面积公式可得，即可判断③；由，可得即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴；故②正确； ∵，，， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，根据分式的混合运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中作图保留作图痕迹 （1）在图1中，画的中位线，使点D在边上，使点E在边上； （2）在图2中，以为对角线，画正方形，其中M、N都在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，矩形的性质，中位线定义，解题的关键是熟练掌握格点的特点． （1）根据矩形的对角线互相平分，找出边的中点D，边的中点E，然后连接即可； （2）根据网格特点，作，且与互相垂直平分即可得出正方形． 【小问1详解】 解；如图，即为所求作的中位线； 【小问2详解】 解：如图，正方形即为所求作的正方形； 23. 人工智能简称为“”已成为推动全球创新和经济增长的重要力量，某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“交互设计”、“工程实践”、“综合技能”、“创新挑战”、“轨迹普及”五项“”社团课程．为了了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图均不完整 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整． （2）求在扇形统计图中“轨迹普及”的百分比和表示“创新挑战”的扇形的圆心角的度数． （3）若该校学生的总人数是3000人，请你估计有意向参加“创新挑战”社团课程的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2）， （3）1200人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体的相关知识．根据选择“AI交互设计”的人数及所占百分比求得样本总人数是解决本题的关键． （1）由交互设计人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以综合技能对应百分比求出其人数即可补全图形； （2）用轨迹普及人数除以总人数即可得出其所占百分比，用乘创新挑战人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中参加“创新挑战”社团课程的学生人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：∵被调查的总人数为（人）， “综合技能”人数：（人）， 条形图补全如下： 【小问2详解】 解：∵根据条形图可知“轨迹普及”人数为：9人， 由（1）知：总人数为60人， “轨迹普及”的百分比为， “创新挑战”的扇形的圆心角度数：， 故在扇形统计图中“轨迹普及”的百分比为，表示“创新挑战”的扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计最有意向参加“创新挑战”社团课程的学生有1200人． 24. 如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为4，求菱形边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据菱形的面积为4，得出，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 证明：，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，交于点O，如图所示： 四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 25. 某企业的一个生产组有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元，在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品． （1）求出此车间每天获取利润（元）与（人）之间的函数解析式； （2）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为最多派多少名工人去生产甲种产品才合适？ 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出y与x之间的函数解析式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据每天获取利润每生产一个甲种产品可获得利润生产甲产品的人数每名工人每天可生产甲种产品的个数+每生产一个乙种产品可获得利润生产乙产品的人数每名工人每天可生产乙种产品的个数写出y与x之间的函数解析式即可； （2）根据题意，列关于x的一元一次不等式并求其解集，从而求得x的最大值即可． 【小问1详解】 解：， 每天获取利润（元）与（人）之间的函数解析式为 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得：． 答：最多派4名工人去生产甲种产品才合适． 26. 如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． （1）探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明： （3）如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1） （2） 解：猜想：与的位置关系是． 证明：如图②，延长交于点， 是线段的中点， ． 四边形、四边形是菱形， ∴，，， ． 又， ． ，． ． ． ． 又， ． （3） 猜想：不变． 证明：如图③，延长到点，使， 连接，，． 是线段的中点， ． 又， ． ，． 四边形、四边形是菱形， ∴，，，， ，． 又， ∴， ． 点，，在一条直线上，， ． ． ， ． 又， ． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． （1）延长交于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，然后利用等腰直角三角形的性质可得结论； （2）延长交于点，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，然后利用等腰三角形的性质可得结论； （3）延长到点，使，连接，，．证明．得到，．由菱形的性质结合已知可得，，，再证明得到，然后利用等腰三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解： 如图①，延长交于点， 是线段的中点， ． 四边形、四边形是正方形， ∴，，， ． 又， ， ，． ， ， 是等腰直角三角形 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点． （1）直线的函数表达式为：______；点的坐标为______；（直接写出结果） （2）点为线段上的一个动点，连接． 若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； 点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入中，求出，再联立，求出点的坐标即可； （2）分两种情形或分别构建方程解答即可； 当点落在轴正半轴上（即为点）时，过点作，，垂足分别为点、，由翻折的性质得，所以，由（2）知，即，所以，由勾股定理得，求得，即可得解． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 直线的函数表达式为； 联立， 解得：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：直线将的面积分为两部分， 或， 在中，当时，， ， 在中，当时，， ， ， 如图中，过点作轴于点，则， ， 或， 设，由题意知， 过点作轴于点，则， 或， 解得：或， 当时，；当时，， 的坐标为或； 存在，点的坐标为， 当点落在轴正半轴上（即为点）时，如图： 过点作，，垂足分别为点、， 由翻折得， ， 由（2）知，即， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 点的横坐标为， 在中，当时，， ， 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两个一次函数的交点坐标，求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，翻折的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $