精品解析：辽宁省朝阳市建平县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4. 一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边长不可能是（ ） A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 9cm 5. 下列各题中，适合用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（ ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A. B. C. D. 9. 如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 10. 如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 如图，，若，，则的度数为______． 12. 一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有_______个红球． 13. 如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 14. 若，，则__________． 15. 如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值： 其中，． 18. 如图，中，是延长线上一点，，，，求证：． 19. 校体育队一名田径运动员以每秒的速度绕长方形体育馆进行跑步训练，抽象成如图1所示的数学模型，点H(运动员)按的路径匀速运动，跑到点 D 停止．已知，设点H的运动时间为．的面积 与时间的关系如图2所示． （1）图2的两个变量中，自变量为 ，因变量为 ； （2） ， ， ； （3）当的面积为 时，求t的值． 20. 某校在2025年国际数学日中，围绕“数学、艺术与创意”的主题开展了数学嘉年华活动．活动共有10个项目（飞镖24点、“扫雷”游戏、数字找规律、折纸挑战……），由4个小组分别承办若干个项目，如下表所示： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 项目个数（个） 2 3 2 3 根据以上信息回答下列问题： （1）小明随机参加一个项目，求恰好参加第4组承办的项目的概率； （2）如图，此为“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明参加“扫雷”游戏时，他先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是A区域外的小方格上？请说明理由． 21. 综合与实践 如图，某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得．（即平分） （1）经过讨论，得到如表两种作法，补全表格中的说明过程和依据； 方法一 方法二 作图步骤 1．在上任取一点，作． 2．在射线上作．点即为所求． 1．在和上分别取点，使得． 2．作的垂直平分线． 3．作的垂直平分线，与直线交于点，点即为所求． 图示 理由 （已作） （_________）， __________________ （已作）， _____________， ． 连接，． 垂直平分（已作）， _________， 同理可得，， ． （已作），， （_________）， ． （2）请你用不同于上面的尺规作图方法在图①中求作点（保留作图痕迹，不写作法）． 22. 小明在数学课外书上看到了这样一道题： 如果x满足，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设，，则，， 所以． 方法2：因为，所以，所以， ． （1）若，求的值．（任选一种方法解答） （2）如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40， ①图中__________，__________（用含x的代数式表示） ②求图中阴影部分的面积和． 23. 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 （1）【问题解决】若，求的度数． （2）如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，符合题意； B. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 2. 2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 如图所示，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义解答即可． 【详解】解：∵点到边的垂线段是， ∴边上的高是， 故选：B． 【点睛】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答． 4. 一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边长不可能是（ ） A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 9cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案． 【详解】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得： 5﹣4＜x＜5+4， 即1＜x＜9， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5. 下列各题中，适合用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特点，平方差公式要求两个二项式相乘，一项相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解： A． 中，没有对应相同的项，不满足平方差公式结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； B． 中，相同项为 ，相反项为和，满足平方差公式结构，可以用平方差公式计算，符合题意； C．，两项均互为相反数，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； D．，两项都相同，没有互为相反数的项，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 6. 如图，是过直线上点O的一条射线，于O，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先，根据，得，，再根据平角的定义得，然后，由，得，进而得，最后，可得的度数为． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 8. 下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（ ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键． 【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 9. 如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可．解答本题的关键是明确平行线的判定方法． 【详解】解：， ，不能得到，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ， ，不能得到，故④不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，则当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∴的周长的最小值为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 12. 一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有_______个红球． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式即可得到结论．熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：袋子中红球的个数为（个． 故答案为：6． 13. 如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：①当点在上，点在上，②当在上，在上，③当在上重合时，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】解：当在上，在上时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点运动秒； 当在上，在上时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当在上重合时，如图， 则 ∴， 即 解得：， 综上可知：或． 14. 若，，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆用将原式整理为，然后进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 15. 如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴①，②，③，④， 由得，， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值： 其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先运用整式的混合运算法则化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，中，是延长线上一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，，再通过等量代换得到，证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． 19. 校体育队一名田径运动员以每秒的速度绕长方形体育馆进行跑步训练，抽象成如图1所示的数学模型，点H(运动员)按的路径匀速运动，跑到点 D 停止．已知，设点H的运动时间为．的面积 与时间的关系如图2所示． （1）图2的两个变量中，自变量为 ，因变量为 ； （2） ， ， ； （3）当的面积为 时，求t的值． 【答案】（1）运动时间t，的面积S （2），40，675 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据自变量和因变量的定义即可得； （2）根据图2函数分别分析出当点H运动到点B、C、D处的路程，求出，再求出当点H在上时的面积即可； （3）当的面积为 时，点H在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【小问1详解】 解：图2的两个变量中，自变量为运动时间t，因变量为的面积S， 故答案为：运动时间t，的面积S； 【小问2详解】 解：由图2得，当时，S随t的增大而增大， ∴当点H运动到点B时，， ∴， 当时，S的值不变， ∴当点H运动到点C时，， ∴， ∴，即， 当点H运动到点D处时，， ∴， 故答案为：，40，675； 【小问3详解】 解：当点H在上时，的面积， 当时，， ∴， ∴， 当点H在上时，的面积， 当时，， ∴， ∴， 综上，点H的运动时间为或． 20. 某校在2025年国际数学日中，围绕“数学、艺术与创意”的主题开展了数学嘉年华活动．活动共有10个项目（飞镖24点、“扫雷”游戏、数字找规律、折纸挑战……），由4个小组分别承办若干个项目，如下表所示： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 项目个数（个） 2 3 2 3 根据以上信息回答下列问题： （1）小明随机参加一个项目，求恰好参加第4组承办的项目的概率； （2）如图，此为“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明参加“扫雷”游戏时，他先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是A区域外的小方格上？请说明理由． 【答案】（1） （2） 小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．理由如下： （A区域踩中地雷）， （A区域外踩中地雷）， ∵， ∴小明的第二步应踩在A区域外的小方格上． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用第4组承办的项目数除以项目总数即可得到答案； （2）分别计算出A区域内踩雷的概率和A区域外踩雷的概率，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵10个项目，其中第4组承办了3个项目，且每个项目被选择的概率相同， ∴小明随机参加一个项目，恰好参加第4组承办的项目的概率为． 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 如图，某数学小组用尺规作图在内求作一点，使得．（即平分） （1）经过讨论，得到如表两种作法，补全表格中的说明过程和依据； 方法一 方法二 作图步骤 1．在上任取一点，作． 2．在射线上作．点即为所求． 1．在和上分别取点，使得． 2．作的垂直平分线． 3．作的垂直平分线，与直线交于点，点即为所求． 图示 理由 （已作） （_________）， __________________ （已作）， _____________， ． 连接，． 垂直平分（已作）， _________， 同理可得，， ． （已作），， （_________）， ． （2）请你用不同于上面的尺规作图方法在图①中求作点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；；；； （2）如图所示，射线即为的角平分线，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）方法一中根据同位角相等，两直线平行得到，进而得到，根据，得到，进而得到；方法二中根据垂直平分，垂直平分，得到，进而根据证明，根据对应角相等得到． （2）根据判定三角形全等的原理，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，射线即为的角平分线，点即为所求． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 小明在数学课外书上看到了这样一道题： 如果x满足，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设，，则，， 所以． 方法2：因为，所以，所以， ． （1）若，求的值．（任选一种方法解答） （2）如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40， ①图中__________，__________（用含x的代数式表示） ②求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1） （2）①，；②144 【解析】 【分析】（1）设两个平方项为和，利用和的关系式求出乘积或展开原式整理成二次方程，再代入待求乘积的展开式中整体求值； （2）①由长方形边长关系和已知，直接用总长度减去表示和； ②阴影面积是两个正方形的面积和，即，设，，由长方形面积条件得乘积，再根据用平方关系求出平方和． 【小问1详解】 方法1：设，，则 因为，所以， 所以． 方法2：因为， 所以 所以，， 所以， ． 【小问2详解】 ①，，， ，． ②因为长方形的面积为40， 所以，，即， 设，，则， 所以 ． 所以图中阴影部分的面积和为144． 23. 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 （1）【问题解决】若，求的度数． （2）如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，得到；  ①根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据折叠的性质即可得到结论；  ②根据上述过程可得：，求得，得到，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，  ，  ． 四边形是长方形，  ，  ； 【小问2详解】 解：四边形是长方形，  ∴，  ，  ． 继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，  ，  ，  ；  ②根据上述过程可得：，          ，  ，  ，  解得，  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $