精品解析：辽宁省朝阳市建平县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024－－2025 学年度第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. “接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ） A. 两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B. 现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C. 现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 D. 现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛出的篮球不会下落 B. 射击运动员射击一次，命中10环 C. 早晨太阳从东方升起 D. 任意掷一枚硬币，落地后正面向上 4. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ） A. 7 B. 12 C. 9 D. 9或12 5. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 7. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 8. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 10. 如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A. n B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0.933 0920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是__________．（结果精确到0.01） 12. 北普陀山是锦州著名景点之一，五一期间，某中学组织20名教师和名学生到北普陀山开展活动，已知成人票每张50元，学生票每张25元，若设门票的总费用为元，则与之间的关系式为______________． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若 则 的周长_____________． 14. 如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为________． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1） （2）先化简，再求值： ，其中 ， 17. 如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B+∠DAB＝180°．证明：∠E＝∠3． 18. 数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； （2）林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； （3）若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 19. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求度数． 20. 如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． （1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； （2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． （3）请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 21. 同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： （1）请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ （2）设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们平方差是8的整数倍． 22. 【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】如图1，正方形是由长为a、宽为b的4个全等的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系． （1）请你写出这个等量关系． （2）根据上述关系，已知，求的值． 【方法迁移】如图2，长方形是由8个长为a、宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 23. 问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，P为上一点，思考当点P在什么位置时，与是偏等积三角形？并说明理由． 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角 请问与是偏等积三角形吗？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－－2025 学年度第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. “接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将表示为即可． 详解】解：由题意可得， 故选：B． 2. 如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ） A. 两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B. 现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C. 现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 D. 现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释； 现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛出篮球不会下落 B. 射击运动员射击一次，命中10环 C. 早晨太阳从东方升起 D. 任意掷一枚硬币，落地后正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据定义即可作出判断． 【详解】解：A、抛出的篮球不会下落，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件，故本选项不符合题意； C、早晨太阳从东方升起，是必然事件，故本选项符合题意； D、任意掷一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ） A. 7 B. 12 C. 9 D. 9或12 【答案】B 【解析】 【分析】先求出a和b的值，再利用三角形的三边关系判断出该等腰三角形的三条边长，它们的和即为周长． 【详解】解：∵， ∴，, 则以a、b为边长的等腰三角形的三边长分别为2，5，5或2，2，5； 由三角形任意两边之和大于第三边， ∴该等腰三角形的三边长分别为2，5，5； ∴周长为2+5+5=12； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方和绝对值的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等内容，解决本题的关键是求出a和b的值，能根据三边关系判定三角形的三条边长等，本题较典型，考查了学生对基础知识的理解与运用． 5. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算、去括号法则、乘法公式等知识，熟练掌握幂的运算法则和公式是关键．根据幂的运算、去括号法则、乘法公式等进行计算即可得到答案． 【详解】A. ，故选项计算错误，不符合题意； B. ，故选项计算正确，符合题意； C. ，故选项计算错误，不符合题意； D. ，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B 6. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 7. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：． 8. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 若，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，建立方程组求解和，再计算的值即可． 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为：， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A 10. 如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A. n B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是__________．（结果精确到0.01） 【答案】0.97 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97， 故答案为：0.97． 12. 北普陀山是锦州著名的景点之一，五一期间，某中学组织20名教师和名学生到北普陀山开展活动，已知成人票每张50元，学生票每张25元，若设门票的总费用为元，则与之间的关系式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式．解题的关键是明确学生的票价加老师的票价等于总票价． 根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式． 【详解】解：依等量关系式“总费用老师费用学生费用”可得：． 故答案为：． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若 则 的周长_____________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了作图—作已知线段的垂线，垂直平分线的性质，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 的周长． 故答案为：13． 14. 如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为________． 【答案】±4 【解析】 【详解】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63， ∴(2a+2b)2-1=63, ∴(2a+2b)2=64, ∴2a+2b=±8, ∴a+b=±4. 故答案为±4. 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. 计算： （1） （2）先化简，再求值： ，其中 ， 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的化简求值，涉及零指数幂，负整数指数幂，绝对值求解，完全平方公式，平方差公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则为解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，乘方，绝对值的意义等知识计算各项再算加减法即可； （2）先利用乘法公式以及单项式乘多项式等运算法则计算中括号里的式子，再合并同类项算除法，最后将，代入式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当时， 原式． 17. 如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B+∠DAB＝180°．证明：∠E＝∠3． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由角平分线的性质和平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵CE平分∠DCB， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠B+∠DAB=180°， ∴DE∥BC， ∴∠E=∠1， ∴∠E=∠3 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握平行线的性质. 18. 数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； （2）林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； （3）若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【答案】（1）自变量：小球滑行的时间，因变量：小球滑行的速度 （2）①4；②当小球的滑行时，小球的速度为 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程． （1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②由可知，，用时，所以点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与20比较即可． 【小问1详解】 解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． 故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度． 【小问2详解】 解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， 小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ②， ，则用时， 点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为； 【小问3详解】 解：由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了， 故段的． 第一次在段运动时的路程． ， 达不到斜板顶端． 19. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． 【小问1详解】 解：， ， 即． 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ． ， ， ． 20. 如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． （1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； （2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． （3）请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【答案】（1）是，4，见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论； （3）根据概率的求解得出答案． 【小问1详解】 解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示： ， 故答案为：，4； 【小问2详解】 正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份， 所以停在阴影区域的概率为； 【小问3详解】 如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）． 21. 同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： （1）请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ （2）设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们的平方差是8的整数倍． 【答案】（1），（答案不唯一） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）仿照已知等式确定出两个算式即可； （2）列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断． 【小问1详解】 解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：设两个连续奇数为（其中为正整数），则它们平方差为 ， 所以它们的平方差是8的整数倍． 22. 【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】如图1，正方形是由长为a、宽为b的4个全等的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系． （1）请你写出这个等量关系． （2）根据上述关系，已知，求的值． 【方法迁移】如图2，长方形是由8个长为a、宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 【答案】[方法应用]（1）；（2）16；[方法迁移]①，② 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的运用，代数式求值，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则． （1）根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可； （2）利用（1）得出的关系式进行求解即可； （3）①用两种方法表示长方形的面积，得出等式，即可得出a，b之间的数量关系； ②根据长方形的宽得出，结合，求出a、b的值，然后得出小长方形的面积即可； 【详解】解：（1）由图可知：， （2）， ， ， 方法迁移： ①长方形的面积为，小长方形的面积为， ，即， 即， ， ， ． ②， ， ， 解得， ， 小长方形的面积为． 23. 问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，P为上一点，思考当点P在什么位置时，与是偏等积三角形？并说明理由． 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角 请问与是偏等积三角形吗？说明理由． 【答案】（1）当点P在中点时，与是偏等积三角形，理由见解析；（2）6；（3）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、同角的余角相等、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）设点 C到的距离为h，根据当点 P在中点时，，，根据即可得到结论； （2）设点A到的距离为n，则 ，先证明 ，结合三角形三边关系以及为偶数即可得出结果； （3）过A作于M， 过B作于N， 证明，得到，根据三角形面积的计算，推出与不全等，得出结论 【详解】解：当点 P在中点时，与是偏等积三角形，理由如下： 设点 C到的距离为h，则 当点 P在中点时， ， ， 与不全等， ∴与是偏等积三角形 （2）设点A到的距离为n，则 ， 与是偏等积三角形， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵线段的长度为正整数， 的长度为偶数， 在中，， ， 即：， ； （3）①与是偏等积三角形，理由如下： 过A作于M， 过B作于N， 如图3所示： 则， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$