吉林省吉林市田家炳高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

参考答案 题号 6 8 9 10 11 答案 B D B C AD BCD BC 12.2 16 13.3 17 14.108 15.(1)3V2 2 (2)3 【详解】1)设5=a,D=6,DD=-C,由意可H=1,=4 ab=0.a:c=lcos∠AAB=-2万.c=BCOSLA'AD=-2 BD P=(BA+AD+DD)2=(-a+B+c)=a2+B2+c2-2a.B-2a.c+2B.c =1+1+16-0+4-4=18, 所BD=35,副BD的长为3V2, (2)因为AC=AB+AD=a+b, 所以 BD.AC=(-a+B+c)(a+B)=-@2-a.B+a.B+B2+a.c+B.c =-1-0+0+1-2-2=-4, 又4d=a+-后2+2a-6+=5 -4 cos(BD,AC)= BD'.AC 、2 BD AC 3V2×2=-3 所以 22 所以直线BD'与AC所成角的余弦值为33 16.(1)a=0.030. （2)84: (3)总平均数为65：总方差为37. 【详解】(1)因为每组小矩形的面积之和为1， 所以(0.05+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,则a=0.030: (2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.05+0.010+0.020+0.030)x10=0.65 落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)x10=0.9 设上四分位数为m,由0.65+(m-80)x0.025=0.75,得m=84, 故上四分位数为84： (3)成绩在[50,60)的市民人数为100x0.1=10, 成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20， =10x57+69×20=65 故这两组成绩的总平均数为 10+20 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 -8[7+(657-65]30[4+o0-]=7 Bs5π 17.(1) 6 3 (2)3或V5 【详解】(D由条件m1i可知.(si1-sinB)(a+b)+(c+3a)sinC=0 由正弦定理可知（a-a+b)+(c+v3ac=0. 整理为a2-b2+c2+V3ac=0, cosB=a'+cbac 3 由余弦定理可 2ac 2ac 2, 因为B∈(0，)，所以B=6: 7=a2+c2-2ac V3 2 (2)由余弦定理可知， 即a2+c2+V3ac=7,o BD=厨+aC）.48D-B时+8C+2BA-BC. 即a2+c2-V3ac=l@, 由O②可知，a2+c2=4,ac=5,解得：a=1,c=V5或a=V5,c=1, a_3 a=5 所以c3 18.【详解】(1) B D 设BC∩CB=O,连接DO, :在三棱柱ABC-4B,C中，4AL底面ABC,且△ABC为正三角形， ∴三棱柱4BC-AB,G为正三棱柱，侧面CCBB为正方形， :O为BC的中点，又：D为4C的中点，在△4CB中有D0AB, :ABg平面BCD,DOc平面BCD,AB,∥平面BCD: (2)连接BD, :4A上底面ABC,BDC平面ABC,AA⊥BD 又：△ABC为正三角形，D为AC的中点，·AC⊥BD, 又：AANAC=A,又：AAc平面AACC,ACc平面AACC, BD⊥平面AACC,又：BDc平面BCD,平面BCD上平面AACC: (3)由(2)可知BD1平面44CC,:DC即为BC在平面AACC内的射影， ,∠BCD即为BC与平面A4CC所成的角， :三棱柱MBC-4B,C为正三棱柱，且M4=AB=6, BD-948-35.c-VC+cc=6+3=35 x0-肥等9 19.【详解】(1)因为AB=AD,且点M是BD的中点， 所以AM⊥BD, 因为△ABD是等腰直角三角形，BD=2,BD=2V2,∠CBD=45°， 则DC=VBD2+BC2-2BD·BCc0s45°=2. 则BD+DC2=BC2,得BD LDC, 因为点M,N分别是BD,BC的中点，所以NIIDC,即BD⊥MN, AM∩MN=M,且AM,MNc平面AMN, 所以BD⊥平面AMN,且BDc平面BCD, 所以平面BCD⊥平面AMW: AP_NR_NO-1(AER) (2)在BN线段取点R,使得PB RB QD M:- B4 RN 从而易得PRIIAN且RO/BD,A=∠POR,O,=∠QPR 另一方面，AM⊥BD,MN⊥BD,从而O=∠AMN, 所以AM⊥BD,MN⊥BD,AM∩MN=M,AM,MNc平面AMN, 所以BD⊥平面AMN,ANC平面AMN, 所以BD⊥AN, 因为PRIIAN,RQ/IBD 所以 PRQ= 2 从而 +8-54 .8+子任 sing +sin,=sincossin] 则 吉林市田家炳高级中学2025－2026学年下学期高一年级期末考试 数学学科试卷 满分：150分；考试时间：120分钟；命题审题：高二年级数学学科命题组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：共8题，每题5分，共40分． 1．样本数据1，1，2，3，3，4，5，5的第70百分位数为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ） A．60 B．90 C．120 D．150 4．设，向量，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．在中，角，，的对边分别为，，，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和，在同一水平面内，则该建筑物的高为（ ） A． B． C． D． 8．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D．按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 10．将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（ ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D．过圆锥顶点的截面面积的最大值为 11．已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（ ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分． 12．已知复数是纯虚数，则实数=______ 13．如图，在菱形中，，，为上靠近于的三等分点，则的值是______ 14．随机投掷3枚质地均匀的正方体骰子（6个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），则3枚骰子正面朝上的点数之和为完全平方数的概率为______ 四、解答题：共5小题，77分． 15．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为4，且，求： （1）的长； （2）直线与所成角的余弦值． 16．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； 18．如图，在三棱柱中，底面，且为正三角形，，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成的角的正切值． 19．在直角梯形中，，，（如图1），把沿翻折，使得平面，连接，，分别是和中点（如图2）． （1）证明：平面平面； （2）若、分别为线段与上一点，使得（如图3），令与和所成的角分别为和，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $