精品解析：浙江省台州市路桥区2025-2026学年第二学期八年级期末数学试题

2025学年第二学期八年级期末试题 数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ∵选项A中，的被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件； 选项B中，，被开方数4是能开得尽方的数，不满足条件； 选项C中，，被开方数8含能开得尽方的因数4，不满足条件； 选项D中，，被开方数是小数，即含分母，且能开得尽方，不满足条件． 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：四边形是平行四边形，  ， 又，  ，  . 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； B选项，根据二次根式乘法法则可得，∴B正确； C选项，∵与不是同类二次根式，不能合并，∴C错误； D选项，∵，∴D错误． 5. 某商店销售六种不同型号的货品，一段时间内的销售量如下表所示： 货品型号 A B C D E F 销售量（件） 2 4 5 13 8 7 如果每种型号的货品销售利润都相同，该商店店主决定多进一些D型号货品，那么影响店主决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 众数 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 每件货品的销售利润相同，店主选择多进D型号货品，是因为D型号的销售量最高，店主最关心哪款货品的销售量最大， 又∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数值，可以反映出销售量最高的货品， ∴ 影响店主决策的统计量是众数． 6. 用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 7. 如图，在中，的平分线交于点P．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得出内错角相等，进而证得为等腰三角形，求出的长，最后利用线段的和差关系求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 8. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 9. 如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（ ） A. 周长变小 B. 面积变大 C. 两条对角线的夹角的度数变大 D. 两条对角线长度的和变小 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，如图，连接，，，，再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角线的长，再逐一判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵将一个正方形变为一个含角的菱形， ∴前后变化边长不变，即它们的周长相等，故A错误； 如图，连接，，，， ∵四边形是正方形，四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形，， 它们的对角线的夹角都为，故C错误， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为，两条对角线的和为， ∵正方形的面积为，两条对角线的和为，且， ∴变形后面积变小了，故B错误， ∵，且， ∴， ∴变形后两条对角线的和变小了，故D正确． 10. 关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得： ， 解得． 12. 如图，福星阁是路桥十里长街历史文化街区的核心地标之一，它的底部是内角和为的多边形，则这个多边形的边数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和定理可得：， 解得，即这个多边形的边数是． 13. 如图是一组数据的箱线图，则这组数据的下四分位数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据箱线图的结构特征，确定下四分位数在图中的位置，即矩形箱体的下底边，直接读取该位置对应的纵轴数值即可． 【详解】解：由箱线图的定义可知，箱线图主要由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值组成． 其中，下四分位数对应矩形箱体的下底边． 观察题中所给的箱线图，可以看到矩形箱体的下底边对应的纵轴数值为60，因此． 14. 如图，是正方形外一点，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，结合已知条件证得是等边三角形，即，进而求出的度数，利用等腰三角形的性质求出，同理可得，最后利用角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理可得， ∴． 15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 【答案】7 【解析】 【分析】观察杨辉三角中每一行第三个数字的变化规律，归纳出第行第三个数字的通项公式，建立方程求解行数． 【详解】解：由图可知：第3行从左往右数的第3个数字为1，即； 第4行从左往右数的第3个数字为3，即； 第5行从左往右数的第3个数字为6，即； 归纳规律：第行第三个数字为， 令， 整理得， 解得，（舍去）， 故数字15是从第7行中取出的． 16. 如图，在矩形中，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点O作于M．根据矩形性质得到，利用等腰三角形三线合一的性质可得点M为中点，利用三角形中位线的性质可得；如图：取的中点，连接，则，过F作于G，则，利用直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等边对等角等知识证明四边形是平行四边形，再证明可得，即；设，则，利用列方程可得，即，进而得到，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：过点O作于M． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴M是的中点，即， ∵， ∴， 如图：取的中点，连接，则，过F作于G，则， ∵， ∴，，即 ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴，解得：，即， ∴ ∵在中，， ∴，解得：（已舍去负值）． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握因式分解法是解题的关键． （1）提取公因式求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴或； 【小问2详解】 ∴或 19. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，且． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质即可求解； （2）旋转图形对应角相等，故由三角形内角和定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵将旋转得到， ∴． 20. 为了备战即将到来的青少年射击锦标赛，某市射击队计划从甲、乙两名选手中选拔一人参赛．教练对两人进行了5轮射击测试，测试成绩如下（单位：环）： 甲：7，8，9，8，10； 乙：5，10，9，7，10． 分析两组数据的统计量如下表： 统计量 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 8 8 乙 b 10 请根据所学的统计知识，解决下列问题： （1）在表格中，____________，____________； （2）根据以上信息，你认为选拔谁参加比赛更好？请至少从两个方面说明理由． 【答案】（1）， （2）选拔甲参加比赛更好，理由如下：甲的方差为，远小于乙的方差，则甲的发挥更稳定，比赛中失误更少，因此选甲更好．同时甲的平均成绩高于乙，整体成绩更优．（答案不唯一、合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）利用平均数、方差、中位数进行分析即可． 【小问1详解】 解：甲的5次测试成绩为7，8，9，8，10，则甲的平均数； 将乙的成绩从小到大排序为5，7，9，10，10，5个数据的中位数为第3个数据， 因此． 【小问2详解】 解：选拔甲参加比赛更好，理由略．（答案不唯一、合理即可） 21. 在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． （1）求该物体的入水速度；（结果保留根号） （2）若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）本次实验不会触发红色警报． 理由如下： ∵，， ∴本次实验不会触发红色警报． 【解析】 【分析】（1）先把代入公式即可得出v的值． （2）先计算出，然后再和30比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得：，负值舍去． 答：该物体的入水速度为． 【小问2详解】 解：略； 22. 如图，在菱形中，，按下列步骤操作： ①连结； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连结并延长交于点； ④将沿着方向平移得到． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵在菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∴； （2）四边形为矩形，理由如下： ∵沿着方向平移得到， ∴， ∴， 即， ∵在菱形中， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件证明为等边三角形，再由作图知平分，根据三线合一即可证明； （2）根据平移的性质和菱形的性质可证明四边形为平行四边形，因为，则题目可证； （3）利用直角三角形的性质和勾股定理可计算，则矩形周长可求． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长． 23. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）200，2000 （2）该玩偶的售价为44元 （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【小问1详解】 解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． 【小问2详解】 解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． 【小问3详解】 解：略． 24. 如图1，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，作点关于直线的对称点，连结，，交直线于点． ①求证：； ②如图3，连接，若，当的面积最大时，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）①证明：∵点B和点关于直线对称， ∴垂直平分线段，即E为的中点， 由（1）已证四边形是平行四边形， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， 即； ② 【解析】 【分析】（1）由已知可证得，，则题目可证； （2）①由题意可得E为的中点，为的中点，利用中位线定理得，则题目可证；②因为，所以的面积与的面积相等，故当时的面积最大，由题意可得，则，，均为等腰直角三角形，设，则，即可计算长，则题目可解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：①略； ②如图，连接， ∵， ∴的面积与的面积相等， 当时的面积最大， ∵垂直平分线段， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，，均为等腰直角三角形， ∵ 设，则， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期末试题 数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某商店销售六种不同型号的货品，一段时间内的销售量如下表所示： 货品型号 A B C D E F 销售量（件） 2 4 5 13 8 7 如果每种型号的货品销售利润都相同，该商店店主决定多进一些D型号货品，那么影响店主决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 众数 6. 用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 7. 如图，在中，的平分线交于点P．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（ ） A. 周长变小 B. 面积变大 C. 两条对角线的夹角的度数变大 D. 两条对角线长度的和变小 10. 关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 12. 如图，福星阁是路桥十里长街历史文化街区的核心地标之一，它的底部是内角和为的多边形，则这个多边形的边数为____________． 13. 如图是一组数据的箱线图，则这组数据的下四分位数是____________． 14. 如图，是正方形外一点，，则的度数为____________． 15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 16. 如图，在矩形中，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，则的长为________． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，且． （1）求的度数； （2）求的度数． 20. 为了备战即将到来的青少年射击锦标赛，某市射击队计划从甲、乙两名选手中选拔一人参赛．教练对两人进行了5轮射击测试，测试成绩如下（单位：环）： 甲：7，8，9，8，10； 乙：5，10，9，7，10． 分析两组数据的统计量如下表： 统计量 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 8 8 乙 b 10 请根据所学的统计知识，解决下列问题： （1）在表格中，____________，____________； （2）根据以上信息，你认为选拔谁参加比赛更好？请至少从两个方面说明理由． 21. 在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． （1）求该物体的入水速度；（结果保留根号） （2）若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 22. 如图，在菱形中，，按下列步骤操作： ①连结； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连结并延长交于点； ④将沿着方向平移得到． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，求四边形的周长． 23. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 24. 如图1，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，作点关于直线的对称点，连结，，交直线于点． ①求证：； ②如图3，连接，若，当的面积最大时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $