精品解析：浙江省杭州市西湖区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025学年第二学期八年级数学期终教学质量调研卷 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知的的值代入二次根式，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：当时， ， 即当时，二次根式的值为． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先进行左右移项，再进行提公因式分解因式即可求解方程． 【详解】解：由得 ，即 ，解得 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解决本题的关键． 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法四则运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项正确； D、，所以D选项错误． 故选：C． 4. 甲、乙、丙、丁四名跳远运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：米）和方差（单位：米2）如图所示，根据图中信息，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数大的成绩好，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可． 【详解】解：根据图中信息，四人中成绩好的是丙和丁， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 6. 已知1班和2班人数相等，统计一次“古诗词大赛”中两班同学积分，绘制箱线图如图所示，左侧箱线图代表班，右侧箱线图代表班．下列说法一定正确的是（ ） A. 1班成绩比2班成绩集中 B. 1班有同学的成绩超过120分 C. 2班成绩的下四分位数是80分 D. 1班的平均分高于2班的平均分 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分析两班成绩的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值以及数据的离散程度． 【详解】解：对于A，观察图形可知，班的极差和四分位距（箱体长度）均大于班，说明班成绩比班成绩分散，故A错误； 对于B，班成绩的最大值（上须顶端）在分与分之间，说明班有同学的成绩超过分，故B正确； 对于C，观察图形可知，班成绩的下四分位数（箱体下沿）略高于分，故C错误； 对于D，箱线图主要反映数据的中位数、四分位数及极差等，无法直接确定平均数的大小，故D错误． 7. 现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“年的年销售量＝年的年销售量×（＋年销售量的平均增长率）”即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为， 依题意，得：． 8. 如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称的性质，若旋转后的图形与原图形关于某点中心对称，则对应线段平行且相等。结合等边三角形的性质，验证时，旋转后的三角形与原三角形是否构成平行四边形即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， 当时，点绕点顺时针旋转， ∵且， ∴点的对应点与点重合点的对应点为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与(即)关于对角线的中点成中心对称， 故符合题意． 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 9. 在四边形中，对角线，交于点O，已知，，（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合各选项条件，根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． A选项，若，无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，A错误； B选项，若，对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，B错误； C选项，若，则，即平行四边形对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，C正确； D选项，若，对角线垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，D错误． 10. “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，点在对角线上，点在上，，若，则点到的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质以及角平分线的性质定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，且点在对角线上， ∴平分， ∵，， ∴，即点到的距离为． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程根的判别式；根据题意得出，解方程，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及位置关系，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图 点，分别是边的中点， 是的中位线， ∴，， 同理是的中位线， ，， ，，， 在中，． 15. 一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，则_________；这组新的数据的方差为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据平均数的定义计算原数据的平均数，由加入数后平均数不变可得的值，再根据方差的定义计算新数据的方差即可． 【详解】解：∵一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变， ∴， 解得； 这组新的数据的方差为． 16. 如图，在矩形中，点E在上，将沿翻折得到，与分别交于点，若，，，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，设，，结合矩形和折叠求出，，最后在中，由列方程求解即可． 【详解】四边形是矩形，，， ， 由折叠性质可知， ， ∵， ， ， 设，，则，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法及立方根将原式化简，再进行减法运算； （2）根据二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某校组织八年级学生开展科技创新素养比赛，参赛学生需参加理论、操作、答辩三项测试，并把三项测试成绩按照一定的比例折算成总评成绩．现从八年级1班和2班各随机抽取10名学生的理论成绩进行统计（单位：分）． 1班：82，80，95，80，90，70，60，80，65，98； 2班：90，70，60，90，90，98，82，90，70，60． 将以上两组数据进行整理，如表1： 表1 班级 平均数 中位数 众数 1班 80 80 2班 80 90 表2 选手 测试成绩/分 理论 操作 答辩 方方 圆圆 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）方方是被抽取的20名学生中的一员，他说：“我的理论成绩是82分，超过了本班一半以上的同学”，由此可判断他是 班的学生（填“1”或者“2”）． （3）方方和圆圆的三项测试成绩如表2所示，若将理论、操作、答辩三项测试成绩按的比例折算成总评成绩，请通过计算比较方方和圆圆谁的总评成绩高． 【答案】（1）， （2） （3）圆圆的总评成绩更高 【解析】 【小问1详解】 解：班成绩中出现了次，出现次数最多，因此众数； 将班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数，因此； 【小问2详解】 解：班的中位数为分，班的中位数为分，方方理论成绩为分，满足，， 方方的成绩超过本班一半以上同学，可判断他是班的学生； 【小问3详解】 解：方方的总评成绩为：（分）， 圆圆的总评成绩为：（分）， ， 圆圆的总评成绩更高． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求该方程的根． （2）甲说：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论为何值，方程至少有一个整数根．请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由．（若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分） 【答案】（1）， （2） 选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 当时，，方程有两个相等的实数根，故甲的说法错误． 选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 无论取任何值，恒为整数， 无论为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确． 【解析】 【小问1详解】 解：将代入方程得， 因式分解得， 或， 解得，． 【小问2详解】 略 20. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当长为半径画圆弧分别交，于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧交于点，射线分别与，的延长线交于点．已知，，． （1）求证：． （2）求周长． 【答案】（1）证明：根据作图过程可知：平分． ． 在平行四边形中，， ． ． ． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据作图过程可得平分，再根据平行四边形的性质可得，说明，由等角对等边即可得证； （2）先根据平行四边形的性质证明是等腰三角形，，再解求出的长即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在平行四边形中，， ． ， ． ． ， ． 在平行四边形中，， ． ． 过点D作于点M， ． ． ， ． 的周长为． 21. 新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． （1）若与是关于的“友好二次根式”，求的值． （2）若与是关于的“友好二次根式”，求的值． （3）若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【小问1详解】 解：由“友好二次根式”的定义得； 【小问2详解】 解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． 【小问3详解】 解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 22. 如图，在正方形中，对角线，交于点，平分分别交，于点，，连接． （1）求证：． （2）求的值． 【答案】（1）证明：∵在正方形中，对角线，交于点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及角平分线的定义得， ，继而得到，，再根据等角对等边即可得证； （2）根据正方形的性质得，，，，推出，，，继而得到，再根据平行线的性质及等角对等边可得，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∵在正方形中，对角线，交于点， ∴，，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴的值为． 23. 小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】（1）①；②米 （2）养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【解析】 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【小问1详解】 解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； 【小问2详解】 略． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直的定义得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①根据菱形的性质及垂直的定义得，，，根据旋转的性质得，继而得到，，，，证明得，即可得证； ②如图，过点作于点，连接，，根据菱形的性质及垂直的定义得，，，进一步得，，，，证明得，证明得，推出，根据旋转的性质得，继而得到，，，推出，然后根据等角对等边及勾股定理得，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：如图，过点作于点，连接，设， 由（1）知：，， ∵是菱形的对角线，，，， ∴，，， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级数学期终教学质量调研卷 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名跳远运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：米）和方差（单位：米2）如图所示，根据图中信息，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知1班和2班人数相等，统计一次“古诗词大赛”中两班同学积分，绘制箱线图如图所示，左侧箱线图代表班，右侧箱线图代表班．下列说法一定正确的是（ ） A. 1班成绩比2班成绩集中 B. 1班有同学的成绩超过120分 C. 2班成绩的下四分位数是80分 D. 1班的平均分高于2班的平均分 7. 现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（ ） A. B. C. D. 9. 在四边形中，对角线，交于点O，已知，，（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是正方形 10. “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简______． 12. 如图，在菱形中，点在对角线上，点在上，，若，则点到的距离为_________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 14. 如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 15. 一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，则_________；这组新的数据的方差为_________． 16. 如图，在矩形中，点E在上，将沿翻折得到，与分别交于点，若，，，则线段的长为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某校组织八年级学生开展科技创新素养比赛，参赛学生需参加理论、操作、答辩三项测试，并把三项测试成绩按照一定的比例折算成总评成绩．现从八年级1班和2班各随机抽取10名学生的理论成绩进行统计（单位：分）． 1班：82，80，95，80，90，70，60，80，65，98； 2班：90，70，60，90，90，98，82，90，70，60． 将以上两组数据进行整理，如表1： 表1 班级 平均数 中位数 众数 1班 80 80 2班 80 90 表2 选手 测试成绩/分 理论 操作 答辩 方方 圆圆 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）方方是被抽取的20名学生中的一员，他说：“我的理论成绩是82分，超过了本班一半以上的同学”，由此可判断他是 班的学生（填“1”或者“2”）． （3）方方和圆圆的三项测试成绩如表2所示，若将理论、操作、答辩三项测试成绩按的比例折算成总评成绩，请通过计算比较方方和圆圆谁的总评成绩高． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求该方程的根． （2）甲说：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论为何值，方程至少有一个整数根．请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由．（若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分） 20. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当长为半径画圆弧分别交，于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧交于点，射线分别与，的延长线交于点．已知，，． （1）求证：． （2）求周长． 21. 新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． （1）若与是关于的“友好二次根式”，求的值． （2）若与是关于的“友好二次根式”，求的值． （3）若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 22. 如图，在正方形中，对角线，交于点，平分分别交，于点，，连接． （1）求证：． （2）求的值． 23. 小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $