3.2.1单调性与最大(小)值同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础-中档-提升三级分层设计，以单调性与最值为核心，构建从概念理解到综合应用的巩固路径，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单调性定义、最值计算|选择题1-9直接考查定义判断与单一函数最值，夯实抽象能力| |中档|单调区间、充要条件|填空题11-15结合二次函数、分段函数，提升推理意识| |提升|综合证明、图像应用|解答题18-21要求定义法证明单调性、图像分析，发展数学表达与创新意识|

3.2.1 单调性与最大值（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题题 1．函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 4．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 10．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 11．(多选题)已知函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是(　　) A．函数f(x)一定存在最大值 B．函数f(x)一定存在最小值 C．函数f(x)一定不存在最大值 D．函数f(x)一定不存在最小值 12、(多选题)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 二、填空题 11．若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 12．函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 13．已知函数，则不等式的解集是_________． 14．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为__________. 15．已知函数，则__________；不等式的解集是__________. 16．已知函数的图象如图所示，则的值域是________． 三、解答题 17．已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 18．用定义法证明： （1）f(x) ＝ x² 在(0, ＋∞)上单调递增； （2）f(x) ＝ －1/x 在(0, ＋∞)上单调递增。 19．已知函数． (1)画出的大致图象； (2)若，求的最大值和最小值； (3)当时，求实数x的取值范围． 20．已知函数 (1)在图中画出函数的大致图象； (2)写出函数的最大值和单调递减区间. (3)若，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.2.1 单调性与最大值（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A A B B C D B B ABD ABD 1．A 【知识点】根据函数的最值求参数 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 2．C 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 3．A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求函数的单调区间 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 4．A 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】由题意得， 令， 所以， 当，即时，. 5．B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断命题的必要不充分条件 【分析】结合函数的性质进行判断． 【详解】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 6．B 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 7．C 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 8．D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 9．B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 10．B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【详解】由可得在上单调递增，故 11． 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【详解】由，可得二次函数的对称轴为， 又因为在区间上是严格递减函数，所以，解得. 11、ABD 解析：∵函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，∴若M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，0]，则f(x)的最小值为0，故D错误；若M＝(－∞，0)，N＝[0，＋∞)，则f(x)无最小值，故B错误；由M∪N＝R，可得图象无限上升，则f(x)无最大值，故A错误，C正确．故选ABD. 12、【答案】ABD　 【解析】易知选项A，B，D在区间(0，＋∞)上是单调递增的，C是减函数，故选ABD. 13． 6 【知识点】基本不等式求和的最小值、求函数的单调区间 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 14． 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 15．/ 【知识点】函数图象的应用、函数新定义 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 16． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式、分段函数的单调性、求分段函数值 【分析】根据函数的解析式求得的值，即可求得；判断的单调性，从而将转化为，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得，所以， 当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且， 故在R上单调递增， 故由可得，即， 解得，即的解集是， 故答案为：15， 17． 【知识点】分段函数的值域或最值 【详解】由图知，当，，当，， 因为，所以的值域是. 18．(1)，， (2)， (3)或， 【知识点】解分段函数不等式、求函数的单调区间、求分段函数值 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 19．答案见解析 【解析】（1）证明f(x) ＝ x²在(0, ＋∞)上单调递增： 任取x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)，设x₁ ＜ x₂。 f(x₁) － f(x₂) ＝ x₁² － x₂² ＝ (x₁ ＋ x₂)(x₁ － x₂)。 由x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)得x₁ ＋ x₂ ＞ 0；由x₁ ＜ x₂得x₁ － x₂ ＜ 0。 故f(x₁) － f(x₂) ＝ (x₁ ＋ x₂)(x₁ － x₂) ＜ 0，即f(x₁) ＜ f(x₂)。 故f(x) ＝ x²在(0, ＋∞)上单调递增。 （2）证明f(x) ＝ －1/x在(0, ＋∞)上单调递增： 任取x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)，设x₁ ＜ x₂。 f(x₁) － f(x₂) ＝ (－1/x₁) － (－1/x₂) ＝ 1/x₂ － 1/x₁ ＝ (x₁ － x₂)/(x₁x₂)。 由x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)得x₁x₂ ＞ 0；由x₁ ＜ x₂得x₁ － x₂ ＜ 0。 故f(x₁) － f(x₂) ＝ (x₁ － x₂)/(x₁x₂) ＜ 0，即f(x₁) ＜ f(x₂)。 故f(x) ＝ －1/x在(0, ＋∞)上单调递增。 本题关键：定义法证明单调性的五步骤——取值、作差、变形、定号、结论。 20．(1) (2)最大值为4，最小值为-2 (3) 【知识点】分段函数的值域或最值、解分段函数不等式、分段函数的性质及应用、画出具体函数图象 【分析】（1）利用列表，描点，连线，画出函数的图象； （2）数形结合求出函数的最值； （3）分与时，解不等式，得到不等式的解集. 【详解】（1）当时，，图象为抛物线的一部分， 当时，，图象为直线的一部分， 列出表格，如下： 描点，连线： （2），由图象可知： 当时，取得最大值，最大值为4，当时，取得最小值，最小值为-2. （3）当时，，令，解得：， 当时，，令，解得：， 综上：实数x的取值范围是. 21．(1)答案见解析 (2)，单调递减区间为 (3) 【知识点】解分段函数不等式、求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】（1）直接画出函数图像即可. （2）根据图像得到函数的单调区间，得到最值. （3）考虑和两种情况，代入函数解不等式得到答案. 【详解】（1）函数图像如图所示： （2）根据图像知：函数在上单调递增，在上单调递减，. （3）当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $