精品解析：河北承德市兴隆县2025-2026学年第二学期期末质量监测八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 卷I（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 2. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（ ）． A. 横坐标相同 B. 纵坐标相同 C. 所在象限相同 D. 到轴距离相等 4. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 七边形 5. 如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. ， C. D. ， 6. 在平面直角坐标系中，若点先向右平移再向下平移，则点可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 7. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 9. 正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 10. 某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A. 85分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 11. 在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的第三四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 12. 如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 某同学对数据进行统计分析，发现第5个两位数的个位数字被墨水涂污，则与被涂污数字无关的是这组数据的________（填平均数、中位数、方差或众数）． 14. 如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片，根据图中所示的长度，则梯形纸片中较短的底边长等于__________． 15. 声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 … 331 331.6 332.2 … 则与的函数关系式为________________． 16. 如图，在梯形中，，，，则梯形的面积是______ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知y与成正比例，且时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值． 18. 叙述并证明三角形的中位线性质定理． 定理：三角形的中位线________________． 已知：________________． 求证：________________． 证明： 19. 为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A． B． C． D． E． 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 20. 体育公园离小王家，小王骑自行车匀速前往体育公园，设小王离家的距离为（单位：），骑行时间为（单位：），自行车码表记录了y与x的几组对应值如下表： 小王骑行时间 0 2 4 6 8 10 … 小王离家距离 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 … （1）根据表中数据，试写出关于的函数解析式与自变量的取值范围； （2）用描点法在下图的直角坐标系中画出该函数图像；并求出小王骑行后离体育公园还有多远？ 21. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 22. 2026年东北地区城市足球联赛将于5月23日正式开赛，这一消息传来令广大球迷热情高涨．小轩是一名足球爱好者，他所在的足球俱乐部计划向某学校捐赠A、B两个品牌的足球共65个，以此弘扬足球运动．经市场调查：购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元． （1）求A，B两个品牌足球的单价各多少元？ （2）俱乐部计划购买A品牌足球的总费用不少于B品牌足球总费用的2倍．经与商家协商，在市场价格不变的情况下，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买足球的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 23. 数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： （1）请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： （2）猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 24. 如图，直线与直线平行，与轴交于点，直线：与直线交于点，并经过点，与轴交于点． （1）直接写出直线的函数表达式，求直线的函数表达式； （2）直线与轴、直线、直线分别交于点，，，设直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）为， 当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； 直接写出点关于直线的对称点落在内（包括边界）时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 卷I（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和普查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、了解某校八年级男生的身高情况，适宜普查，故本选项符合题意； B、了解镇江市全市空气质量情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； C、了解黄河流域现有鱼的种类，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； D、了解某品牌洗衣机的使用寿命，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：A 2. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，书本遮住的点位于第一、三、四象限． A、点位于第二象限，一定没有被书本遮住； B、点位于第四象限，有可能被书本遮住； C、点位于第一象限，有可能被书本遮住； D、点位于第三象限，有可能被书本遮住． 3. 在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（ ）． A. 横坐标相同 B. 纵坐标相同 C. 所在象限相同 D. 到轴距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，象限判断，点到坐标轴的距离的概念，掌握相关性质即可逐项判断． 【详解】解：∵ 点的横坐标为，纵坐标为，点的横坐标为，纵坐标为 ∴ 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，故A，B选项错误； ∵ ，，∴ 点在第二象限， ∵ ，，∴ 点在第四象限，象限不同，故C选项错误； ∵ 点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴ 两点到轴距离相等，D选项正确． 4. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据边数内角和即可得到答案． 【详解】解：． 这个多边形是八边形． 5. 如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一排除即可，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形，原选项符合题意； 故选：． 6. 在平面直角坐标系中，若点先向右平移再向下平移，则点可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题思路是根据平移方向确定平移前后横、纵坐标的关系，再结合各选项判断即可． 【详解】解：设平移后点的坐标为，由平移方向可知平移后点的横坐标满足，纵坐标满足． A选项，横坐标，故A选项不符合题意； B选项，横坐标，故B选项不符合题意； C选项，纵坐标，故C选项不符合题意； D选项，横坐标，纵坐标，故D选项符合题意． 7. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，根据已知条件“点为第二象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：∵点为第二象限内的点， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解：由菱形的性质得， 在中，由勾股定理得， 点E是的中点， ． 9. 正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 10. 某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A. 85分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 计算加权平均数，将各项成绩乘以其对应的权重比例后求和即可． 【详解】解：最终成绩， ∴小颖的最终成绩为分， 故选：C． 11. 在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是第一四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是第三四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的第三四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 12. 如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先将点的坐标代入直线的解析式求出的值，确定直线的方程；然后过点作轴的垂线，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求出点的坐标；最后根据平移规律表示出平移后点的坐标，代入直线的解析式即可求出的值． 【详解】解：将点代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为，  过点作轴于点， ∵， ∴， ∵四边形正方形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵A在轴负半轴  ∴， ∴， ∴， ∴， 将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点的对应点的坐标为， ∵点落在直线上， ∴， 解得． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 某同学对数据进行统计分析，发现第5个两位数的个位数字被墨水涂污，则与被涂污数字无关的是这组数据的________（填平均数、中位数、方差或众数）． 【答案】中位数 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的定义，判断各统计量与被涂污个位数字的相关性，即可得到结果． 【详解】解：设被涂污的个位数字为，其中，为整数，则被涂污的数为， 这组数据共个，根据中位数的定义，中位数为排序后第个和第个数据的平均数. 无论还是，从小到大排序后，第个数据为，第个数据为，因此中位数为，与无关； 平均数计算需要用到所有数据的和，总和含，因此平均数与有关； 方差计算需要用到平均数和每个数据，因此方差与有关； 若，则被涂污的数为，此时众数为和；若，则众数为，因此众数与有关， 综上，与被涂污数字无关的是中位数． 14. 如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片，根据图中所示的长度，则梯形纸片中较短的底边长等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，过点作，如图所示，由平行线的判定与性质得到，进而确定和是等腰直角三角形，得到，，再由平行四边形的判定与性质得到，再由全等梯形的性质得到，进而数形结合列式求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： ， ， 在矩形中，，，则和是等腰直角三角形， ， ， 四边形、四边形是平行四边形， ， 由题意可知，梯形梯形， ， ， ， 即梯形纸片中较短的底边长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识． 15. 声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 … 331 331.6 332.2 … 则与的函数关系式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】由表格数据可知与满足一次函数关系， 设与的函数关系式为， 将，及，代入得 ， 解得， 验证：当时，，与表格数据一致， 与的函数关系式为． 16. 如图，在梯形中，，，，则梯形的面积是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握其计算方法是关键． 如图所示，设交于点，过点作于点，延长交于点，设，则，，根据含角的直角三角形的计算得到，结合梯形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，过点作于点，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， 同理，， ∴， 同理，中，，则， ∴， 在中，， ∴梯形的面积为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知y与成正比例，且时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正比例的定义设出函数解析式，再用待定系数法求出未知系数得到y关于x的函数解析式； （2）将y的值代入解析式，通过解一元一次方程得到x的值． 【小问1详解】 解：由题意可设  把，代入得，  解得 ； 【小问2详解】 解：把代入得，  解得． 18. 叙述并证明三角形的中位线性质定理． 定理：三角形的中位线________________． 已知：________________． 求证：________________． 证明： 【答案】定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：中，是和的中点． 求证：． 证明：过点E作的平行线，交于N，过点A作的平行线，与的平行线交于M． ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是和的中点， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【解析】 【详解】略 19. 为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A． B． C． D． E． 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 【答案】（1）60， （2） 补画频数分布直方图，如下图所示： （3）增强大课间和课间活动，做到人人动起来 【解析】 【分析】（1）利用“A组人数其所占百分比”，即可求得次调查的样本容量；利用“组所占百分比”，即可求得D组对应的圆心角的度数； （2）首先计算被抽取学生中C组人数，然后补画频数分布直方图即可； （3）结合题意作答即可． 【小问1详解】 解：， 即本次调查的样本容量是60； ， ∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是； 【小问2详解】 解：被抽取学生中，C组人数为（人）， 略 【小问3详解】 解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来． 20. 体育公园离小王家，小王骑自行车匀速前往体育公园，设小王离家的距离为（单位：），骑行时间为（单位：），自行车码表记录了y与x的几组对应值如下表： 小王骑行时间 0 2 4 6 8 10 … 小王离家距离 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 … （1）根据表中数据，试写出关于的函数解析式与自变量的取值范围； （2）用描点法在下图的直角坐标系中画出该函数图像；并求出小王骑行后离体育公园还有多远？ 【答案】（1）（） （2）如图所示； 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2)描点连线即可画图求解，并根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 关于的函数解析式为， ∵体育公园离小王家， 当时，则 解得： ∴自变量取值范围为 【小问2详解】 在平面直角坐标系中依次描出,然后连线即可得到该函数图像 ∴． 所以小王骑行后离体育公园的距离为． 21. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； （2）正方， 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2026年东北地区城市足球联赛将于5月23日正式开赛，这一消息传来令广大球迷热情高涨．小轩是一名足球爱好者，他所在的足球俱乐部计划向某学校捐赠A、B两个品牌的足球共65个，以此弘扬足球运动．经市场调查：购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元． （1）求A，B两个品牌足球的单价各多少元？ （2）俱乐部计划购买A品牌足球的总费用不少于B品牌足球总费用的2倍．经与商家协商，在市场价格不变的情况下，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买足球的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】（1）A品牌足球每个100元，B品牌足球每个80元 （2）当购买A品牌足球40个，购买B品牌足球25个时，所需费用最少，最少为5400元 【解析】 【分析】（1）设A品牌足球每个x元，B品牌足球每个y元，根据“购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元”列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，先根据题意求得，设实际付款总金额是w元，再求得w关于a的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A品牌足球每个x元，B品牌足球每个y元， 根据题意得：， 解得， 答：A品牌足球每个100元，B品牌足球每个80元； 【小问2详解】 解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个， 则， 解得， 设实际付款总金额是w元， 则，即， ∵，w随a的增大而增大， ∴当时，w最小，， 即时，（元）， 答：当购买A品牌足球40个，购买B品牌足球25个时，所需费用最少，最少为5400元． 23. 数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： （1）请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： （2）猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【答案】（1）菱形；矩形 （2）如图，四边形中，对角线相等且互相垂直． 【解析】 【分析】（1）矩形的中点四边形：顺次连接各边中点，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形； 菱形的中点四边形：顺次连接各边中点，根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【小问1详解】 解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形； 菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：图略， 证明：顺次连接各边中点， 由三角形中位线定理可得，，，，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 24. 如图，直线与直线平行，与轴交于点，直线：与直线交于点，并经过点，与轴交于点． （1）直接写出直线的函数表达式，求直线的函数表达式； （2）直线与轴、直线、直线分别交于点，，，设直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）为， 当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； 直接写出点关于直线的对称点落在内（包括边界）时的取值范围． 【答案】（1）直线的函数表达式为；直线的函数表达式为 （2）或； 【解析】 【分析】（1）根据平行设出直线的函数表达式，利用待定系数法可求出直线的函数表达式；进而求出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）当时，分别确定点，，的坐标，当时，分两种情况讨论，情况一：当点，，在点下方时；情况二：当点，，在点上方时，分别求解即可；设对称点，分别求出当点 落在直线上和落在轴上时对应的值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：直线与直线平行， 设直线的函数表达式为， 将点代入得，， 直线的函数表达式为； 令，得， ， 将点和点代入直线：得， ，解得， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：对于， 令，得， ， 由题意可得，， 直线与轴、直线、直线分别交于点，，，点在线段上（不与点，重合）， ； 令，得，故， 令，得，故， 当时， 情况一：当点，，在点下方时，，如图，此时点为的中点， ，解得，且，符合题意； 情况二：当点，，在点上方时，，如图， ， ，解得，且，符合题意． 综上所述，当或时，； 设点关于直线的对称点 ， 当点落在直线上时，， 此时， 当点落在轴上时，， 此时， 点在直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）时，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $