第19讲 余角和补角 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第19讲余角和补角 目录 知识点1 余角的定义与范围 2 知识点2 补角的定义与范围 2 知识点3 余角、补角四大核心性质（必考推理依据） 2 知识点4 余补角常用二级结论 3 知识点5 压轴题型基础模型 3 题型1 求一个角的余角 3 题型2 求一个角的补角 4 题型3 与余角、补角有关的计算 5 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 7 题型5 压轴题——动角问题 10 题型6 压轴题——三角板问题 23 1. 知识目标：熟练掌握余角、补角的定义、核心性质，明确余角、补角的角度范围；熟记同角、等角的余角相等，同角、等角的补角相等两大几何定理；掌握动角问题、三角板拼接旋转问题的基础模型。 2. 能力目标：能快速求解任意角的余角、补角；熟练解决余补角混合计算题型；能灵活运用余补角性质进行几何推理、角度等量代换；掌握动角、三角板旋转两类期末压轴题型的解题思路与步骤。 3. 素养目标：建立角度等量代换、数形结合、分类讨论的几何思维，规范几何语言书写，突破静态角度计算到动态角度推理的思维升级，夯实七年级几何证明入门基础。 知识点1 余角的定义与范围 如果两个角的和等于 （直角），那么这两个角互为余角，简称互余。 1. 公式：若，则与互余； 2. 角度范围：只有锐角才有余角（）；直角、钝角没有余角； 3. 核心关系：一个角的余角 = 。 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 知识点2 补角的定义与范围 如果两个角的和等于 （平角），那么这两个角互为补角，简称互补。 1. 公式：若，则与互补； 2. 角度范围：锐角、直角、钝角均有补角； 3. 核心关系：一个角的补角 = ； 4. 大小规律：锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角。 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 知识点3 余角、补角四大核心性质（必考推理依据） 1. 同角的余角相等：同一个角的两个余角大小相等； 2. 等角的余角相等：相等的两个角，它们的余角也相等； 3. 同角的补角相等：同一个角的两个补角大小相等； 4. 等角的补角相等：相等的两个角，它们的补角也相等。 备注：以上四条性质是几何角度推理、大题证明的核心依据，答题可直接引用。 知识点4 余补角常用二级结论 1. 同一个锐角的补角比余角大 ； 2. 互余两角均为锐角，互补两角可为一锐一钝、两个直角； 3. 互余、互补只与角度和有关，与角的位置无关。 知识点5 压轴题型基础模型 1. 动角模型：射线绕端点旋转，角度随时间变化，利用余补角关系列方程求解动态角度； 2. 三角板模型：依托30°、60°、90°、45°固定角度，结合互余、互补关系，求解拼接、重叠、旋转后的未知角度。 题型1 求一个角的余角 解题技巧（公式直接套用）：1. 判定前提：先判断该角是否为锐角，非锐角无余角；2. 固定公式：余角 = 已知角；3. 度分秒运算：严格按照六十进制计算，不够减向前借1当60；4. 结果化简：保证分、秒数值小于60，格式规范。 易错提醒：钝角、直角不存在余角，做题需先判断，避免盲目计算。 【典例1】．已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 【变式3】．已知，则它的余角为________ 题型2 求一个角的补角 解题技巧（通用公式法）：1. 无范围限制：任意小于180°的角均可求补角；2. 固定公式：补角 = 已知角；3. 数值运算：整数角度直接口算，度分秒角度逐级退位计算；4. 快速判断：锐角补角为钝角，钝角补角为锐角，直角补角为直角。 秒杀口诀：求余减九十，求补减一百八。 【典例2】．若，则的补角的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若一个角是，则它的补角为________． 【变式3】．若的余角是，则它的补角是________． 题型3 与余角、补角有关的计算 解题技巧（方程万能解法）：1. 设未知数：设这个角为，分别用含的式子表示余角、补角；2. 找等量关系：根据题干的倍数、和差、差值关系列一元一次方程；3. 解方程求值：求出原角度，再按需计算余角、补角；4. 检验取舍：验证角度范围，舍去不合理的解（如负角、超范围角）。 适用场景：倍数关系、差值关系、和值关系等所有混合计算题。 【典例3】．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．若与互余，与互补，，则________． 【变式2】．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，求这个角的度数． 【变式3】．已知一个角的补角比这个角的余角的4倍还多，求这个角的度数． 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 解题技巧（性质推理法）：1. 识图找关系：观察图形，找出公共角、相等角；2. 锁定模型：若两个角同时与同一个角互余/互补，直接判定两角相等；3. 规范答题：几何大题必须写依据（同角的余角相等/等角的补角相等）；4. 等量代换：利用性质实现角度转化，无需逐个计算角度，简化推理步骤。 核心价值：七年级几何证明入门核心，实现“不计算、证相等”。 【典例4】．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】．将一副三角板的直角顶点重叠在一起，可以得到，最合理的理由是______． 【变式2】．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【变式3】．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 题型5 压轴题——动角问题 解题技巧（性质推理法）：1. 识图找关系：观察图形，找出公共角、相等角；2. 锁定模型：若两个角同时与同一个角互余/互补，直接判定两角相等；3. 规范答题：几何大题必须写依据（同角的余角相等/等角的补角相等）；4. 等量代换：利用性质实现角度转化，无需逐个计算角度，简化推理步骤。 核心价值：七年级几何证明入门核心，实现“不计算、证相等”。 【典例5】．如图，O为直线上一点，平分，． (1)判断和的大小关系，并说明理由． (2)若，则_________． (3)在（2）的条件下，射线绕点O以的速度按顺时针方向转动，同时射线绕点O以的速度按逆时针方向转动．设转动的时间为． ①开始转动后，当射线与首次垂直时，_________，第2次垂直时，_________． ②当射线与转动后，射线以的速度开始逆时针转动．当射线与重合时，射线，，停止转动．请直接写出满足条件的t的值，使得射线，，中的一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【变式1】．若、满足，则我们称是的“倍补角”．例如若，，则是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，， ； (2)如图，已知，若在直线的上方存在射线、，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图，已知，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（），当是的“倍补角”时，求此时的值． 【变式2】．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角）    (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________（用含α的式子表示）； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”，并说明理由； ②如图3，若绕点O逆时针旋转，当是的“倍补角”时，请直接写出n的取值范围_________． 【变式3】．从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫作这个角的三等分线．如图1，有两条三等分线，射线是靠近射线的三等分线，射线是靠近射线的三等分线． (1)如图2，，射线是靠近射线的三等分线，则________； (2)如图3，，射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②在射线、、中，是否存在其中一条射线是另外两条射线组成的角的三等分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型6 压轴题——三角板问题 解题技巧（定值不变+角度拆解）：1. 抓不变量：三角板自身角度固定（30°、60°、90°、45°），旋转、拼接后自身角度不变；2. 静态拼接：利用角度和差、互余互补，直接计算重叠角、夹角；3. 动态旋转：锁定固定直角，利用“直角内两角互余、平角内两角互补”规律推导；4. 定值结论：多数三角板旋转题型存在固定角度、固定等量关系，无需复杂计算；5. 规范推理：结合余补角性质，书写完整几何推理步骤。 高频模型：直角顶点重合模型、三角板交叉重叠模型、平角拼接模型。 【典例6】．点、、三点在同一条直线上，，平分，（本题中所有角均指小于的角） (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作射线，满足，求与的数量关系． (3)如图3为初始位置，，直角三角形（其中）如图放置，将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转，如图4，在旋转的过程中，始终平分，设旋转的时间为秒（），在射线、、中，当其中有一条射线是另外两条射线所形成的夹角的平分线时，求的值． 【变式1】．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中）进行实验，将直角顶点固定在一条直线的点O处，且平分．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了与之间的数量关系，并试图发现其中的规律． 【问题发现】 (1)如图1，若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式2】．数学活动课上，小明将一块直角三角形纸板的直角顶点按如图1放在直线上，三角形纸板绕点在直线上方旋转，射线平分． (1)当三角形纸板绕点旋转到图1的位置时，，求的度数． (2)当三角形纸板绕点旋转过程中，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，当平分时，找出三角形纸板在旋转过程中以为顶点的所有角中度数不变的角（除和平角外），并求出这个角的度数． 【变式3】．O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．          (1)如图1，，当三角板的直角边与重合时，___________，___________； (2)如图2，若将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果，猜想旋转过程中与之间的数量关系，并证明． 1．已知的余角是，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，点在直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 5．如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．2025年河南郑州大力推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 9．如图，O为直线上一点，平分，以下结论：①与互为余角；②若，则；③；④平分．其中结论正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 10．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角等于 ________． 11．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 12．如图，点O为直线上一点，，过点O作射线，使得，则的度数是______． 13．如图，点O在直线上，，若，则的补角的度数为__________． 14．如图：已知直线、相交于点，，射线在内部，有如下结论： ①的补角是； ②若，则； ③若平分，则； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 15．如图，直线与相交于点，射线在内． (1)若的邻补角是它的余角的3倍， ①的度数为 ； ②若，求的度数； (2)若射线平分，，探求与的数量关系． 16．如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数． 17．把一副三角板的直角顶点O重合在一起． (1)如图①，当平分时，求与的和； (2)如图②，当不平分时，与有什么关系？请说明理由； (3)若的余角的4倍等于，的度数是多少？ 18．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 19．小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 (1)锐角的补角与的余角之差为______°． (2)如果锐角的补角为，那么是的余角．请你说明理由． 【问题思考】 (3)一个锐角的补角是它的余角的4倍，求这个角的大小． 20．O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 21．设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 22．已知如图1，，是的平分线． (1)的度数为_____． (2)如图2，已知，将与重合，且在内部，作射线平分．求的度数． (3)将图2中的绕点顺时针旋转得到图3，旋转过程中始终平分． ①通过推理说明与旋转角度之间有怎样的数量关系？ ②当与互补时，的值为_____（直接写结果）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲余角和补角 目录 知识点1 余角的定义与范围 2 知识点2 补角的定义与范围 2 知识点3 余角、补角四大核心性质（必考推理依据） 2 知识点4 余补角常用二级结论 3 知识点5 压轴题型基础模型 3 题型1 求一个角的余角 3 题型2 求一个角的补角 4 题型3 与余角、补角有关的计算 5 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 7 题型5 压轴题——动角问题 10 题型6 压轴题——三角板问题 23 1. 知识目标：熟练掌握余角、补角的定义、核心性质，明确余角、补角的角度范围；熟记同角、等角的余角相等，同角、等角的补角相等两大几何定理；掌握动角问题、三角板拼接旋转问题的基础模型。 2. 能力目标：能快速求解任意角的余角、补角；熟练解决余补角混合计算题型；能灵活运用余补角性质进行几何推理、角度等量代换；掌握动角、三角板旋转两类期末压轴题型的解题思路与步骤。 3. 素养目标：建立角度等量代换、数形结合、分类讨论的几何思维，规范几何语言书写，突破静态角度计算到动态角度推理的思维升级，夯实七年级几何证明入门基础。 知识点1 余角的定义与范围 如果两个角的和等于 （直角），那么这两个角互为余角，简称互余。 1. 公式：若，则与互余； 2. 角度范围：只有锐角才有余角（）；直角、钝角没有余角； 3. 核心关系：一个角的余角 = 。 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 知识点2 补角的定义与范围 如果两个角的和等于 （平角），那么这两个角互为补角，简称互补。 1. 公式：若，则与互补； 2. 角度范围：锐角、直角、钝角均有补角； 3. 核心关系：一个角的补角 = ； 4. 大小规律：锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角。 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 知识点3 余角、补角四大核心性质（必考推理依据） 1. 同角的余角相等：同一个角的两个余角大小相等； 2. 等角的余角相等：相等的两个角，它们的余角也相等； 3. 同角的补角相等：同一个角的两个补角大小相等； 4. 等角的补角相等：相等的两个角，它们的补角也相等。 备注：以上四条性质是几何角度推理、大题证明的核心依据，答题可直接引用。 知识点4 余补角常用二级结论 1. 同一个锐角的补角比余角大 ； 2. 互余两角均为锐角，互补两角可为一锐一钝、两个直角； 3. 互余、互补只与角度和有关，与角的位置无关。 知识点5 压轴题型基础模型 1. 动角模型：射线绕端点旋转，角度随时间变化，利用余补角关系列方程求解动态角度； 2. 三角板模型：依托30°、60°、90°、45°固定角度，结合互余、互补关系，求解拼接、重叠、旋转后的未知角度。 题型1 求一个角的余角 解题技巧（公式直接套用）：1. 判定前提：先判断该角是否为锐角，非锐角无余角；2. 固定公式：余角 = 已知角；3. 度分秒运算：严格按照六十进制计算，不够减向前借1当60；4. 结果化简：保证分、秒数值小于60，格式规范。 易错提醒：钝角、直角不存在余角，做题需先判断，避免盲目计算。 【典例1】．已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余两角的和为计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 互余的两个角的和为，， ∴ 的余角为 . 【变式1】．一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． 【变式2】．若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 【答案】/40度 【分析】互为余角的两个角的和为，据此求解． 【详解】解：已知该角的度数为，它的余角为． 【变式3】．已知，则它的余角为________ 【答案】 【分析】本题考查互为余角的定义，度数和为的两个角互为余角，根据定义结合角度的运算法则计算即可． 【详解】解： 的余角为． 题型2 求一个角的补角 解题技巧（通用公式法）：1. 无范围限制：任意小于180°的角均可求补角；2. 固定公式：补角 = 已知角；3. 数值运算：整数角度直接口算，度分秒角度逐级退位计算；4. 快速判断：锐角补角为钝角，钝角补角为锐角，直角补角为直角。 秒杀口诀：求余减九十，求补减一百八。 【典例2】．若，则的补角的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为补角，列式计算即可． 【详解】解：的补角的大小是． 【变式1】．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由量角器得出的度数，再用即可得出． 【详解】由图中量角器可知，， 的补角为． 【变式2】．若一个角是，则它的补角为________． 【答案】/130度 【分析】根据补角的定义，互为补角的两个角之和为． 【详解】解：由补角的定义可知，该角的补角为． 【变式3】．若的余角是，则它的补角是________． 【答案】/142度 【分析】先根据余角定义求出的度数，再根据补角定义计算即可． 【详解】解：由题意得，， 的补角为． 题型3 与余角、补角有关的计算 解题技巧（方程万能解法）：1. 设未知数：设这个角为，分别用含的式子表示余角、补角；2. 找等量关系：根据题干的倍数、和差、差值关系列一元一次方程；3. 解方程求值：求出原角度，再按需计算余角、补角；4. 检验取舍：验证角度范围，舍去不合理的解（如负角、超范围角）。 适用场景：倍数关系、差值关系、和值关系等所有混合计算题。 【典例3】．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的余角的3倍少列一元一次方程求解即可，准确理解余角补角的概念是解题关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为， ∵补角比这个角的余角的倍少， ∴列方程得：， 展开整理得：， 解得， ∴这个角为． 【变式1】．若与互余，与互补，，则________． 【答案】 【分析】根据与互余，与互补进行计算即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查余角补角的概念和一元一次方程的应用． 先设出这个角的度数，根据题目中的数量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这个角的度数为． 根据余角和补角的定义，这个角的余角为 ，补角为 ． 由题意得：． 展开整理得： ． 解得：． 【变式3】．已知一个角的补角比这个角的余角的4倍还多，求这个角的度数． 【答案】 【分析】设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，这个角的余角的度数为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为． 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 解题技巧（性质推理法）：1. 识图找关系：观察图形，找出公共角、相等角；2. 锁定模型：若两个角同时与同一个角互余/互补，直接判定两角相等；3. 规范答题：几何大题必须写依据（同角的余角相等/等角的补角相等）；4. 等量代换：利用性质实现角度转化，无需逐个计算角度，简化推理步骤。 核心价值：七年级几何证明入门核心，实现“不计算、证相等”。 【典例4】．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用角度和差表示出角的数量关系，利用互余的定义求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即与互余． 【变式1】．将一副三角板的直角顶点重叠在一起，可以得到，最合理的理由是______． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题主要考查了互余的定义，同角的余角相等， 先根据题意得，再根据可得答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 【变式2】．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与互补或与互补，理由见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等及角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据互补的两个角和为，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有，； （2）解：与互补或与互补，理由如下： ∵点是直线上一点， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互补； ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴与互补； 综上，与互补或与互补． 【变式3】．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【答案】(1) (2)将逐渐增大，理由见解析 【分析】（1）由同角的余角相等即可得到答案； （2）按照题意，作出图形讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：和均为直角， ， 则； （2）解：将逐渐增大． 理由如下： 若逐渐增大，应顺时针旋转，则可知最大值为，如图所示： 若继续旋转，将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， 若逐渐增大，则将逐渐增大． 题型5 压轴题——动角问题 解题技巧（性质推理法）：1. 识图找关系：观察图形，找出公共角、相等角；2. 锁定模型：若两个角同时与同一个角互余/互补，直接判定两角相等；3. 规范答题：几何大题必须写依据（同角的余角相等/等角的补角相等）；4. 等量代换：利用性质实现角度转化，无需逐个计算角度，简化推理步骤。 核心价值：七年级几何证明入门核心，实现“不计算、证相等”。 【典例5】．如图，O为直线上一点，平分，． (1)判断和的大小关系，并说明理由． (2)若，则_________． (3)在（2）的条件下，射线绕点O以的速度按顺时针方向转动，同时射线绕点O以的速度按逆时针方向转动．设转动的时间为． ①开始转动后，当射线与首次垂直时，_________，第2次垂直时，_________． ②当射线与转动后，射线以的速度开始逆时针转动．当射线与重合时，射线，，停止转动．请直接写出满足条件的t的值，使得射线，，中的一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； (2)20 (3)①，；②满足条件的t的值为或或 【分析】（1）根据等角的余角相等解答即可； （2）设，则，根据，，即，即可求解． （3）①设转动后，射线旋转到，旋转到，当射线与首次垂直时，此时，，则，根据，可得，可得到关于t的方程，可求出t的值；当第2次垂直时，此时，，则，根据，可得，即可求解；②分四种情况解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∵， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴； 故答案为：20 （3）解：①设转动后，射线旋转到，旋转到， 当射线与首次垂直时，如图，此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第2次垂直时，如图，此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：，； ②根据题意得：当射线与重合时，，当射线与重合时，，当射线与重合时，， 设转动后，射线旋转到，旋转到，旋转到， 若，此时， ∵，， ∴，，不符合题意； 若，此时， 如图，此时为的平分线， ， ∴，， ∴ ∴， 解得：； 若，此时， 如图，此时为的平分线， ， ∴，， ∴ ∴， 解得：； 若，此时， 如图，此时为的平分线， ， ∴，， ∴ ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的性质，、一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键． 【变式1】．若、满足，则我们称是的“倍补角”．例如若，，则是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，， ； (2)如图，已知，若在直线的上方存在射线、，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图，已知，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（），当是的“倍补角”时，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【分析】本题考查了“倍补角”定义，角平分线定义，一元一次方程的应用，互余的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“倍补角”定义即可求解； （）分当在内时，当在内时，两种情况，画出图形，再通过“倍补角”定义，互余的性质求解即可； （）根据“倍补角”定义求出，又平分，平分，则，，然后分，（当射线旋转至射线的反向延长线之前，即），；（当射线旋转至射线的反向延长线之后，即），，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的“倍补角”， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在内时，如图： 设， ∵且， ∴， ∵， 解得：， ∴，， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在内时，如图： ∵， ∴与小于， 由，故不存在（舍去）， 综上，； （3）解：如图， ∵，， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∵射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转， ∴，（当射线旋转至射线的反向延长线之前，即），， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （当射线旋转至射线的反向延长线之后，即），， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或． 【变式2】．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角）    (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________（用含α的式子表示）； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”，并说明理由； ②如图3，若绕点O逆时针旋转，当是的“倍补角”时，请直接写出n的取值范围_________． 【答案】(1) (2)是的“倍角”，理由见解析 (3)①是的“倍补角”，理由见解析；② 【分析】本题考查了角的和差关系，角平分线的定义及“倍角”“倍补角”的概念． （1）当时，根据角度的和差关系可求得； （2）设，分别表示出和，即可求解； （3）①设，分别表示出和，即可求解； ②分四种情况讨论，分别画出图形，同理求得和，结合新定义，即可求解． 【详解】（1）解：若，则， ∵射线平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：是的“倍角”， 理由：设， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即是的“倍角”． （3）解：①是的“倍补角”， 理由：设， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的“倍补角”； ②如图，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线未过射线的反向延长线，    设， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是的“倍补角”， 如图，当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于等于，且射线已经过射线的反向延长线，由①可得，是的“倍补角”，      当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于，如图，    设， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是的“倍补角”， 当时，如图，    设， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是的“倍补角”， 综上所述，时，是的“倍补角”， 故答案为：． 【变式3】．从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫作这个角的三等分线．如图1，有两条三等分线，射线是靠近射线的三等分线，射线是靠近射线的三等分线． (1)如图2，，射线是靠近射线的三等分线，则________； (2)如图3，，射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②在射线、、中，是否存在其中一条射线是另外两条射线组成的角的三等分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②或或或 【分析】本题考查了角的运算，一元一次方程的应用，理解新定义的概念，结合分类讨论思想解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可； （2）①分相遇前与相遇后两种情况讨论，列方程求解即可； ②分相遇前，靠近或靠近；相遇后，靠近或靠近；共四种情况进行讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：射线是靠近射线的三等分线， ； 故答案为：； （2）解：①存在， （i）当相遇前， ， ， ， 即， 解得； （ii）当相遇后， ， ， ， ， 解得； 综上，存在，或时，的度数是； ②存在， （i）当相遇前，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 即， 解得； （ii）当相遇前，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 解得； （iii）当相遇后，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 解得； （iv）当相遇后，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 解得； 综上，存在，或或或． 题型6 压轴题——三角板问题 解题技巧（定值不变+角度拆解）：1. 抓不变量：三角板自身角度固定（30°、60°、90°、45°），旋转、拼接后自身角度不变；2. 静态拼接：利用角度和差、互余互补，直接计算重叠角、夹角；3. 动态旋转：锁定固定直角，利用“直角内两角互余、平角内两角互补”规律推导；4. 定值结论：多数三角板旋转题型存在固定角度、固定等量关系，无需复杂计算；5. 规范推理：结合余补角性质，书写完整几何推理步骤。 高频模型：直角顶点重合模型、三角板交叉重叠模型、平角拼接模型。 【典例6】．点、、三点在同一条直线上，，平分，（本题中所有角均指小于的角） (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作射线，满足，求与的数量关系． (3)如图3为初始位置，，直角三角形（其中）如图放置，将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转，如图4，在旋转的过程中，始终平分，设旋转的时间为秒（），在射线、、中，当其中有一条射线是另外两条射线所形成的夹角的平分线时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用． （1）根据已知得出，根据角平分线的定义可得，进而根据平角的定义可得，即可求解； （2）设，则，分别表示出与，即可求解； （3）根据题意分别表示出，再分三种情况讨论，根据角平分线的定义得出两个角相等，列出方程，再解绝对值方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ （2）解：∵ 设，则 ∵平分，， ∴ ∴ ∴； （3）解：设旋转的时间为秒（）， ∵射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ ∵始终平分， ∴ ∵ ∴ 当平分时， ∴ 解得， 当平分时， ∴， 解得：或（舍去，重合） 当平分时， ∴ 解得：（舍去，重合）或 综上所述，或或． 【变式1】．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中）进行实验，将直角顶点固定在一条直线的点O处，且平分．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了与之间的数量关系，并试图发现其中的规律． 【问题发现】 (1)如图1，若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角尺中角的和差计算、平角的定义， （1）由题意求得，再由角平分线的定义得，最后由平角的定义求解即可； （2）由题意求得，再由角平分线的定义得，最后由平角的定义求解即可； （3）由角平分线的定义得，进而得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40°； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】．数学活动课上，小明将一块直角三角形纸板的直角顶点按如图1放在直线上，三角形纸板绕点在直线上方旋转，射线平分． (1)当三角形纸板绕点旋转到图1的位置时，，求的度数． (2)当三角形纸板绕点旋转过程中，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，当平分时，找出三角形纸板在旋转过程中以为顶点的所有角中度数不变的角（除和平角外），并求出这个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)度数不变，为． 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，求一个角的余角． （1）根据余角的定义得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数； （2）根据余角的定义得到，，根据角平分线的定义得到，进而得到，可知，即； （3）先列出除和平角外所有以为顶点的角，再根据已知条件及角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴ 即， ∴； （3）解：以为顶点的所有角（除和平角外）有，，，，， ∵、移动， ∴，，，度数改变， ∴的角平分线移动， ∴，，度数改变， ∵移动， ∴，度数改变， ∵， ∴度数改变， ∵， ∴度数改变， ∵平分时， ∴， ∴， 即度数改变， ∵ ∴ ∴， 即度数不变，为． 【变式3】．O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．          (1)如图1，，当三角板的直角边与重合时，___________，___________； (2)如图2，若将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果，猜想旋转过程中与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；115 (2)见解析 (3)；猜想；证明见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）利用互余与互补关系即可求解； （2）由是的平分线得，再由互余得，由此即可得是的平分线； （3）根据，求出，再根据平分，求得，即可求得的度数；猜想，根据角平分线的定义、余角、补角的定义得到，即可说明猜想的正确． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：25；115； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．已知的余角是，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的定义直接计算即可． 【详解】解：∵ 互余的两个角的度数和为，的余角是， ∴． 2．如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 3．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，进而由角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 4．如图，点在直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据补角计算出的度数，再根据余角即可计算出的度数． 【详解】解：由题意得， ， ∵， ∴ ． 5．如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可知，，再结合，即可求解出的度数． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得，． 6．如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．2025年河南郑州大力推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，太阳光线垂直于集热板， ∴， ∵郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为， ∴． 7．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、如图： ∵，， ∴，和不互余，故本选项不符合题意； B、， ∴和互余，故本选项符合题意； C、∵， ∴和不互余，故本选项不符合题意； D、∵， ∴和互补，而不互余，故本选项不符合题意． 8．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 9．如图，O为直线上一点，平分，以下结论：①与互为余角；②若，则；③；④平分．其中结论正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论②正确； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， 无法推出，故结论④错误； 综上所述，正确的是①②③． 10．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角等于 ________． 【答案】 【分析】先设这个角的度数为，再根据题意结合余角补角的定义列出一元一次方程，解方程即可得到这个角的度数． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为， 根据题意得：， 解得：， 即这个角等于． 11．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 【答案】120 【分析】根据补角先计算出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∴， ∵该零件每个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 12．如图，点O为直线上一点，，过点O作射线，使得，则的度数是______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当，可得，再结合已知条件根据得出答案； 当，可得，再求出，然后根据补角定义解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 所以的度数为或． 13．如图，点O在直线上，，若，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据垂直定义求出，再根据补角定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的补角是． 14．如图：已知直线、相交于点，，射线在内部，有如下结论： ①的补角是； ②若，则； ③若平分，则； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】①根据补角定义进行判断；②利用得到与互余，代入数据计算验证；③结合对顶角相等和角平分线定义，通过等式变形证明两角相等；④利用对顶角相等列方程求出，再结合直角求出． 【详解】解：， 的补角不是，故①错误； ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ，即， ，即， ，故④正确． 综上，正确的结论为②③④． 15．如图，直线与相交于点，射线在内． (1)若的邻补角是它的余角的3倍， ①的度数为 ； ②若，求的度数； (2)若射线平分，，探求与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①设，根据题意列方程求解即可； ②根据平角的定义列方程求出，然后代入求解即可； （2）根据角平分线的定义设，然后分别表示出和，进而求解即可． 【详解】（1）解：①设 根据题意得， 解得 ∴的度数为； ②∵，， ∴ 解得 ∴； （2）解：∵平分 ∴设 ∵ ∴， ∴． 16．如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数． 【答案】 【分析】余角的定义可求出，结合角平分线的定义可得，由平角的定义可得的度数，进而求出的度数． 【详解】解：∵与互为余角， ∴ ．                                              ∵， ∴，                                          又∵是的平分线， ∴， ∵点是直线上一点， ∴ ， ∴，                                          ∴． 17．把一副三角板的直角顶点O重合在一起． (1)如图①，当平分时，求与的和； (2)如图②，当不平分时，与有什么关系？请说明理由； (3)若的余角的4倍等于，的度数是多少？ 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）由平分可得，根据角的和差即可求解； （2）根据角的和差即可求解； （3）根据余角的定义可知的余角为，进而根据已知结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）略； （3）解：∵的余角的4倍等于， ∴ ∵， ∴， 即， 解得：． 18．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答； （2）由已知可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“兄弟角”， ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图： ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19．小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 (1)锐角的补角与的余角之差为______°． (2)如果锐角的补角为，那么是的余角．请你说明理由． 【问题思考】 (3)一个锐角的补角是它的余角的4倍，求这个角的大小． 【答案】(1) (2) 证明：锐角的补角为， ， ， 是的余角； (3) 【分析】（1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据补角与余角的定义，列方程求解即可； 【详解】（1）锐角的补角为，的余角为， ； （2）略； （3）设一个锐角为， 锐角的补角为，锐角的余角为， 锐角的补角是它的余角的4倍， ， ， ， ， 这个锐角为． 20．O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用及即可求得与的数量关系； （2）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； （3）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 21．设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 【答案】(1)，不是 (2) (3)或 【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，不是一对“分补角”； （2）解：∵，平分，平分， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴，即， 解得； （3）解：∵平分，平分，且在内部， ∴，， ∴， 如图，当时， 则， ∴； 如图，当时， 则； 综上，的可能值为或． 22．已知如图1，，是的平分线． (1)的度数为_____． (2)如图2，已知，将与重合，且在内部，作射线平分．求的度数． (3)将图2中的绕点顺时针旋转得到图3，旋转过程中始终平分． ①通过推理说明与旋转角度之间有怎样的数量关系？ ②当与互补时，的值为_____（直接写结果）． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，角平分线定义，补角定义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据角平分线定义，进行求解即可； （2）根据角平分线定义得出，根据，求出结果即可； （3）①根据旋转和角平分线定义得出，，再根据角度间的关系求出即可； ②根据补角定义列出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：① ， ， ； ②∵，， 又∵与互补， ∴， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $