第16讲线段的比较和运算 暑假预习讲义（知识点+题型精讲+过关检测） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第16讲 线段的比较和运算 目录 知识点1 线段长短的三种比较方法 2 知识点2 尺规作图基本规则 2 知识点3 线段的和与差 2 知识点4 线段中点定义与核心公式 2 知识点5 线段n等分点 3 知识点6 两点间的距离 3 知识点7 线段基本事实 3 知识点8 双中点压轴模型（必考） 3 题型1 作线段（尺规作图） 3 题型2 线段的和与差 5 题型3 线段中点有关的计算 8 题型4 线段n等分点的有关计算 10 题型5 线段之间的数量关系 14 题型6 与线段有关的动点问题 18 题型7 两点之间线段最短 24 题型8 两点间的距离 26 题型9 线段压轴题型——双中点模型 28 1. 知识目标：掌握线段长短比较方法、尺规作线段的基本规则；理解线段的和、差、中点、n等分点、两点间距离的定义；熟记两点之间线段最短的基本事实。 2. 能力目标：能独立完成尺规作线段运算；熟练掌握线段和差计算、中点与等分点计算；会分析线段数量关系、最短路径问题；掌握线段动点问题、双中点压轴模型的解题套路。 3. 素养目标：建立几何作图规范意识，培养数形结合、分类讨论、动态分析思维，掌握线段几何模型思想，攻克七年级线段压轴题型。 知识点1 线段长短的三种比较方法 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点2 尺规作图基本规则 1. 工具：无刻度直尺（画线）、圆规（截长度）； 2. 要求：作图保留痕迹（圆弧、辅助线），禁止直接用尺子量取长度； 3. 基础操作：作一条线段等于已知线段、作线段的和、作线段的差。 知识点3 线段的和与差 核心依据：共线线段首尾加减。 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点4 线段中点定义与核心公式 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 知识点5 线段n等分点 把一条线段平均分成n等份的点，叫做线段的n等分点； 常见：二等分点（中点）、三等分点、四等分点； 若为n等分点，则每一小段长度为原线段的。 知识点6 两点间的距离 定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离； 易错区分：距离是线段的长度（数值），不是线段本身。 知识点7 线段基本事实 两点之间，线段最短。 应用：所有最短路径、修路最短、选址最短问题的唯一理论依据。 知识点8 双中点压轴模型（必考） 1. 线段内双中点：线段AB上任意一点C，M、N分别为AC、BC中点，则 ； 2. 线段外双中点：点C在AB延长线上，M、N分别为AC、BC中点，仍有 ； 核心结论：无论C在线段上还是延长线上，MN恒为AB的一半。 题型1 作线段（尺规作图） 解题技巧（标准四步法）：1. 定射线：用直尺画一条射线，确定基准端点；2. 截等长：圆规两脚对准已知线段两端，固定半径；3. 画圆弧：在射线上截取对应长度，标记端点；4. 留痕迹：保留作图圆弧痕迹，不擦除辅助线；5. 和差作图：求和顺向截取，求差反向截取。 扣分点规避：禁止用刻度尺量长度作图，必须严格使用圆规截取。 【典例1】．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 【变式1】．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据线段的和差求解． 【详解】解：由作图得：， ． 【变式2】．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【答案】 线段即为所求： 【分析】先画出射线，在射线上截取，在射线上截取，在线段上截取即可解答． 【详解】略 【变式3】．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 【答案】(1) ；2；； (2)；6 【分析】（1）根据中点的定义及线段的和差关系补充即可； （2）在点左侧作，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在点左侧作，则， ∴点即为所求， ，点为线段的中点， ， ， ． 题型2 线段的和与差 解题技巧（位置分类法）：1. 点在线段上：总长=两段之和，小段=总长减另一小段；2. 点在线段延长线上：长段=两段之和，中间段=大段减小段；3. 解题先画图：无图必有多解，优先画出所有可能位置；4. 列式计算：根据图形线段叠加关系列整式计算。 核心口诀：点在线上和相加，点在延长差相减。 【典例2】．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 【变式1】．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 【变式2】．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 【变式3】．如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)，理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． (2)3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 题型3 线段中点有关的计算 解题技巧（中点等量代换法）：1. 看到中点直接写等量：平分线段、一半关系；2. 小线段推大线段、大线段拆小线段；3. 多层中点逐层代换，逐步消去中间量；4. 无图分类：题目未说明点的位置，需讨论点在线段上、延长线上两种情况。 万能思路：中点=平分=1/2倍关系，全程代换计算。 【典例3】．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据线段的和差关系求出的长，再利用中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵在线段上， ∴． 【变式1】．如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， ∵， ． 【变式2】．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 【变式3】．如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据比例关系，由，求出，再根据，可得，计算即可； （2）由（1）中结果先求出，再作差求出，根据中点的条件求出，最后作差即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ． ． （2）解：，， ． ． ∵点E是的中点， ． ． 题型4 线段n等分点的有关计算 解题技巧（份数法秒杀）：1. 几等分就分几份，设每一份为；2. 用份数表示各线段长度；3. 根据题目已知长度列方程求解；4. 三等分、四等分优先份数法，计算最简单、不易错。 易错提醒：区分“靠近A的三等分点”和“靠近B的三等分点”，位置不同结果不同。 【典例4】．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选：C. 【变式1】．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 【变式2】．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 【变式3】．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 题型5 线段之间的数量关系 解题技巧（代数转化法）：1. 用统一未知数表示所有线段；2. 通过和、差、倍、分推导线段间倍数关系；3. 对比前后线段长度，得出几倍、一半、相等、和差关系；4. 压轴小题可直接通过图形结构目测比例验证。 得分关键：不用求具体长度，只推导式子比例关系，简化运算。 【典例5】．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，由 M 是的中点，N 是的中点，则，，故可求． 【详解】解：∵M 是的中点，N 是的中点 ∴，， ∵，， ∴ ． 【变式1】．如图，M是线段的中点，点C在线段上，N为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点的定义得出，求出，再根据中点定义得出，最后根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：∵N为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴， ∴． 【变式2】．如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差关系以及线段中点的性质，通过设未知数来表示线段之间的关系，再根据已知条件列出方程求解，最后求出的长度． 【详解】解：设，则，， ， 为中点，， ， 为中点， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式3】．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题考查线段的计算，准确地作图，合理分类讨论是解题的关键．先确定点C、D在线段上的位置，再通过分类讨论点P在直线上的不同位置，结合线段的和差关系列方程求解． 【详解】解：∵，点C为线段的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ①当点P在点B的右侧，如图1，    设， 则，， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ②当点P在点A的左侧，如图2，    设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴； ③当点P在之间，如图3，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； ④当点P在之间，如图4，    设， 则， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ⑤当点P在之间，如图5，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴（不符题意，舍去）； 综上，或7． 故答案为：1或7． 题型6 与线段有关的动点问题 解题技巧（动点三步走）：1. 设时间为，用 表示动点移动距离；2. 含式子表示所有动态线段长度；3. 根据中点、相等、和差条件列方程求；4. 分段讨论：动点在线段上、线段延长线上两段区间。 核心思维：以静制动，用代数式表示动态线段，转化为方程求解。 【典例6】．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 【变式1】．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 【答案】或或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用和分类讨论思想．关键是根据点、的运动方向分四种情况：均向右运动、向左向右、向右向左、均向左运动，用时间表示出、的相对位置，进而列出关于的方程求解． 【详解】解：设经过秒时，线段的长为． 已知，，点的速度为，点的速度为，则，． 以点为原点，为单位长度，向右为正方向，则点的位置为． ①当点、均向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ②当点向左运动，点向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ③当点向右运动，点向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，，解得； 当时，(舍去)； ④当点、均向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，解得； 当时，(舍去)； 综上，满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 【变式2】．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 【变式3】．定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或16 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据线段中点的定义可得，再根据新定义，即可求解； （2）①求出时，，，再根据新定义，即可求解； ②根据题意，分当点Q在点A右侧时和当点Q在点A左侧时两种情况，利用定义列出方程，然后解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：①当时，，， ∴； ②依题意，当点Q在点A右侧时，，， ， ， ， 解得； 当点Q在点A左侧时，，， ， ， ， 解得， 综上，的值为或16． 题型7 两点之间线段最短 解题技巧（公理直接套用）：1. 所有最短路径问题，统一依据：两点之间，线段最短；2. 折线改直线、曲线改线段，即为最短距离；3. 生活应用题：修路、架桥、走路、选址最短均用此公理；4. 答题标准话术：根据两点之间线段最短，故路径最短。 【典例7】．“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：这个五边形的周长小于原来正方形的周长，理由是两点之间线段最短． 【变式1】．彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 【详解】解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 【变式2】．贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 【变式3】．如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质． 题型8 两点间的距离 解题技巧（概念辨析+计算）：1. 概念判断：距离是线段长度（数值），不是图形；2. 共线两点：直接通过线段和差求长度；3. 不共线两点：连接线段，线段长即为距离；4. 区分易错：路程≠距离，轨迹≠距离，只有线段长为距离。 【典例8】．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 【变式1】．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查射线、线段、两点间距离、线段中点的基础概念，只需根据对应定义逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①∵射线的端点是A，射线的端点是B，端点不同，延伸方向也不同， ∴二者不是同一条射线，说法①错误； ②∵两点之间，线段最短，直线不可度量，∴说法②错误； ③∵连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，不是线段本身，∴说法③错误； ④∵根据线段中点的定义，若点P是线段的中点，则，∴说法④正确； 综上，正确的说法只有1个，故选A． 【变式2】．如图，，点C是的中点，点D在所在直线上，且，那么______． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段的中点、线段的比例关系以及线段的和差关系；找出线段之间的数量关系是解题的关键． 根据题意分当在线段上和当在线段延长线上两种情况，设，结合线段和差关系建立方程求解即可． 【详解】①如图，当在线段上时， 点C是的中点， ， ， 可设， ，解得， ； ②如图，当在线段延长线上时， 可设， ，解得， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 【变式3】．已知线段，．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取，②在射线上截取，那么的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查作一条线段等于已知线段，两点间的距离，根据题意画出图形是解题的关键． 根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】 解：令，， 如图，当点在点的左侧， ，； 如图，当点在点的右侧， ，； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 题型9 线段压轴题型——双中点模型 解题技巧（模型秒杀法）：1. 模型识别：一条线段上/延长线上任意一点，两个中点；2. 固定结论：无论动点在中间还是外侧，两中点连线长 = 原线段的一半；3. 无需复杂计算，直接口算出结果；4. 拓展多动点：多层双中点，逐层套用一半模型。 压轴万能结论：双中点恒半长，动点移动结论不变，是七年级期末必考压轴模板。 【典例9】．已知点C在射线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如图，当点C在线段上时，若，求线段的长． 解：点M是线段的中点， ． 点N是线段的中点， ________． ________． ． ， ________． (2)如图，当点C在线段的延长线上时，根据题意在图中画出点M和点N，若，求线段的长． 请将以下解题过程补充完整． 解：点M是线段的中点， ． 点N是线段的中点， ________． (3)若，则线段的长为_________．（用含a的式子表示） 【答案】(1)；；；5 (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义，掌握线段的和差运算方法是解题的关键； （1）根据线段中点的含义可得，进而得解； （2）根据线段中点的含义可得，进而得解； （3）根据（1）（2）可得，再结合已知条件代入求解即可． 【详解】（1）解：点M是线段的中点， ． 点N是线段的中点， ． ． ． ， ． 故答案为：；；；5 （2）解：点M是线段的中点， ． 点N是线段的中点， ． ， ， ， ． （3）解：由（1）（2）可知，即， ， ， ． 【变式1】．课题学习：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．如图①，点C是线段的中点，可以写成，或． 学以致用： (1)如图②，点C是线段的中点，点M、N分别是线段、的中点，若，则线段的长为________cm； (2)如图③，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段、的中点，若，求线段的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法是解题的关键． （1）根据题意，推出，可知，即可求出答案； （2）根据线段中点的性质得到，再根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：M是的中点，N是的中点， ， ， ， 故答案为：． （2）解：M是的中点，N是的中点， ，， ， ， ． 【变式2】．综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【答案】(1)12 (2)情境①：图见解析，6；情境②：的长度不变． (3)6 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； 情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； （3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可． 【详解】（1）． 故答案为：12； （2）情境①：如图，    ∵点P为线段的中点， ∴． ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 故答案为：6； 情境②：∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． ∴， ∴的长度不变； （3）∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 【变式3】．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】 【感悟体验】：点为所求点，如下图： 【认识概念】； 【运用概念】（1），（2）， 【拓展提升】存在，当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】略 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在， 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 1．下列几种说法：①两点之间线段最短；②任何数的平方都是正数；③是一元一次方程；④是次单项式；⑤任何有理数的绝对值都是非负数．其中正确的语句有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①两点之间线段最短，说法正确； ②的平方是，不是正数，故任何数的平方都是正数，说法错误； ③不是等式，也就不是一元一次方程，原说法错误； ④是次单项式，不是次单项式，原说法错误； ⑤任何有理数的绝对值都是非负数，说法正确， 综上所述，题中说法正确的有①⑤，共个． 2．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 3．如图，已知线段，M是的中点，P是线段上一点，N为的中点，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段的中点的定义，求出的长，作差即可． 【详解】解：∵，M是的中点，N为的中点，， ∴， ∴． 4．观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查基本的几何图形：经过两点能且只能作一条直线；一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示；三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个；两点之间，线段最短． 【详解】①经过两点能且只能作一条直线，说法错误； ②一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示，说法正确； ③三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个，说法错误； ④两点之间，线段最短，说法正确． 综上所述，正确的说法为②④，正确的个数为个． 故选：B 5．如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（　　） A． B．5 C．或5 D．或8 【答案】D 【分析】先求解，再根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【详解】解：由所给数轴可知， 因为数轴上点A和点B表示的数分别为和2， 所以． 因为， 所以， 则，， 所以点C表示的数为或8． 6．如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由作图可得，，再结合线段的和差与线段中点的定义逐一分析即可． 【详解】解：由作图可得：，， ∴，，， 故①②③正确； ∵线段，的中点分别为E，F， ∴，， ∴，故④正确； ，故⑤正确， 综上，正确的有5个． 7．下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短，过两点有且只有一条直线，可得答案． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误； ③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段架设，“两点之间，线段最短”，故③正确； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确； 故选D． 8．在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（   ）       A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】平板弹墨线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 建筑工人砌墙时拉直线找准线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 会场将茶杯摆成直线，先确定两端点，再确定直线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 弯河道改直，利用的是“两点之间线段最短”，不符合要求， ∴ 符合题意的共有3个． 9．已知线段，点C在直线上，且，M为的中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键．根据点C的位置分两种情况，即点C在线段上和点C在的延长线上，分别画出相应的图形，由线段中点的定义以及线段的和差关系进行解答即可． 需分类讨论点C的位置，即C在线段上、C在线段的延长线上，根据线段的比例关系求出、的长度，再结合中点性质计算的长度． 【详解】解：如图1，当点C在线段上时，    ∵，，而， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 如图2，当点C在的延长线上时， ∵，，而， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 综上所述或． 故选：C． 10．已知线段，直线上有一点C．且，点M是线段的中点，则的长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行讨论，即当点C在线段上时和当点C在线段的延长线上时，然后利用线段的和差以及线段中点的性质进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点C在线段上时， ∵ ， ∴， 又∵ M是的中点， ∴； ②当点C在线段的延长线上时， ∵ ， ∴， 又∵ M是的中点， ， 综上，的长是或， 故选：D． 11．如图，，为线段上的一点，点，分别为线段，的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∴． 12．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 如图，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与7表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为，则________；此时，数表示的点与数表示的点重合，则________． 【答案】 3 【分析】折叠后重合的两点关于折痕与数轴的交点对称，即该交点是这两个点的中点，可通过两点的算术平均数计算对称中心或未知对称点． 【详解】解：∵折叠后表示的点与7表示的点重合， ∴折痕与数轴的交点是这两个点的中点， ∴； ∵数表示的点与数表示的点关于对称， ∴，解得：． 13．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点． （1）运动2秒后，________； （2）当时，运动时间为________秒． 【答案】 2 【分析】（1）首先求出，然后由线段中点的性质求解； （2）根据题意表示出，，然后利用列方程求解． 【详解】解：（1）运动2秒后， ∵M为的中点， ∴； （2）设运动时间为t秒 ∴ ∴ ∵M为的中点，N为的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，运动时间为秒． 14．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，在射线上，且，则点C表示的数是______． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，分类讨论． 设点C表示的数为x，根据A和B表示的数分别是和6，得到，，根据，或，且， 分类讨论即得． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵A和B表示的数分别是和6， ∴，， ∵， ∴，或， ∴或． 即点C表示的数是1或， 故答案为：1或． 15．如图，点在线段上，，，点，是上的动点．已知点以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动的时间为_________秒时，点恰好是线段的三等分点． 【答案】 【分析】此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键． 根据时间与速度可以分别表示出，进而得到，再分，两种情况列式求解． 【详解】解：当运动秒时，， 则， 点恰好是线段的三等分点， ，即， 解得：； ，即， 解得：， 又时，， 则不符合题意， 综上，当运动的时间为秒时，点恰好是线段的三等分点． 故答案为：． 16．如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 【答案】(1)直线、线段、射线如图所示． (2)如图，点即为所求．理由为：两点之间，线段最短． (3)点如图所示，或， 【分析】（1）根据直线、线段及射线的定义画图即可； （2）连接、，交于点，根据两点之间，线段最短解答即可； （3）根据求出，分点在点右侧和左侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：∵，， ∴， 如图，当点在点右侧时，， 当点在点左侧时，． 17．如图，已知，，三点均在数轴上，且，． (1)若以的中点为原点，求，，三点所表示的数的和． (2)点也为该数轴上一点，且．若以为原点，则，，三点所表示的数的和是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，，，结合的中点为原点可得出，，三点所表示的数，求和即可； （2）分两类讨论，当点在点的左侧时，则点表示的数为，结合，得出点、表示的数，求和即可；当点在点的右侧时，则点表示的数为，同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵的中点为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； （2）解：①当点在点的左侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； ②当点在点的右侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； 综上所述，，，三点所表示的数的和为或． 18．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 19．综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q为一组“幸福点”．当点P运动多少秒时，P，B，Q是一组“幸福点”？ 【答案】(1)；1； (2)①秒；②2秒或7秒；③秒或秒或9秒． 【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点公式求解即可； （2）①根据的路程的路程解答即可； ②根据相遇前和相遇后两种情况讨论即可解答； ③分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵，点A表示的数为10， ∴点B表示的数是； 点P表示的数是． （2）解：①根据题意，得， 解得． 答：当点P运动秒时，点P追上点Q． ②当点P与点Q相遇前，距离10个单位长度， ， 解得；· 当点P与点Q相遇后，距离10个单位长度， ， 解得， 答：当点P运动2秒或7秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度． ③根据题意，得当B为的中点时， 解得； 当点P为的中点时， 解得； 当点Q为的中点时， ， 解得． 答：当点P运动了秒或秒或9秒时，P，B，Q是一组“幸福点”． 20．【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点A和B分别表示数x，y，点C是线段的中点，那么点C表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有A、B、C、D四个点，分别表示的数为a、b、c、d，又知，且，c、d分别为6和8． (1)求a、b的值； (2)若C、D两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，那么t为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，t满足什么条件时，C、D两点都在线段上． 【答案】(1)， (2)当t为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度 (3)当时，C、D两点都在线段AB上 【分析】（1）由得，结合即可解答； （2）求出线段表示的数，表示出运动中线段的中点的代数式，根据两点间的距离公式列方程解答即可； （3）表示出、两点同时向左运动时的代数式，根据、都在线段上，即、都在、两点之间，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， ，； （2）解：，；、分别为和， 线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， 当、同时向左匀速运动秒时，其中点也同时向左匀速运动秒， 其中点此时表示的数为． 两个中点距离为3个单位长度， ， ， 即， 解得或， 当为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度； （3）解：当、两点同时向左运动时，表示的数分别为和， ∵、都在线段上，即、都在、两点之间， ∴当时，点正好与点重合，是点、都在线段上的开始时刻， 此时， 当时，点正好与点重合，是点、都在线段上的最后时刻， 此时， ∴当时，、两点都在线段上． 【点睛】本题以数轴为载体，融合了绝对值化简、中点坐标公式、动点运动规律、两点距离公式，核心是将几何位置关系转化为代数方程，体现了“数形结合”与“代数建模”的思想． 21．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 22．材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 【答案】(1)，，； (2)点对应的数为或； (3) 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出、的值，再根据数轴中点坐标公式求出的值； （2）设点对应的数为，根据两点距离公式列出绝对值方程，分三种情况讨论求解，舍去矛盾的解； （3）设运动时间为秒，用含、、的式子表示出点、的坐标，再根据中点公式求出点的坐标，计算的距离，根据距离为定值的条件(含的项系数为)求出速度比． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，． ∵点是线段的中点， ∴点对应的数． （2）解：设点对应的数为， ∴，． ∵， ∴， ①当时，方程化为， 解得，与矛盾，舍去； ②当时，方程化为， 解得，符合条件； ③当时，方程化为， 解得，符合条件； 综上，点对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度向左运动，点从点出发，以每秒个单位长度向左运动， ∴秒后点对应的数为，点对应的数为； ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为； 则 ∵点到点的距离始终是定值， ∴，即． 23．如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】（1）根据绝对值、平方的非负性即可求解、、，问题得解； （2）分别表示出线段的中点E对应的数，线段的中点F对应的数，根据两点距离为6列出方程，即可求解； （3）分别表示出点对应数，点对应数，再分段讨论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，，， ，，． （2）解：存在， 由题意得，点M对应的数为，点N对应的数为． 则线段的中点E对应的数为：，线段的中点F对应的数为： 点E与点F的距离为：， ∵线段的中点E到线段的中点F距离为6， 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）解：存在， 由题意得，点对应数，点对应数． 分段讨论： 当时，． 重叠部分左端点为中的最大值，右端点为中的最小值， 重叠长度为，令其为1得． 当时，． 重叠长度为，令其为1得． 综上，存在或． 【点睛】重点掌握分类讨论的思想，不要遗漏每一种情况，将距离问题转化为方程问题． 24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离记作：，线段的中点表示的数记作：．如图，数轴上点、、分别表示、1、． 【基础应用】若将数轴折叠，使得点与点重合，线段中点表示的数为 ，此时与点重合的点所表示的数为 ． 【拓展应用】若点、分别从、同时出发，相向而行，其中点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． ①设运动时间为，请直接写出点、在数轴上表示的数(用含的代数式表示) ： ，： ． ②若中点为，则当时，运动时间的值为 ． 【变式迁移】如图，若点为线段上一点，，，当点，分别为，的中点时，则的长为 ． 【答案】基础应用：；； 拓展应用：①；；②或； 变式迁移： 【分析】基础应用：先利用中点公式直接计算的中点；再根据折叠后对称点的中点与中点重合，列方程求解与重合的点． 拓展应用：①根据“起始点数值+运动方向对应的单位变化”写出、的数； ②先通过中点公式表示出的数值，再利用两点距离公式列绝对值方程，分情况求解． 变式迁移：设出、的数值，利用中点公式表示、的数值，再结合的长度消去未知量，计算的长度． 【详解】基础应用： 解：∵点、表示的数分别为、， ∴中点表示的数为． 设与点重合的点表示的数为， ∵折叠后与重合， ∴点与关于中点对称，即， 解得． 拓展应用： ①解：点从出发，以每秒1个单位长度向右运动， ∴秒后点表示的数为； 点从出发，以每秒4个单位长度向左运动， ∴秒后点表示的数为． ②解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数为， 又∵点表示的数为，且， ∴，即， 解，解得； 解，解得； 综上，运动时间的值为或． 变式迁移： 解：设原点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在的右侧， ∴， ∵点在线段上，， ∴点表示的数为， ∵点是的中点，点是的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 线段的比较和运算 目录 知识点1 线段长短的三种比较方法 2 知识点2 尺规作图基本规则 2 知识点3 线段的和与差 2 知识点4 线段中点定义与核心公式 3 知识点5 线段n等分点 3 知识点6 两点间的距离 3 知识点7 线段基本事实 3 知识点8 双中点压轴模型（必考） 3 题型1 作线段（尺规作图） 4 题型2 线段的和与差 5 题型3 线段中点有关的计算 5 题型4 线段n等分点的有关计算 6 题型5 线段之间的数量关系 7 题型6 与线段有关的动点问题 8 题型7 两点之间线段最短 9 题型8 两点间的距离 10 题型9 线段压轴题型——双中点模型 11 1. 知识目标：掌握线段长短比较方法、尺规作线段的基本规则；理解线段的和、差、中点、n等分点、两点间距离的定义；熟记两点之间线段最短的基本事实。 2. 能力目标：能独立完成尺规作线段运算；熟练掌握线段和差计算、中点与等分点计算；会分析线段数量关系、最短路径问题；掌握线段动点问题、双中点压轴模型的解题套路。 3. 素养目标：建立几何作图规范意识，培养数形结合、分类讨论、动态分析思维，掌握线段几何模型思想，攻克七年级线段压轴题型。 知识点1 线段长短的三种比较方法 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点2 尺规作图基本规则 1. 工具：无刻度直尺（画线）、圆规（截长度）； 2. 要求：作图保留痕迹（圆弧、辅助线），禁止直接用尺子量取长度； 3. 基础操作：作一条线段等于已知线段、作线段的和、作线段的差。 知识点3 线段的和与差 核心依据：共线线段首尾加减。 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点4 线段中点定义与核心公式 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 知识点5 线段n等分点 把一条线段平均分成n等份的点，叫做线段的n等分点； 常见：二等分点（中点）、三等分点、四等分点； 若为n等分点，则每一小段长度为原线段的。 知识点6 两点间的距离 定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离； 易错区分：距离是线段的长度（数值），不是线段本身。 知识点7 线段基本事实 两点之间，线段最短。 应用：所有最短路径、修路最短、选址最短问题的唯一理论依据。 知识点8 双中点压轴模型（必考） 1. 线段内双中点：线段AB上任意一点C，M、N分别为AC、BC中点，则 ； 2. 线段外双中点：点C在AB延长线上，M、N分别为AC、BC中点，仍有 ； 核心结论：无论C在线段上还是延长线上，MN恒为AB的一半。 题型1 作线段（尺规作图） 解题技巧（标准四步法）：1. 定射线：用直尺画一条射线，确定基准端点；2. 截等长：圆规两脚对准已知线段两端，固定半径；3. 画圆弧：在射线上截取对应长度，标记端点；4. 留痕迹：保留作图圆弧痕迹，不擦除辅助线；5. 和差作图：求和顺向截取，求差反向截取。 扣分点规避：禁止用刻度尺量长度作图，必须严格使用圆规截取。 【典例1】．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【变式2】．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【变式3】．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 题型2 线段的和与差 解题技巧（位置分类法）：1. 点在线段上：总长=两段之和，小段=总长减另一小段；2. 点在线段延长线上：长段=两段之和，中间段=大段减小段；3. 解题先画图：无图必有多解，优先画出所有可能位置；4. 列式计算：根据图形线段叠加关系列整式计算。 核心口诀：点在线上和相加，点在延长差相减。 【典例2】．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【变式2】．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【变式3】．如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 题型3 线段中点有关的计算 解题技巧（中点等量代换法）：1. 看到中点直接写等量：平分线段、一半关系；2. 小线段推大线段、大线段拆小线段；3. 多层中点逐层代换，逐步消去中间量；4. 无图分类：题目未说明点的位置，需讨论点在线段上、延长线上两种情况。 万能思路：中点=平分=1/2倍关系，全程代换计算。 【典例3】．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【变式3】．如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 题型4 线段n等分点的有关计算 解题技巧（份数法秒杀）：1. 几等分就分几份，设每一份为；2. 用份数表示各线段长度；3. 根据题目已知长度列方程求解；4. 三等分、四等分优先份数法，计算最简单、不易错。 易错提醒：区分“靠近A的三等分点”和“靠近B的三等分点”，位置不同结果不同。 【典例4】．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【变式2】．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【变式3】．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 题型5 线段之间的数量关系 解题技巧（代数转化法）：1. 用统一未知数表示所有线段；2. 通过和、差、倍、分推导线段间倍数关系；3. 对比前后线段长度，得出几倍、一半、相等、和差关系；4. 压轴小题可直接通过图形结构目测比例验证。 得分关键：不用求具体长度，只推导式子比例关系，简化运算。 【典例5】．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，M是线段的中点，点C在线段上，N为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 【变式3】．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 题型6 与线段有关的动点问题 解题技巧（动点三步走）：1. 设时间为，用 表示动点移动距离；2. 含式子表示所有动态线段长度；3. 根据中点、相等、和差条件列方程求；4. 分段讨论：动点在线段上、线段延长线上两段区间。 核心思维：以静制动，用代数式表示动态线段，转化为方程求解。 【典例6】．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【变式1】．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 【变式2】．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【变式3】．定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 题型7 两点之间线段最短 解题技巧（公理直接套用）：1. 所有最短路径问题，统一依据：两点之间，线段最短；2. 折线改直线、曲线改线段，即为最短距离；3. 生活应用题：修路、架桥、走路、选址最短均用此公理；4. 答题标准话术：根据两点之间线段最短，故路径最短。 【典例7】．“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 【变式1】．彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【变式2】．贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【变式3】．如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 题型8 两点间的距离 解题技巧（概念辨析+计算）：1. 概念判断：距离是线段长度（数值），不是图形；2. 共线两点：直接通过线段和差求长度；3. 不共线两点：连接线段，线段长即为距离；4. 区分易错：路程≠距离，轨迹≠距离，只有线段长为距离。 【典例8】．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【变式1】．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．如图，，点C是的中点，点D在所在直线上，且，那么______． 【变式3】．已知线段，．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取，②在射线上截取，那么的长为_____． 题型9 线段压轴题型——双中点模型 解题技巧（模型秒杀法）：1. 模型识别：一条线段上/延长线上任意一点，两个中点；2. 固定结论：无论动点在中间还是外侧，两中点连线长 = 原线段的一半；3. 无需复杂计算，直接口算出结果；4. 拓展多动点：多层双中点，逐层套用一半模型。 压轴万能结论：双中点恒半长，动点移动结论不变，是七年级期末必考压轴模板。 【典例9】．已知点C在射线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如图，当点C在线段上时，若，求线段的长． 解：点M是线段的中点， ． 点N是线段的中点， ________． ________． ． ， ________． (2)如图，当点C在线段的延长线上时，根据题意在图中画出点M和点N，若，求线段的长． 请将以下解题过程补充完整． 解：点M是线段的中点， ． 点N是线段的中点， ________． (3)若，则线段的长为_________．（用含a的式子表示） 【变式1】．课题学习：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．如图①，点C是线段的中点，可以写成，或． 学以致用： (1)如图②，点C是线段的中点，点M、N分别是线段、的中点，若，则线段的长为________cm； (2)如图③，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段、的中点，若，求线段的长． 【变式2】．综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【变式3】．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 1．下列几种说法：①两点之间线段最短；②任何数的平方都是正数；③是一元一次方程；④是次单项式；⑤任何有理数的绝对值都是非负数．其中正确的语句有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，已知线段，M是的中点，P是线段上一点，N为的中点，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 4．观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（　　） A． B．5 C．或5 D．或8 6．如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 7．下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 8．在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（   ）       A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知线段，点C在直线上，且，M为的中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D．或 10．已知线段，直线上有一点C．且，点M是线段的中点，则的长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 11．如图，，为线段上的一点，点，分别为线段，的中点，则的长为________． 12．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 如图，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与7表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为，则________；此时，数表示的点与数表示的点重合，则________． 13．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点． （1）运动2秒后，________； （2）当时，运动时间为________秒． 14．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，在射线上，且，则点C表示的数是______． 15．如图，点在线段上，，，点，是上的动点．已知点以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动的时间为_________秒时，点恰好是线段的三等分点． 16．如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 17．如图，已知，，三点均在数轴上，且，． (1)若以的中点为原点，求，，三点所表示的数的和． (2)点也为该数轴上一点，且．若以为原点，则，，三点所表示的数的和是多少？ 18．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 19．综合与探究：已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? ②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为10个单位长度？ ③如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，那么就称P，B，Q为一组“幸福点”．当点P运动多少秒时，P，B，Q是一组“幸福点”？ 20．【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点A和B分别表示数x，y，点C是线段的中点，那么点C表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有A、B、C、D四个点，分别表示的数为a、b、c、d，又知，且，c、d分别为6和8． (1)求a、b的值； (2)若C、D两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，那么t为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，t满足什么条件时，C、D两点都在线段上． 21．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 22．材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 23．如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离记作：，线段的中点表示的数记作：．如图，数轴上点、、分别表示、1、． 【基础应用】若将数轴折叠，使得点与点重合，线段中点表示的数为 ，此时与点重合的点所表示的数为 ． 【拓展应用】若点、分别从、同时出发，相向而行，其中点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． ①设运动时间为，请直接写出点、在数轴上表示的数(用含的代数式表示) ： ，： ． ②若中点为，则当时，运动时间的值为 ． 【变式迁移】如图，若点为线段上一点，，，当点，分别为，的中点时，则的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $