精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市第四中学2025-2026学年 七年级下期末测试数学试题

2025—2026学年度七年级（下）期末测试 数学试卷 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 轴上 B. 轴上 C. 原点处 D. 以上都不对 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了审核书稿中的错别字，采用抽样调查 B. 为了解春节晩会的收视率，采用全面调查 C. 环保部门对黄河某段水域的水污染情况的调查，采用全面调查 D. 对某校八年级（1）班学生的体重情况的调查，采用全面调查 4. 下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（ ） A. B. 1 C. 2026 D. 6. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式一定成立的是（　　） A. B. a+c＞b+c C. 2a＞2b D. a﹣c＞b﹣c 7. 在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 8. 已知的解满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 已知，且的两边与的两边满足一边互相平行，另一边互相垂直，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 已知点M坐标为，且M点到两坐标轴的距离相等，则a的值为____________． 12. 如图，，则___________． 13. 已知点A(-5，0)，点B(3，0)，点C在y轴上，△ABC的面积为12，则点C的坐标为______． 14. 关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是_______． 15. 把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有_____本． 16. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分的面积为_______． 17. 如图，七个小长方形拼成一个大长方形，若大长方形的宽是14，则大长方形的面积为__________． 18. 我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解为______ ． 19. 如图，将含角的直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数为______ 20. 在平面直角坐标系中，某机器人从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动个单位长度，行走路线如图所示，第次移动到， 第次移动到，第次移动到， 第次移动到，则第次移动至点的坐标是 _______． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知是的边上的一点，把经过平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点P的对应点为． （1）直接写出D，E，F三个点的坐标并画出； （2）求的面积． 23. 为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动．该校采用简单随机抽样的方法，对本校学生一周的阅读时间(单位：)进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图．抽取的学生一周阅读时间的频数分布直方图抽取的学生一周阅读时间的扇形统计图 请根据相关信息，解答下列问题： （1） ，C组对应的频数 ，并补全直方图； （2）调查所得数据的中位数落在 组(填组别)； （3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于的学生人数． 24. 先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知，试求A，B两点间的距离； （2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 25. 已知，点B为平面内一点，于B． （1）如图1，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，过点B作于点D，求证：． 26. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标． （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长， （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度七年级（下）期末测试 数学试卷 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的知识逐个计算，判断即可． 【详解】A. ，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项符合题意； D. ，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的知识，正确计算算术平方根和立方根是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 轴上 B. 轴上 C. 原点处 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的横坐标为0，可以判断出点在平面直角坐标系中的位置． 【详解】在平面直角坐标系中，点的横坐标为0， 点在轴上． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，理解点的坐标与平面直角坐标系中位置的对应． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了审核书稿中的错别字，采用抽样调查 B. 为了解春节晩会的收视率，采用全面调查 C. 环保部门对黄河某段水域的水污染情况的调查，采用全面调查 D. 对某校八年级（1）班学生的体重情况的调查，采用全面调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、为了审核书稿中的错别字，选择全面调查，故本选项错误； B、为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，故本选项错误； C、环保部门对黄河某段水域的水污染情况的调查，采用抽样调查，故本选项错误； D、对某校八年级（1）班学生的体重情况的调查，采用全面调查，故本选项正确； 故选D 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：要使线段的长度表示点P到直线的距离，则， 选项中只有A符合． 5. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（ ） A. B. 1 C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的次数为1且对应系数不为0，求出和的值，再计算得到结果，选出正确选项． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，，， 解得 ，， ∴． 6. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式一定成立的是（　　） A. B. a+c＞b+c C. 2a＞2b D. a﹣c＞b﹣c 【答案】A 【解析】 【分析】根据a，b，c的正负和大小关系即可判断． 【详解】解：由数轴知：a＜b＜0＜c． ∴＞0，＜0，故A正确． ∵a＜b． ∴a+c＜b+c，2a＜2b，a-c＜b-c． 故B错误，C错误．D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，正确理解不等式的性质是求解本题的关键． 7. 在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】设出两种奖品的购买数量，根据总费用列出方程，再结合未知数为正整数的条件，求出所有符合条件的购买方案． 【详解】解：设购买笔记本个，钢笔个，其中均为正整数， 由题意得 ， 整理得 ， ∵ 是正整数， ∴ 为整数，即是3的倍数， 又∵ ， ∴ ， 解得 ， ∵ 是正整数， ∴ 的可能取值为 3,6,9,12，共4种， 对应均为正整数，即共有4种购买方案． 8. 已知的解满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，通过消元法解方程组，求出x和y的值，再计算的值即可． 【详解】解： 得：， 解得：， 将代入②得， 解得：， ∴，即， 故选：C． 9. 已知，且的两边与的两边满足一边互相平行，另一边互相垂直，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，涉及了分类讨论思想．如图①，求出，由平行线的性质推出；如图②，求出，由对顶角的性质得到，由平行线的性质推出，求出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图②，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故选：A． 10. 如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，角平分线的定义，互余等．根据，平分，通过导角可判断①；根据平行线的判定定理可判断②；根据平行线的性质及角平分线的定义可判断③；根据互余的定义可判断④． 【详解】解：平分， ， ， ，， ， 平分，故①正确； ，平分， ，， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ， ，故③正确； 与互余的角有：，，，，共4个．故④错误； 综上可知，正确的有， 故选C． 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 已知点M坐标为，且M点到两坐标轴的距离相等，则a的值为____________． 【答案】1或3 【解析】 【分析】根据点到两坐标轴距离相等，点M的横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程求出a的值即可． 【详解】解：∵点M的坐标为，且点M到两坐标轴的距离相等， ∴，或， 解得，或， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查了点的坐标，理解点到两坐标轴距离相等，点M的横坐标与纵坐标相等或互为相反数两种情况是解题的关键． 12. 如图，，则___________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】过点E作EF平行于AB，可得EF//DC，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点E作EF∥AB， ∴∠BAE+∠AEF=180°， ∵∠BAE=118°， ∴∠AEF=62°， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC=∠DCE=28°， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行，并能依此正确画出辅助线是解题关键． 13. 已知点A(-5，0)，点B(3，0)，点C在y轴上，△ABC的面积为12，则点C的坐标为______． 【答案】(0，-3) 或(0，3) 【解析】 【分析】根据题目中的信息可以得到△ABC的面积等于线段AB与点C到AB的距离的乘积的一半，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：设点C的坐标为（0，a）， ∵点A（-5，0），点B（3，0），点C在y轴上，△ABC的面积为12， ∴， 解得，a=±3， 即点C的坐标为（0，-3）或（0，3）， 故答案为：（0，-3）或（0，3）． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确三角形的面积计算公式，由点的坐标可以求出相应的线段的长． 14. 关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，根据整数解的个数确定a的范围即可． 【详解】解：解不等式组， 由得， 由得， 故不等式组的解集为， 不等式组只有三个整数解，且， 整数解为 ，，， 可得， 解得． 15. 把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有_____本． 【答案】26 【解析】 【分析】设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，根据“每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的值，再将其代入（3x+8）中即可求出结论． 【详解】解：设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书， 依题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x＝6， ∴3x+8＝26． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了不等式组的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键． 16. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：将三角形沿着点到点的方向平移到的位置， ， 阴影部分的面积等于梯形的面积， 由平移得，， ，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键． 17. 如图，七个小长方形拼成一个大长方形，若大长方形的宽是14，则大长方形的面积为__________． 【答案】280 【解析】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得，求得x，y值后，再计算的值即可得到图形的面积． 本题考查了二元一次方程组的应用，正确构造方程组并求解是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意，得， 解得， 故． 故答案为：280． 18. 我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中新定义化简已知不等式，再解不等式，即可求出最大整数解． 【详解】解：， ， 即， 解得， 关于的不等式的最大整数解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键． 19. 如图，将含角的直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数为______ 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据平行线的性质及直角三角板的特征可进行求解． 【详解】解：由题可知：，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，某机器人从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动个单位长度，行走路线如图所示，第次移动到， 第次移动到，第次移动到， 第次移动到，则第次移动至点的坐标是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，得到动点的纵坐标，每4个一个循环，得到规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知的纵坐标以，，，四个一组进行循环， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴的坐标是， ∴的坐标是． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 【小问3详解】 解： 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得． 原方程组的解为． 【小问4详解】 解： 得， ． 把代入①，得， 解得． 原方程组的解为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知是的边上的一点，把经过平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点P的对应点为． （1）直接写出D，E，F三个点的坐标并画出； （2）求的面积． 【答案】（1），图见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移作图、网格中求三角形面积，掌握平移是性质是解题关键． （1）按照点平移前、后坐标的变化，分别计算出点平移后的对应点、、的坐标，并顺次连接即可； （2）在网格中，用包含在内的矩形面积减去多余的三角形面积即可计算出的面积． 【小问1详解】 解：∵点P平移前后的坐标分别为，， ∴点P平移方式即为的移方式：先向下平移4个单位，再向左平移2个单位， 如图，、、三个点的坐标为即为所求， 【小问2详解】 解： ． 23. 为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动．该校采用简单随机抽样的方法，对本校学生一周的阅读时间(单位：)进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图．抽取的学生一周阅读时间的频数分布直方图抽取的学生一周阅读时间的扇形统计图 请根据相关信息，解答下列问题： （1） ，C组对应的频数 ，并补全直方图； （2）调查所得数据的中位数落在 组(填组别)； （3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于的学生人数． 【答案】（1）45；25；补全直方图如下： （2）B （3）估计该校学生一周阅读时间不少于的学生人数约为675名． 【解析】 【分析】（1）利用A组的人数以及对应的占比求得抽样学生人数，进一步计算即可求解； （2）根据中位数的定义求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：抽样学生人数（名）， ， ∴， C组对应的频数（名）， 补全直方图略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴调查所得数据的中位数落在B组； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校学生一周阅读时间不少于的学生人数约为675名． 24. 先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知，试求A，B两点间的距离； （2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】（1）13 （2）8 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【小问1详解】 解：A，B两点间的距离； 【小问2详解】 解：由题意，得：A，B两点间的距离． 25. 已知，点B为平面内一点，于B． （1）如图1，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，过点B作于点D，求证：． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， （1）过B作，证明，利用平行线的性质得出，，由，即可得出结论； （2）过B作，，得出，证明，利用余角的性质可得出，即可得证． 【小问1详解】 解： 理由：过B作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过B作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴． 26. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球和足球的单价分别是120元，90元 （2）有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设篮球和足球的单价分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元列出方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过5460元，且篮球不少于30个列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球和足球的单价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：篮球和足球的单价分别是120元，90元； 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买足球个， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为30或31或32， ∴有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标． （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长， （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（0，6），C（8，0） （2）AP=8-2t（0≤t＜4）或2t－8（4≤t≤7）． （3）存在，3秒和5秒 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）当点P在线段BA上时，根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB=8，AC=6当点P在线段AC上时，于是得到结论； （3）当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．（0，6），C（8，0）， 【小问1详解】 B（0，6），C（8，0）， 【小问2详解】 当点P在线段BA上时， 由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB=8，AC=6 ∵AP=AB-BP，BP=2t， ∴AP=8-2t（0≤t＜4）； 当点P在线段AC上时， ∴AP=点P走过的路程-AB=2t-8（4≤t≤7）． 【小问3详解】 存在两个符合条件的t值， 当点P在线段BA上时 ∵， ∴， 解得：t＝3， 当点P在线段AC上时， ∵ CD＝8－2＝6 ∴， 解得：t＝5， 综上所述：当t为3秒和5秒时． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $