2026年苏科版八升九年级数学上册暑期预习讲义（第12讲）——等可能条件下的概率（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第12讲）——等可能条件下的概率（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】事件的分类（必考基础） 1 【知识点二】等可能试验（古典概型前提） 2 【知识点三】古典概型概率计算公式（核心公式） 2 【知识点四】两类基础概率模型 2 【知识点五】概率与游戏公平性 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】事件类型概率判断 3 【题型 2】一步试验概率基础计算 3 【题型 3】放回型两步试验概率计算 4 【题型 4】不放回型两步试验概率计算（高频易错） 5 【题型 5】游戏公平性判断 5 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 7】几何概率 7 【题型 8】用列表法或树状图求概率 8 四.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.教材知识梳理 【知识点一】事件的分类（必考基础） 1. 必然事件 在一定条件下，一定会发生的事件。概率：。 举例：太阳东升西落、掷一枚骰子点数不大于6。 2. 不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件。概率：。 举例：掷一枚骰子点数为7、水中捞月。 3. 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。概率：。 【知识点二】等可能试验（古典概型前提） 满足以下两个条件的试验，称为等可能试验： 1. 试验的所有可能结果是有限个； 2. 每一个结果出现的可能性大小相等。 常见等可能试验：掷骰子、掷硬币、摸球、抽卡片、转盘均分试验。 易错提醒：不规则转盘、数量不等的摸球不属于等可能试验。 【知识点三】古典概型概率计算公式（核心公式） 若一个等可能试验共有种等可能结果，其中事件包含种结果，则： 【知识点四】两类基础概率模型 1. 一步试验 单次操作即可完成的试验，直接数总结果数、符合条件结果数，代入公式计算。 2. 两步试验（放回/不放回） 放回试验：每次试验总数量不变，前后试验互不影响； 不放回试验：取出后不返回，下一次总数量减少，结果总数改变。 【知识点五】概率与游戏公平性 1. 若游戏双方获胜的概率相等，则游戏公平； 2. 若游戏双方获胜的概率不相等，则游戏不公平； 3. 不公平游戏可通过调整数量、修改规则使双方概率相等。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】事件类型概率判断 【例题1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）天气预报信息显示，明天最高气温是 ，最低气温是，降水概率为，根据此信息判断，下列说法中正确的是（   ） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【变式2】（24-25七年级下·广东清远·期中）某市天气预报如下图所示，下小雨的可能性是，则“下小雨”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么______．（填“>”、“<”或“=”） 【题型 2】一步试验概率基础计算 【例题2】（25-26八年级下·四川成都·期末）从，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数记为，则数使关于的分式方程有正数解的概率是______． 【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）7张背面相同的卡片，正面分别写有A，A，B，B，C，C，C 中的一个字母，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的字母是C的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）同学们开展“探访世界文化遗产”主题活动，制作了四张印有文化遗产标识的卡片（除内容外，其余完全相同），正面分别印有：中国平遥古城、意大利威尼斯水城、中国云冈石窟、希腊雅典卫城，并将这四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽到中国文化遗产卡片的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，从①，②，③，④中选出一个条件，可以判定的概率是________． 【题型 3】放回型两步试验概率计算 【例题3】（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）2025年春节期间，张三和李四相约去江西省游玩，出发之前，两人用随机抽卡片的方式决定去哪个景点，他们制作了四张背面完全一样的卡片，正面分别写有三清山、龟峰、明月山、武功山，背面朝上洗匀，放置在桌面． （1）张三抽取一张卡片，抽到写有“武功山”的卡片的概率为________； （2）张三随机抽取一张卡片后放回，李四再随机抽取一张，求两人抽到同一张卡片的概率． 【变式1】（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 【变式3】（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． （1）任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； （2）任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； （3）任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 【题型 4】不放回型两步试验概率计算（高频易错） 【例题4】（24-25九年级上·湖北·期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，随机从中任意摸出1个球，是红球的概率为． （1）直接写出袋子中白球的个数； （2）从袋子中先摸出一个球后不放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图求两次摸到的球都是白球的概率． 【变式1】（2024·河南周口·二模）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四本著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西·中考真题）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）在一只不透明的布袋中，装有原地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1、2、3、4．甲、乙两人玩换球游戏，规则如下，甲先从中随机摸出1个球，不放回，然后乙再从剩余的球中摸出1个球． （1）甲摸到标有数字1的球的概率是______； （2）若两个小球上的数字之和是奇数，则甲胜；若两个小球上的数字之和是偶数，则乙胜．求甲获胜的概率． 【题型 5】游戏公平性判断 【例题5】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）一个不透明的盒子中装有个白色乒乓球、个黄色乒乓球、个红色乒乓球；这些乒乓球除颜色外其它完全一样． （1）小颖从盒子中随机摸出一个乒乓球，小颖摸出红色乒乓球是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）小颖和小华一起做游戏，小颖从盒子中随机摸出一个乒乓球，如果摸出白色乒乓球，小颖获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）已知甲布袋中装有4个红球，5个白球；乙布袋中装有3个红球，若干个白球．这些小球除颜色外都完全相同． （1）若从乙布袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，求乙布袋中白球的数量； （2）若小明和小强一起做游戏，他们将甲布袋的球全部倒入乙布袋中，从中随机摸出一个球．若摸到红球，则小明获胜；若摸到白球，则小强获胜．要使游戏公平，求原来乙布袋中有多少个白球． 【变式2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）将正面分别写有数字1，2，3的三张卡片（卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为a，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为b，组成数对． （1）请写出数对所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得到的数对计算的值，若的值为奇数则甲赢；的值为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“一”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是_____． （2）明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜，请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】几何概率 【例题7】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）地理兴趣小组想估算一个形状不规则的天然湖泊的水面面积，他们采取了如下方法：用一个已知面积为的规则矩形区域（代表包含湖泊的研究范围）将湖泊完整框住，然后通过随机模拟试验（模拟降水落点）来估算：在该矩形区域内随机生成大量“降水落点”（落在矩形外或边界上的不计入试验），记录落点落在湖泊水面内的次数，绘制成频率折线统计图（试验次数足够多时，频率稳定在0.35附近） （1）根据表格记录的试验结果，估计降水落点落在湖泊水面内的概率为：______； （2）请计算该湖泊的水面面积大约为多少？ 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 【变式3】（2023·陕西西安·模拟预测）小科同学在学习了“频率与概率应用”配紫色游戏这一节后，也设计了一款配紫色游戏如图，O为矩形的对称中心，线段和对角线将矩形分成三部分，其中，分别用“红”、“绿”、“蓝”三种颜料将这三部分涂上颜色，O处的指针拨动后在不受干扰的情况下可在任意位置停下．设计游戏规则如下：拨动指针，待指针停下记下指针指向的颜色，若指针停在，不计入次数，重新拨动指针，直至指向某一颜色区域，记为一次有效拨动.记录一次完整的有效拨动后，才可进行第二次拨动． （1）一次有效拨动，恰好指针停在红色区域的概率____________ （2）利用列表或画树状图的方法求两次有效拨动恰好配成紫色的概率．（已知红蓝可配成紫色） 【题型 8】用列表法或树状图求概率 【例题8】（26-27九年级·浙江·暑假作业）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 课程 内容 人数 A 《论语》 B 《史记》 C 《天工开物》 D 《九章算术》 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人，表中的值为________； （2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 【变式1】（2026·四川广元·中考真题）某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩频数分布表 等级 成绩（分） 频数 A B C D E 统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题： （1）参赛学生总人数为__________人，成绩频数分布表中__________，__________； （2）参赛学生此次成绩的中位数是__________； （3）若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率． 【变式2】（2026·四川巴中·中考真题）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； （2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； （3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【变式3】（2026·黑龙江绥化·中考真题）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间（单位：小时） A B C D E （1）本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图． （2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生人数． （3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 2．（25-26九年级下·福建福州·期中）袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 3．（25-26七年级下·江西九江·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 5．（2022·广西南宁·模拟预测）从红、黄、蓝三顶不同的帽子和黑、白两条不同的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和白围巾的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）将分别标有“人”“文”“陕”“西”“大”“美”“三”“秦”汉字的八个小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外其余都相同，搅匀后从袋中随机摸出一球，摸到标有“秦”字小球的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则估计袋中黑球有（     ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，请你估计这些事件发生的概率最小的是（     ） A．指针落在标有9的区域内 B．指针落在标有6的区域内 C．指针落在标有奇数的区域内 D．指针落在标有有理数的区域内 10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）在抽签中，设抽中的概率是，则抽不中的概率是______． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 13．（25-26七年级下·福建宁德·期末）一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 15．（2025·贵州遵义·模拟预测）从现有的三个数，1，2中任选不重复的两个数，分别作点A的横坐标和纵坐标，则点A位于第一象限的概率是________． 16．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）武功山、孽龙洞、安源路矿工人运动纪念馆、杨岐山、明月湖和吉内得国家稻田公园是萍乡具有代表性的六个旅游景点，将这六处景点制作成卡片（除汉字外其它都相同），随机从中抽取一张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为__________． 17．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖，现场设置了一个如图所示材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，顾客可领取指针所指区域对应的奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为________． 18．（四川省成都市东部新区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）从，，，，，，这个数中任选一个数作为的值，则关于的方程的解为非正数的概率是_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有5个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是白球的概率是多少？ （2）为了使摸出白球的概率是，再放进去7个球，那么这7个球中红球和白球的数量分别应是多少？ 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广东茂名·期中）在“重走信宜路，追寻家国情”研学活动中，导游准备了一个不透明的袋子，里面装有除颜色外完全相同的4个球，其中红色代表“怀乡起义馆”，黄色代表“怀乡虎跳峡”，蓝色代表“北界林砺儒故居”，绿色代表“池洞莲花湖”，学生通过摸球的方式，分批前往相应的研学地点． （1）小明从袋子中随机摸出一个球，摸到红球是______事件． A．不可能    B．必然    C．随机 （2）小明从袋子中随机摸出一个球． ①小明摸到黄球的概率是______． ②小明摸到红球或蓝球的概率是多少？ 21．（本小题满分10分）（2025·甘肃张掖·一模）为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是________； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）在一个不透明的袋子中装有6个完全一样的球，每个球上分别标有1，2，3，3，4，5．从袋中任意摸出一个球，记下数字后放回． （1）摸到的球上所标数字大于5是________事件；（选填“随机”，“必然”或“不可能”） （2）摸到的球上所标数字为3的概率是________； （3）小颖和小明做游戏，游戏规定：若摸到的球上所标数字大于3，则小颖赢；若摸到的球上所标数字小于3，则小明赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人试验，供学生对其进行深入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的任务进行深入了解． （1）李明抽到的卡片是“A．天舟十号货运补给”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率． 24．（本小题满分12分）（2026·四川宜宾·中考真题）某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）________，补全条形统计图； （2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数； （3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第12讲）——等可能条件下的概率（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】事件的分类（必考基础） 1 【知识点二】等可能试验（古典概型前提） 2 【知识点三】古典概型概率计算公式（核心公式） 2 【知识点四】两类基础概率模型 2 【知识点五】概率与游戏公平性 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】事件类型概率判断 2 【题型 2】一步试验概率基础计算 4 【题型 3】放回型两步试验概率计算 6 【题型 4】不放回型两步试验概率计算（高频易错） 9 【题型 5】游戏公平性判断 12 三.经典题型精析（综合提升） 16 【题型 7】几何概率 16 【题型 8】用列表法或树状图求概率 19 四.同步自测 25 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.教材知识梳理 【知识点一】事件的分类（必考基础） 1. 必然事件 在一定条件下，一定会发生的事件。概率：。 举例：太阳东升西落、掷一枚骰子点数不大于6。 2. 不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件。概率：。 举例：掷一枚骰子点数为7、水中捞月。 3. 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。概率：。 【知识点二】等可能试验（古典概型前提） 满足以下两个条件的试验，称为等可能试验： 1. 试验的所有可能结果是有限个； 2. 每一个结果出现的可能性大小相等。 常见等可能试验：掷骰子、掷硬币、摸球、抽卡片、转盘均分试验。 易错提醒：不规则转盘、数量不等的摸球不属于等可能试验。 【知识点三】古典概型概率计算公式（核心公式） 若一个等可能试验共有种等可能结果，其中事件包含种结果，则： 【知识点四】两类基础概率模型 1. 一步试验 单次操作即可完成的试验，直接数总结果数、符合条件结果数，代入公式计算。 2. 两步试验（放回/不放回） 放回试验：每次试验总数量不变，前后试验互不影响； 不放回试验：取出后不返回，下一次总数量减少，结果总数改变。 【知识点五】概率与游戏公平性 1. 若游戏双方获胜的概率相等，则游戏公平； 2. 若游戏双方获胜的概率不相等，则游戏不公平； 3. 不公平游戏可通过调整数量、修改规则使双方概率相等。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】事件类型概率判断 【例题1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）天气预报信息显示，明天最高气温是 ，最低气温是，降水概率为，根据此信息判断，下列说法中正确的是（   ） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的意义，根据降水概率所提供的数字进行判断是解答本题关键．根据题意，明天是否下雨和最高温度、最低温度无关，根据降水概率为进行分析，明天下雨的可能性较小． 解：降水概率为，那么明天下雨的可能性较小． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 【变式2】（24-25七年级下·广东清远·期中）某市天气预报如下图所示，下小雨的可能性是，则“下小雨”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定性事件，据此求解即可． 解：“下小雨”这一事件是随机事件， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么______．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据事件发生的可能性大小作出判断即可． 解：事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”， 则事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性，即, 故答案为：< 【点拨】此题考查了概率，概率是表示事件发生可能性大小的量，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【题型 2】一步试验概率基础计算 【例题2】（25-26八年级下·四川成都·期末）从，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数记为，则数使关于的分式方程有正数解的概率是______． 【答案】/ 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程有正数解的条件得到的取值范围，找出符合条件的的个数，最后根据概率公式计算即可． 解：对分式方程变形，得 ， 方程两边同乘，得 ， 整理得， 解得， ∵分式方程有正数解， ∴，且， 解得，且， 在这五个数中，满足条件的为，共个， ∴所求概率为 ． 【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）7张背面相同的卡片，正面分别写有A，A，B，B，C，C，C 中的一个字母，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的字母是C的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将卡片背面朝上，从中任意抽出一张共有7种等可能结果，其中正面的字母是C的有3种结果，再根据概率公式求解即可． 解：∵将卡片背面朝上，从中任意抽出一张共有7种等可能结果，其中正面的字母是C的有3种结果， ∴正面的字母是C的概率为． 【变式2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）同学们开展“探访世界文化遗产”主题活动，制作了四张印有文化遗产标识的卡片（除内容外，其余完全相同），正面分别印有：中国平遥古城、意大利威尼斯水城、中国云冈石窟、希腊雅典卫城，并将这四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽到中国文化遗产卡片的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足条件“抽到中国文化遗产卡片”的结果数，利用概率公式求解即可． 解：∵ 共有4张卡片，分别为中国平遥古城、意大利威尼斯水城、中国云冈石窟、希腊雅典卫城， 所有等可能的结果共有4种，其中属于中国文化遗产的卡片有“中国平遥古城”和“中国云冈石窟”这2张， ∴ 抽到中国文化遗产卡片的结果有2种， ∴ 抽到中国文化遗产卡片的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，从①，②，③，④中选出一个条件，可以判定的概率是________． 【答案】 【分析】先根据平行线的判定定理以及对顶角相等找出能判定的情况，再由概率公式求解即可． 解：①∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴； ④∵， ∴； 对于③不能证明， 故可以判定的有， ∴可以判定的概率是． 【题型 3】放回型两步试验概率计算 【例题3】（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）2025年春节期间，张三和李四相约去江西省游玩，出发之前，两人用随机抽卡片的方式决定去哪个景点，他们制作了四张背面完全一样的卡片，正面分别写有三清山、龟峰、明月山、武功山，背面朝上洗匀，放置在桌面． （1）张三抽取一张卡片，抽到写有“武功山”的卡片的概率为________； （2）张三随机抽取一张卡片后放回，李四再随机抽取一张，求两人抽到同一张卡片的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接柑橘概率公式求解即可； （2）画出树状图求解即可． 解：（1）解：∵一共有4张卡片， ∴张三抽取一张卡片，抽到写有“武功山”的卡片的概率为 故答案为：； （2）解：将写有三清山、龟峰、明月山、武功山的卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下：     由图可知，共有16种等可能的情况，其中张三、李四两人抽到同一张卡片的情况有4种， ∴P（张三、李四两人抽到同一张卡片）． 【变式1】（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查放回试验的概率计算，可通过列表法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算所求概率． 解：记白球为白，红球为红，根据题意列出所有可能结果如下： 白 红 白 （白，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） ∵ 一共有种等可能的结果，其中两次摸出都是白球的结果有种． ∴ 两次摸出都是白球的概率为． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中和为奇数的有4种情况， ∴两次所得标号之和为奇数的概率为． 【变式3】（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． （1）任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； （2）任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； （3）任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率； （1）根据概率公式可得答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和为偶数的情况数，然后根据概率公式可得答案； （3）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和能被3整除的情况数，然后根据概率公式可得答案． 解：（1）解：∵共有4个小球，所标的数字不超过4的有4个， ∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是， 故答案为：； （2）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有12种等可能的情况，其中所标的数字和为偶数的情况有4种， ∴所标的数字和为偶数的概率是， 故答案为：； （3）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有16种等可能的情况，其中所标数字和能被3整除的情况有5种， ∴所标数字和能被3整除的概率是． 【题型 4】不放回型两步试验概率计算（高频易错） 【例题4】（24-25九年级上·湖北·期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，随机从中任意摸出1个球，是红球的概率为． （1）直接写出袋子中白球的个数； （2）从袋子中先摸出一个球后不放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图求两次摸到的球都是白球的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）设袋子中白球的个数为，根据概率公式得出方程，解方程即可求出白球的个数； （2）先列表展示所有等可能的结果，再找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 解：（1）解：设袋子中白球的个数为， 根据概率公式可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 袋子中白球的个数是个； （2）解：列表如下： 第一个第二个 红1 红2 白1 白2 白3 红1 红1，红2 红1，白1 红1，白2 红1，白3 红2 红2，红1 红2，白1 红2，白2 红2，白3 白1 白1，红2 白1，红2 白1，白2 白1，白3 白2 白2，红1 白2，红2 白2，白1 白2，白3 白3 白3，红1 白3，红2 白3，白1 白3，白2 由表格可知，共有种等可能的结果，其中两次摸到的球都是白球的结果有种， 两次摸到的球都是白球的概率． 【变式1】（2024·河南周口·二模）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四本著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可． 解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：    一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能， ∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》）， 故选：B． 【变式2】（2026·山西·中考真题）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 【答案】 【分析】用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再运用概率公式计算即可． 解：分别用A，B，C表示“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，用列表法表示所有等可能结果如下， 共有6种等可能结果，其中恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有2种，即， ∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是 ． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）在一只不透明的布袋中，装有原地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1、2、3、4．甲、乙两人玩换球游戏，规则如下，甲先从中随机摸出1个球，不放回，然后乙再从剩余的球中摸出1个球． （1）甲摸到标有数字1的球的概率是______； （2）若两个小球上的数字之和是奇数，则甲胜；若两个小球上的数字之和是偶数，则乙胜．求甲获胜的概率． 【答案】（1）；（2）甲胜的概率为 【分析】本题主要考查树状图法或列表法求解概率，掌握树状图法和列表法是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 解：（1）解：甲摸到标有数字1的球的概率是； （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平， 理由如下，画出树状图如下，    由树状图可知，一共有种等可能性， 其中两数字和为奇数的有种，两数字之后和为偶数的有种， 甲胜的概率为． 【题型 5】游戏公平性判断 【例题5】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）一个不透明的盒子中装有个白色乒乓球、个黄色乒乓球、个红色乒乓球；这些乒乓球除颜色外其它完全一样． （1）小颖从盒子中随机摸出一个乒乓球，小颖摸出红色乒乓球是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）小颖和小华一起做游戏，小颖从盒子中随机摸出一个乒乓球，如果摸出白色乒乓球，小颖获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】（1）随机；（2）这个游戏对双方公平， 理由：盒子中乒乓球的总个数为（个） 小颖获胜（摸出白色乒乓球）的概率为， 小华获胜（摸出不是白色乒乓球）的概率为， ∵双方获胜的概率相等， ∴这个游戏对双方公平． 【分析】（1）根据三种事件的定义判断，盒子中既有红色乒乓球也有其他颜色乒乓球，摸出红色乒乓球可能发生也可能不发生，由此判断事件类型， （2）先计算总乒乓球数量，再分别计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可判断游戏是否公平． 解：（1）解：盒子中装有红色乒乓球和其他颜色乒乓球，摸出红色乒乓球可能发生，也可能不发生，因此该事件是随机事件． （2）略 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）已知甲布袋中装有4个红球，5个白球；乙布袋中装有3个红球，若干个白球．这些小球除颜色外都完全相同． （1）若从乙布袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，求乙布袋中白球的数量； （2）若小明和小强一起做游戏，他们将甲布袋的球全部倒入乙布袋中，从中随机摸出一个球．若摸到红球，则小明获胜；若摸到白球，则小强获胜．要使游戏公平，求原来乙布袋中有多少个白球． 【答案】（1）乙布袋中有6个白球；（2）乙布袋中有2个白球 【分析】（1）设乙布袋中有x个白球，根据简单概率公式列出方程求解； （2）设乙布袋中有y个白球，根据游戏的公平性列出方程求解． 解：（1）解：设乙布袋中有x个白球，由题意得 ． 解得， 经检验，当时，，是原分式方程的解， 所以，乙布袋中有6个白球； （2）解：设乙布袋中有y个白球，由题意得 ． 解得． 所以，乙布袋中有2个白球． 【变式2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）将正面分别写有数字1，2，3的三张卡片（卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为a，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为b，组成数对． （1）请写出数对所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得到的数对计算的值，若的值为奇数则甲赢；的值为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）这个游戏不公平，理由： 由树状图知，共有9种等可能结果，其中的值为奇数的有1、9、3、27这4种结果，的值为偶数的有4、2、8、18、12这5种结果， 所以甲赢的概率为，乙赢的概率为， ∵≠， ∴这个游戏不公平． 【分析】（1）用树状图表示所有可能； （2）从树状图得出所有等可能结果，并从中找到的值为奇数和偶数的结果数，根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，从而得出答案． 解：（1）如图所示： （2）略 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“一”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是_____． （2）明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜，请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】（1）；；（2）该游戏不公平，理由见分析 【分析】本题考查了游戏公平性的判断，解题关键是会运用概率公式求解． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 解：（1）解：∵一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”、“是”、“一”、“中”、“人”、“我”、“骄”、“傲”这8个汉字， ∴转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是； “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “一”的笔画数是1， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， 指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； （2）游戏不公平，理由如下： 笔画多于7画的汉字有3个，分别是：是，骄，傲；笔画不多于7画的汉字有5个，分别是：我，一，中，人，我． ∴明明获胜的概率是； 红红获胜的概率是 明明获胜的概率≠红红获胜的概率． ∴该游戏不公平． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】几何概率 【例题7】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）地理兴趣小组想估算一个形状不规则的天然湖泊的水面面积，他们采取了如下方法：用一个已知面积为的规则矩形区域（代表包含湖泊的研究范围）将湖泊完整框住，然后通过随机模拟试验（模拟降水落点）来估算：在该矩形区域内随机生成大量“降水落点”（落在矩形外或边界上的不计入试验），记录落点落在湖泊水面内的次数，绘制成频率折线统计图（试验次数足够多时，频率稳定在0.35附近） （1）根据表格记录的试验结果，估计降水落点落在湖泊水面内的概率为：______； （2）请计算该湖泊的水面面积大约为多少？ 【答案】（1）；（2）该湖泊的水面面积大约为 【分析】（1）用频率和概率之间的关系解答即可； （2）设湖泊的水面面积为S，矩形区域的面积为，根据几何概型的概率公式求解即可． 解：（1）解：当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近.题目中明确说明频率稳定在0.35附近，因此降水落点落在湖泊水面内的概率估计值为； （2）解：设湖泊的水面面积为S，矩形区域的面积为， 根据几何概型的概率公式，降水落点落在湖泊水面内的概率为， ∴该湖泊的水面面积． 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个灰色小三角形的面积为，表示出相关图形的面积，最后利用简单概率公式求解． 解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 【变式2】（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再证得和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 【变式3】（2023·陕西西安·模拟预测）小科同学在学习了“频率与概率应用”配紫色游戏这一节后，也设计了一款配紫色游戏如图，O为矩形的对称中心，线段和对角线将矩形分成三部分，其中，分别用“红”、“绿”、“蓝”三种颜料将这三部分涂上颜色，O处的指针拨动后在不受干扰的情况下可在任意位置停下．设计游戏规则如下：拨动指针，待指针停下记下指针指向的颜色，若指针停在，不计入次数，重新拨动指针，直至指向某一颜色区域，记为一次有效拨动.记录一次完整的有效拨动后，才可进行第二次拨动． （1）一次有效拨动，恰好指针停在红色区域的概率____________ （2）利用列表或画树状图的方法求两次有效拨动恰好配成紫色的概率．（已知红蓝可配成紫色） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用概率公式即可得到答案； （2）列出表格，用配成紫色的情况数除以总的情况数即可得到答案． 解：（1）解：； （2）连接，则， ∴， 作的平分线， ∴ 列表如下： 红 绿 绿 蓝 蓝 蓝 红 （红 红） （红 绿） （红 绿） （红 蓝） （红 蓝） （红 蓝） 绿 （绿 红） （绿 绿） （绿 绿） （绿 蓝） （绿 蓝） （绿 蓝） 绿 （绿 红） （绿 绿） （绿 绿） （绿 蓝） （绿 蓝） （绿 蓝） 蓝 （蓝 红） （蓝 绿） （蓝 绿） （蓝 蓝） （蓝 蓝） （蓝 蓝） 蓝 （蓝 红） （蓝 绿） （蓝 绿） （蓝 蓝） （蓝 蓝） （蓝 蓝） 蓝 （蓝 红） （蓝 绿） （蓝 绿） （蓝 蓝） （蓝 蓝） （蓝 蓝） 共有36种等可能的结果，其中两次有效拨动恰好配成紫色的有6种， 两次有效拨动恰好配成紫色的概率为． 【题型 8】用列表法或树状图求概率 【例题8】（26-27九年级·浙江·暑假作业）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 课程 内容 人数 A 《论语》 B 《史记》 C 《天工开物》 D 《九章算术》 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人，表中的值为________； （2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比得出调查的总人数，用总人数减去选择其他课程的人数即可得出的值； （2）利用列表法求解即可； 解：（1）解：根据题意，得学生一共有（人）， ∴表中的值为． （2）解：列表如下， 第一次第二次 A B C D A B C D 由表可知，共有种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共种， ∴（恰好选到课程A和课程B）． 【变式1】（2026·四川广元·中考真题）某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩频数分布表 等级 成绩（分） 频数 A B C D E 统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题： （1）参赛学生总人数为__________人，成绩频数分布表中__________，__________； （2）参赛学生此次成绩的中位数是__________； （3）若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率． 【答案】（1）40，12，4；（2）82；（3） 【分析】（1）由B等级学生人数除以其占参赛总人数的百分比可求出参赛学生总人数，总人数乘以C等级的百分比求出m，总人数减去其他等级的人数求出n； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）画出树状图，根据树状图得到总的结果数与该事件的结果数，利用概率公式计算即可． 解：（1）解：参赛学生总人数为人， ， ； （2）解：∵， ∴40个数据中的第20，21个数据分别为83，81， ∴参赛学生此次成绩的中位数是； （3）设另外两名学生分别为a，b，小佳用c表示，小亮用d表示， 列树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中同时抽到小佳和小亮的有2种， ∴同时抽到小佳和小亮的概率是 【变式2】（2026·四川巴中·中考真题）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； （2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； （3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）25，补全条形统计图如下： （2）112人 （3） 【分析】（1）根据统计图先求出被抽查的总人数，然后根据题意得到B类男生人数和A类女生人数，进而问题可求解； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，然后根据列表法进行求解概率即可． 解：（1）解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为（名）， ∴（名），即B类男生人数为（名）， A类女生人数为（名）， 补全条形统计图略； （2）解：由（1）可得：（人）， 答：对活动“非常喜欢”的学生人数112人； （3）解：由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，则可列表如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为． 【变式3】（2026·黑龙江绥化·中考真题）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间（单位：小时） A B C D E （1）本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图． （2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生人数． （3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）40；；（2）120人；（3） 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出本次调查的学生人数．将本次调查的学生人数减去已知的A，B，D，E类的人数，求出C类的人数，即可补全条形统计图； （2）将该校八年级学生320人乘以本次调查中平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生比例即可解答； （3）通过画树状图或者列表，找出所有等可能的情况数，和满足要求的情况数，再利用概率公式计算即可． 解：（1）解：本次调查的学生共有（人）， C类的学生有（人）． （2）解：（人）， 答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生有120人． （3）解：画树状图为： 由此可得，从中抽取两名同学共有6种等可能情况，其中所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况有4种情况， ∴所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 解：原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 2．（25-26九年级下·福建福州·期中）袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】摸到红球的可能性最大，则红球数最多，故m的值小于8，注意判断即可． 解：∵袋子里有8个红球，m个黑球， ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为， ∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查的是概率问题，重点考查求概率的公式，根据求概率的公式判断，或者根据概率定义判断都可． 3．（25-26七年级下·江西九江·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何概率的定义，指针落在空白区域的概率等于空白区域圆心角与周角度数的比值，即可求解． 解：空白区域的圆心角为，周角为， 故指针落在空白区域的概率为． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 5．（2022·广西南宁·模拟预测）从红、黄、蓝三顶不同的帽子和黑、白两条不同的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和白围巾的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和恰好取到红帽子和白围巾的情况，然后利用概率公式求解． 解：画树状图如下： 一共有6种等可能的情况，其中恰好取到红帽子和白围巾的情况有1种， ∴恰好取到红帽子和白围巾的概率是． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）将分别标有“人”“文”“陕”“西”“大”“美”“三”“秦”汉字的八个小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外其余都相同，搅匀后从袋中随机摸出一球，摸到标有“秦”字小球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有可能的结果总数，代入数据即可求解． 解：∵ 口袋中共有8个除汉字外其余完全相同的小球，所有等可能的摸球结果总数为8，摸到“秦”字小球的结果只有1种， ∴ 摸到标有“秦”字小球的概率是． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好是《周髀算经》的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定所有等可能结果总数和所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 解：∵从4部不同的名著中任选1部，共有种等可能的结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果只有种， ∴根据概率公式可得，恰好选中《周髀算经》的概率为． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则估计袋中黑球有（     ） A．1个 B．3个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】大量重复试验中，随机事件发生的频率会稳定在事件发生的概率附近，据此得到摸到黑球的概率，再计算黑球的估计个数即可． 解：∵通过大量重复摸球试验后，摸到黑球的频率稳定在， ∴估计摸到黑球的概率为， ∵口袋中共有个小球， ∴袋中黑球约为（个）． 9．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，请你估计这些事件发生的概率最小的是（     ） A．指针落在标有9的区域内 B．指针落在标有6的区域内 C．指针落在标有奇数的区域内 D．指针落在标有有理数的区域内 【答案】A 【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可． 解：A、指针落在标有9的区域内的概率是0； B、指针落在标有6的区域内的概率是； C、指针落在标有奇数的区域内的概率是； D、指针落在标有有理数的区域内的概率是1， 故指针落在标有9的区域内的概率最小，选项A符合题意． 10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：（热爱，热爱），（热爱，奔赴），（奔赴，热爱），（奔赴，奔赴）；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）在抽签中，设抽中的概率是，则抽不中的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了事件的概率，理解事件发生的概率与事件不发生的概率和为是解题的关键． 解：抽不中的概率是， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 【答案】③①② 【分析】先判断三个事件的类型，分别得到各事件发生的概率，再比较概率大小进行排序. 解：根据事件的分类，对三个事件逐一判断： ③“危楼高百尺，手可摘星辰”是不可能事件，不可能事件发生的概率为，即； ①“天有不测风云，人有旦夕祸福”是随机事件，随机事件发生的概率满足； ②“野火烧不尽，春风吹又生”是必然事件，必然事件发生的概率为，即； 比较概率大小可得 ，因此按发生的概率从小到大的顺序排列为③①②. 13．（25-26七年级下·福建宁德·期末）一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 【答案】5 【分析】根据概率计算公式，摸到红球的概率等于红球个数除以球的总个数，代入已知条件即可计算出红球个数． 解：设布袋中红球的个数为， 由题意得，球的总个数为，摸到红球的概率为 根据概率公式可得，解得 ∴布袋中红球的个数是． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【答案】 【分析】先求出区域对应的圆心角，用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 15．（2025·贵州遵义·模拟预测）从现有的三个数，1，2中任选不重复的两个数，分别作点A的横坐标和纵坐标，则点A位于第一象限的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，运用表格工具列示出所有等可能结果，确定满足条件的结果，计算得解． 解：列表： 点A坐标 1 2 1 2 如图，共有6种等可能结果，满足要求的有2种，和， 故概率为． 故答案为：． 16．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）武功山、孽龙洞、安源路矿工人运动纪念馆、杨岐山、明月湖和吉内得国家稻田公园是萍乡具有代表性的六个旅游景点，将这六处景点制作成卡片（除汉字外其它都相同），随机从中抽取一张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为__________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定符合条件的结果数，代入概率公式计算即可. 解：根据题意可知，所有等可能的抽取结果共种，其中抽到含“山”字卡片的结果共种. 根据概率公式可得 . 17．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖，现场设置了一个如图所示材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，顾客可领取指针所指区域对应的奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为________． 【答案】 【分析】根据周角的定义求出三等奖对应的扇形圆心角度数，再利用几何概率公式求解. 解：由图可知，一等奖对应的圆心角为，二等奖对应的圆心角为， 三等奖对应的扇形圆心角度数为， 顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为． 18．（四川省成都市东部新区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）从，，，，，，这个数中任选一个数作为的值，则关于的方程的解为非正数的概率是_________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，再找出符合条件的的个数，最后根据概率公式求出概率即可． 解：， 方程两边同乘，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， ∵方程的解为非正数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， 解得，且， 在，，，，，，这个数中，符合条件的共有个， 因此任选一个数，满足条件的概率为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有5个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是白球的概率是多少？ （2）为了使摸出白球的概率是，再放进去7个球，那么这7个球中红球和白球的数量分别应是多少？ 【答案】（1）摸出的球是红球的概率是，摸出的球是白球的概率是；（2）这7个球中红球和白球的数量分别应是个，个． 【分析】本题考查了概率公式，已知概率求数量，正确掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）先设放进的7个球中红球数量为个，则白球数量为个，结合概率公式以及摸出白球的概率是，进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：依题意，，； ∴摸出的球是红球的概率是，摸出的球是白球的概率是； （2）解：设放进的7个球中红球数量为个，则白球数量为个， 依题意，， 则， 解得， ∴（个）； ∴这7个球中红球和白球的数量分别应是个，个． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广东茂名·期中）在“重走信宜路，追寻家国情”研学活动中，导游准备了一个不透明的袋子，里面装有除颜色外完全相同的4个球，其中红色代表“怀乡起义馆”，黄色代表“怀乡虎跳峡”，蓝色代表“北界林砺儒故居”，绿色代表“池洞莲花湖”，学生通过摸球的方式，分批前往相应的研学地点． （1）小明从袋子中随机摸出一个球，摸到红球是______事件． A．不可能    B．必然    C．随机 （2）小明从袋子中随机摸出一个球． ①小明摸到黄球的概率是______． ②小明摸到红球或蓝球的概率是多少？ 【答案】（1）C；（2）①；② 【分析】（1）根据随机事件的定义解答即可； （2）直接根据概率公式解答即可． 解：（1）解：根据题意得：小明从袋子中随机摸出一个球，摸到红球是随机事件； （2）解：①小明摸到黄球的概率是； ②小明摸到红球或蓝球的概率是． 21．（本小题满分10分）（2025·甘肃张掖·一模）为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是________； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）；（2）小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 【分析】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的计算方法． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出所有情况，用小明和小亮诵读不同材料的情况数与总情况数相比即可． 解：（1）解：∵诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， ∴小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 小明小亮 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ∴， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）在一个不透明的袋子中装有6个完全一样的球，每个球上分别标有1，2，3，3，4，5．从袋中任意摸出一个球，记下数字后放回． （1）摸到的球上所标数字大于5是________事件；（选填“随机”，“必然”或“不可能”） （2）摸到的球上所标数字为3的概率是________； （3）小颖和小明做游戏，游戏规定：若摸到的球上所标数字大于3，则小颖赢；若摸到的球上所标数字小于3，则小明赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）不可能；（2）；（3）解：这个游戏公平，理由如下： ∵一共有6个球，其中球上所标数字大于3的有2个球，球上所标数字小于3的有2个球， ∴小颖赢的概率为，小明赢的概率为， ∵小颖和小明赢的概率相同， ∴这个游戏公平． 【分析】（1）根据袋子中所有球上所标数字都不大于5可得答案； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式计算出两人赢的概率即可得到结论． 解：（1）解：∵袋子中所有球上所标数字都不大于5，不存在大于5的数字， ∴摸到的球上所标数字大于5是不可能事件； （2）解：∵一共有6个球，其中球上所标数字为3的有2个球， ∴摸到的球上所标数字为3的概率是； （3）略 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人试验，供学生对其进行深入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的任务进行深入了解． （1）李明抽到的卡片是“A．天舟十号货运补给”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据概率公式计算，总共有4种等可能结果，符合条件的结果为1种，即可得到概率； （2）通过列表法列出所有等可能结果，找出两人都抽到载人飞行任务的结果数，再根据概率公式计算即可得到结果． 解：（1）共有4张大小质地相同的卡片，抽到每张卡片的可能性相等，抽到A的结果共1种， 因此李明抽到A的概率为． （2）根据题意，列表表示所有等可能的结果如下： 李明　　　张华 A B C D A -- B -- C -- D -- 所有等可能的结果共12种，由题意可知，B，C是载人飞行任务，其中两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的结果有共2种，因此所求概率为． 24．（本小题满分12分）（2026·四川宜宾·中考真题）某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）________，补全条形统计图； （2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数； （3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1），；（2）人；（3） 【分析】（1）根据B组的人数除以占比求得的值，进而求得C组的人数，并补全统计图； （2）根据样本估计总体，用乘以C、D组的占比，即可求解； （3）用A表示女生，用B表示男生，根据题意画出树状图，根据树状图求概率，即可求解． 解：（1）解：，C组的人数为： 补全条形统计图略 （2）解：， 答：全校优秀的人数为680人； （3）解：用A表示女生，用B表示男生，根据题意画树状图为： 由树状图可知：共有6种等可能的结果数，其中1名男生和1名女生的结果数为， ∴抽到1名男生和1名女生的概率为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $