专题11转化.表达暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题11转化.表达暑假预习讲义 1. 感知：理解转化思想内涵，知晓两类核心转化——立体图形与平面图形互化、数字规律与几何图形互化。 2. 实操：掌握正方体、长方体、柱锥体展开、折叠方法，能识别正方体11类展开图，区分展开图中相对面、相邻面。 3. 识图：根据立体图形画出平面展开图，依据平面展开图还原对应几何体，完成二维、三维图形双向转化。 4. 作图：规范绘制简单几何体直观图，牢记实线、虚线使用规则，用平面图形清晰表达立体结构。 5. 数形：借助点阵、正方形拼接图形推导数字求和规律，能用代数式表达图形蕴含的数量关系，体会数形结合。 6. 表达：运用规范几何文字、符号语言描述图形结构、转化过程，做到表述严谨、条理清晰。 7. 辨析：能判断平面图形能否折叠成立体几何体，区分可折叠、不可折叠展开图的特征。 8. 素养：通过展开、折叠、画图实操提升空间想象能力，建立几何转化思维，为后续几何学习铺垫。 预习必备 知识梳理 1.截面的基础概念 2.从三个方向看物体形状 3.立体图形的表面展开图 4.正方体 5.几何体的截面 6.计算几何体表面积与体积 常考题型 精讲精练 1.几何体展开图的认识 2.由展开图计算几何体表面积 3.由展开图计算几何体体积 4.正方体几种展开图的识别 5.正方体相对两面上的字 6.含图案正方体的展开图 7.求展开图上两点折叠后距离 8.补一个面使图形围成正方体 9.从不同方向看几何体 强化题型 解答题7题 知识点01:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 截取平面接触正方体面的个数 对应截面形状 截取说明 3 个面 锐角三角形 平面经过正方体三个顶点截取，无法截出直角、钝角三角形 4 个面 正方形、长方形、平行四边形、梯形 平行于面截取得正方形 / 长方形；斜着截上下两条对边得梯形 5 个面 五边形 平面同时穿过正方体 5 个面 6 个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部 6 个面 知识点 02 从三个方向看物体的形状 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如上图） 2.画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： （1） 确定从三个方向看到的组合体的行数或列数； （2） 确定每行或每列中小正方形的个数； （3） 根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图。 2、 由三个方向看到的形状图确定几何体 三个方向看到的形状图与上下、前后、左右之间的关系： （1）正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数。 （2）左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数。 （3）上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数。 知识点03:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点04:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种；二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种；二二二型：有 1 种。 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点07:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点08:高频易错点汇总 易错点 错误示例 正确结论 展开图判断 田字格图形可折成正方体 田字、凹字、一线超 4 个均无效 相对面判断 相邻面是相对面 相间或 “Z” 端才是相对面 截面认知 正方体可截出直角三角形 正方体截面三角形只能是锐角 圆柱展开图 长方形宽 = 底面直径 长方形长 = 底面圆周长，宽 = 高 三视图画图 主、俯视图长度不一致 必须遵守 “长对正、 题型1.几何体展开图的认识 【典例】如图所示为几何体的平面展开图，其对应的几何体名称为___________． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，根据常见几何体的展开图的特征来判断该平面展开图对应的几何体名称即可，还考查了空间想象能力． 【详解】解：由图形可得，其对应的几何体名称为三棱柱， 故答案为：三棱柱． 【跟踪专练1】下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 【跟踪专练2】一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为______（π取）． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积等知识．解题的关键在于明确该几何体的表面展开图是圆柱的表面展开图． 由展开图可知，该几何体为圆柱，底面是以1为半径的圆，高为4根据圆柱的体积为，计算求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体为圆柱． 底面是以1为半径的圆，高为4， ∴圆柱的体积 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，一个正方形的底面，四个三角形的侧面， 因此该几何体是四棱锥， 故选：D． 题型2.由展开图计算几何体表面积 【典例】如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式． 根据长方体的表面积公式得，代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，是长方体的高，是长方体的宽，是长方体的长， 长方体的表面积长宽长高宽高， 且这个长方体的表面积为， ， 又，， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，认真观察图形，得出等量关系是解题关键．根据长方体盒子的表面积纸片的面积个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：这个长方体盒子的表面积为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 题型3.由展开图计算几何体体积 【典例】如图是一个长方体铁皮盒的一部分，它的体积是( )立方分米．（单位：分米） 【答案】432 【分析】由图判断出长方体的长、宽、高，利用体积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知，该长方体的长为分米、宽为分米、高为分米， ∴体积为立方分米． 【跟踪专练1】将一张边长为的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为的小正方形，把剩余的纸片沿如图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有和的代数式表示该无盖长方体的容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 先表示出长方体的长，宽，高，再根据体积公式得出答案． 【详解】解：根据题意可知长方体的长为，宽也为，高为h，根据题意，得 ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 【跟踪专练3】在课题学习中，老师要求用长为36厘米，宽为24厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为； 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，且，折成纸盒的容积为． 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从小到大的顺序排列为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方体的展开图，掌握长方体的展开图，根据题意列方程是解题的关键． 根据长方体的展开图的特点可直接求出甲，乙的长，宽，高，进而求出容积，设丙长方体的高，根据及长方体的展开图的特点可列出方程，即可求出丙的长，宽，高，进而求出丙的容积，再根据大小排序即可． 【详解】解：由题意知：甲长方体的底面边长为，高为， 折成纸盒的容积为， 乙长方体的底面边长为，高为， 折成纸盒的容积为， 设丙长方体的高， ， ， 由题意得， 解得：， 丙长方体的底面边长分别为，，高为， 折成纸盒的容积为， ， 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 题型4.正方体几种展开图的识别 【典例】下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 【答案】（1）（3）（4） 【分析】此题考查了正方体几种展开图的识别，解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案． 【详解】解：（1）（3）（4）可以折成正方体， （2）（5）折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体， 故答案为：（1）（3）（4）． 【跟踪专练1】下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 【跟踪专练2】如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 【跟踪专练3】七年级学生设计了正方体礼盒弘扬“载人航天精神”．如图是该正方体礼盒的部分平面展开图，“神”字加在______号正方形中，可以使其构成完整的正方体展开图．（填出所有可能的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解题的关键． 根据正方体表面展开图的特征即可得出答案． 【详解】解：根据正方体的展开图可知，“神”字可加在①或②或③号正方形中，使它们构成完整的正方体展开图， 故答案为：①②③． 题型5.正方体相对两面上的字 【典例】如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么的值是________． 【答案】11 【分析】根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相对面上的数字和都相等求解即可． 【详解】解：依题意可知，x与是相对面，y与是相对面，与3是相对面， ∵相对面上的数字和都相等， ∴， 解得， ∴． 【跟踪专练1】“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． 【跟踪专练2】如图，是一个正方体展开图，若折成正方体后使相对面上的两数互为相反数，则，，表示的数依次是_______． 【答案】，， 【分析】本题考查了正方体的展开图和相反数的性质，准确计算是解题的关键．先根据正方体展开图判断相对的两个面，再根据相反数的性质计算即可； 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， ∵相对面上的两数互为相反数， ∴、、表示的数依次是，，． 故答案为：，，． 【跟踪专练3】南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确正方体平面展开图中相对面的判定规则：同行或同列中，间隔一个面的两个面为相对面．逐个分析每个选项的展开图，定位“有”字的位置，根据相对面判定规则找到其对应的对面文字．对比每个选项中“有”的对面是否为“竟”，筛选出符合要求的选项． 【详解】选项A：该展开图中，“有”的对面是“成”，不符合要求． 选项B：该展开图中，“有”的对面是“竟”，符合要求． 选项C：该展开图中，“有”的对面是“事”，不符合要求． 选项D：该展开图不能构成正方体，不符合要求． 题型6.含图案正方体的展开图 【典例】下图是一个正方体纸盒的展开图，当把它折叠成正方体纸盒时，C点与( )点重合．    【答案】B 【分析】由正方体展开图的特征得到结论． 【详解】解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后， 故点A与点D、点B与点C重合． 故答案为：B． 【点睛】此题考查的是正方体的展开图，解决此题的关键是运用空间想象能力把展开图折成正方体，找到重合的点． 【跟踪专练1】某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“扬”字所在面相对的面上的汉字是（     ）． A．统 B．化 C．文 D．弘 【答案】A 【分析】根据正方体展开图中，相对面不相邻，“隔一相对”的原则进行判断即可． 【详解】解：根据正方体的立体展开图中，从图中可知这是“”型展开图（第一行个正方形，第二行个正方形，第三行个正方形），对于“”型的展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴在本题的展开图中：与“扬”字相隔一个正方形的是“统”字． 【跟踪专练2】将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 【跟踪专练3】把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 题型7.求展开图上两点折叠后距离 【典例】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【跟踪专练2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 题型8.补一个面使图形围成正方体 【典例】如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【跟踪专练2】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【跟踪专练3】在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 题型9.从不同方向看几何体 【典例】添一个小正方体，要使图中从左面看到的形状不变，有______种不同的摆法． 【答案】4 【分析】可以摆在第1行的小正方体的两侧，也可以摆在第2行的左右两侧，据此即可解答． 【详解】解：添加一个小正方体，使它从左面看不变，可以摆在第1行的小正方体的两侧，也可以摆在第2行的左右两侧，共有4种摆法． 【跟踪专练1】如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从前面看到的图形解答即可． 【详解】解：从前面看，是上面小下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 【跟踪专练2】一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭成这样的立体图形，最少需要 _____个小正方体． 【答案】 【分析】从不同方向看几何体可知，上层有2个小正方体，下层有4个小正方体，相加即可求解． 【详解】解：由从上面看和从左面看到的形状可知，上层有2个小正方体，下层有4个小正方体， ∴搭成这样的立体图形至少需要小正方体（个）． 【跟踪专练3】在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 【详解】解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 解答题 1．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）（3）见解析 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 2．数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直八棱柱形笔筒（无盖）． (1)这个直八棱柱形笔筒共有 面， 条棱， 个顶点； (2)求这个棱柱的侧面积之和； (3)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)9，24，16 (2)这个棱柱的侧面积之和是 (3)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察八棱柱即可解答； （2）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量8个即可解答； （3）由八棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）解：这个直八棱柱形笔筒（无盖）有9个面，24条棱，16个顶点． 故答案为：9，24，16； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 3．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了________条棱； (2)展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多，求这种长方体纸盒的高． 【答案】(1)7； (2)长方体纸盒高为． 【分析】本题考查长方体的展开图、一元一次方程的应用，熟练掌握长方体的表面展开图的特征，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据长方体的表面展开图的特征进行解答即可； （2）设纸盒的高为，则宽为，长为，根据体积的公式列出方程，解答即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，展开图中还有5条棱未剪开， 则小明总共剪开了条棱， 故答案为：7； （2）解：设纸盒的高为，则宽为，长为，由题意得： 解得： 答：长方体纸盒高为． 4．如图，这是一个正方体表面的展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面展开图以及相反数的概念，解题的关键是根据正方体展开图的特征准确找出相对的面，并利用“相对面上的数字互为相反数”这一条件求出的值；找相对面：利用正方体表面展开图的特征（相对的面在展开图中中间必隔一个正方形），确定“”相对的面是“6”，和“”相对的面是“”，和“”相对的面是“”，根据“相对的两个面上的数字互为相反数”，结合相反数的定义分别求出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意，得和“”相对的面是“6”，和“”相对的面是“”，和“”相对的面是“”． 因为在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数， 所以，，， 所以． 5．正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点，的所在位置． 【答案】见解析 【分析】根据点，在同一个正方形边上和在两个正方形边上两种情况，标出点，的位置即可． 【详解】解：点，的所在位置如图所示： 6．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    7．小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）利用1，4，1型，添加一个小正方形即可； （2）根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，结合题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：； 填写如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题11转化.表达暑假预习讲义 预习目标 感知：理解转化思想内涵，知晓两类核心转化一一立体图形与平面图形互化、数字 规律与几何图形互化。 2. 实操：掌握正方体、长方体、柱锥体展开、折叠方法，能识别正方体11类展开 图，区分展开图中相对面、相邻面。 3. 识图：根据立体图形画出平面展开图，依据平面展开图还原对应几何体，完成二 维、三维图形双向转化。 4. 作图：规范绘制简单几何体直观图，牢记实线、虚线使用规则，用平面图形清晰表 达立体结构。 5. 数形：借助点阵、正方形拼接图形推导数字求和规律，能用代数式表达图形蕴含的 数量关系，体会数形结合。 6. 表达：运用规范几何文字、符号语言描述图形结构、转化过程，做到表述严谨、条 理清晰。 1. 辨析：能判断平面图形能否折叠成立体几何体，区分可折叠、不可折叠展开图的特 ! 征。 8. 素养：通过展开、折叠、画图实操提升空间想象能力，建立几何转化思维，为后续 几何学习铺垫。 题型梳理 预习必备 1.截面的基础概念 2.从三个方向看物体形状 试卷第1页，共3页 3.立体图形的表面展开图 4.正方体 知识梳理 5.几何体的截面 6.计算几何体表面积与体积 1.几何体展开图的认识 2由展开图计算几何体表面积 常考题型 3.由展开图计算几何体体积 4.正方体几种展开图的识别 精讲精练 5正方体相对两面上的字 6.含图案正方体的展开图 7.求展开图上两点折叠后距离 8.补一个面使图形围成正方体 9从不同方向看几何体 强化题型 解答题7题 知识梳理 知识点01：截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面：截面的形状由几何体 本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共6个平面，平面每接触1个面，截面就多出1条边，因此截面最多 为六边形。 试卷第2页，共3页 截取平面接触正方体 对应截面形状 截取说明 面的个数 平面经过正方体三个顶点截取，无法 3个面 锐角三角形 截出直角、钝角三角形 正方形、长方形 平行于面截取得正方形/长方形：斜 4个面 平行四边形、梯形 着截上下两条对边得梯形 5个面 五边形 平面同时穿过正方体5个面 6个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部6个面 知识点02从三个方向看物体的形状 从上面看 从左面看 从正面看 从左面看 从上面看 从正面看 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如 上图) 2.画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： 试卷第3页，共3页 (1)确定从三个方向看到的组合体的行数或列数： (2)确定每行或每列中小正方形的个数： (3)根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图。 (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数。 (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数。 (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数。 知识点03：立体图形的表面展开图 1.展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图 形的展开图：同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2.常见基础几何体标准展开图 长方体/正方体：6个长方形（正方体为6个完全相同正方形）： 圆柱：2个全等圆形+1个长方形：长方形的长=底面圆周长，宽=圆柱的 高； 圆锥：1个圆形+1个扇形：扇形弧长=底面圆周长： n棱柱：2个全等n边形+n个长方形。 知识点04正方体 试卷第4页，共3页 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表 面展开，可得到11种不同的展开图。 把它归为四类：一四一型：有6种；二三一型（一三二型）：有3种： 三三型：有1种；二二二型：有1种。 类型 图示 口诀 数量 甲 ① 中间四方连，两侧各 一四一型 6种 中中中 一个 ④ 中间三方连，两侧 二三一型（或一三二 各有两个、一 3种 型) ① ② 个 中间二方连，两侧各 二二二型 1种 两个 两排各三个，中间成 三三型 1种 一“日” 知识点05：几何体的截面 试卷第5页，共3页 正方体的几种截面形状 角形 等腰 等边正方形长方形 三角形三角形 印印 菱形 梯形 五边形 六边形 圆柱的几种截面形状 圆 椭圆 长方形类似于梯形类似于拱形 或长万形 圆锥的几种截面形状 等腰三角形 圆 椭圆 类似于拱形 三棱柱的几种截面形状 长方形 角形 梯形 五边形 球的截面形状 知识点06：由展开图计算几何体的表面积与体积 1.表面积计算 展开图的总面积=几何体的表面积 正方体：S=6a(a为棱长) 长方体：S=2(ab+bc+ac)a,b,c为长宽高) 圆柱：S=2π+2πh(r底面半径，h高) 2.体积计算 正方体：V=a 长方体：V=abc 试卷第6页，共3页 圆柱：V=rh 园锥：vuh 知识点07平面图形与七巧板 1.平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2.用七巧板拼图形 七巧板由5个三角形、1个正方形、1个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点08：高频易错点汇总 易错点 错误示例 正确结论 展开图判断田字格图形可折成正方体 田字、凹字、一线超4个均无效 相对面判断相邻面是相对面 相间或“Z” 端才是相对面 截面认知 正方体可截出直角三角形正方体截面三角形只能是锐角 圆柱展开图长方形宽=底面直径 长方形长=底面圆周长，宽=高 三视图画图主、俯视图长度不一致 必须遵守“长对正、 常考题型精讲精练 试卷第7页，共3页 题型1.几何体展开图的认识 【典例】如图所示为几何体的平面展开图，其对应的几何体名称为， 【跟踪专练1】下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是() 【跟踪专练2】一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为一 (π取3.14 )· 底面半径=1 圆柱高h=4 【跟踪专练3】如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体可能是() 试卷第8页，共3页 B D 题型2.由展开图计算几何体表面积 【典例】如图所示是一个长方体的展开图，其中BC=5cm,EF=10cm,要使得这个长方 体的表面积为430cm2,则AB的长度应为 cm」 【跟踪专练1】如图，将一个长方形纸片的四个角剪去4个相同的小正方形，并将其折成一 个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的 表面积为() 6 A.ab-4x2 B.2ax+4x2 C.2bx+4x2 D.2ax+2bx-4x2 【跟踪专练2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是 正方形，高为7cm,则长方体的侧面积是cm2. 11cm 7cm 【跟踪专练3】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为( 试卷第9页，共3页 1 cm 4cm 5cm 3 cm A.12cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.36cm2 题型3.由展开图计算几何体体积 【典例】如图是一个长方体铁皮盒的一部分，它的体积是( )立方分米.（单位：分 米) 上面 右面 12 ←4 【跟踪专练1】将一张边长为a的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为h的小 正方形，把剩余的纸片沿如图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有a和h 的代数式表示该无盖长方体的容积'为() A V=(a-h)(a-h)h '=(a-h)(a+h)h V=(a-2h)(a-2h)h C. D.V=(a-2h)(a+2h)h 【跟踪专练2】如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长2厘米 的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒.这个纸盒的容积是立方厘米 【跟踪专练3】在课题学习中，老师要求用长为36厘米，宽为24厘米的长方形纸片制作一 个无盖的长方体纸盒.三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部 试卷第10页，共3页 分)，然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒. 甲：如图L,盒子底面的四边形4B D是正方形，折成纸盒的容积为， 乙：如图2，盒子底面的四边形MBCD 是正方形，折成纸盒的容积为： 丙：如图3，盒子底面的四边形1BCD AB=3AD 长方形，且 折成纸盒的容积为】 将这三位同学折成的无盖纸盒的容积 V两按从小到大的顺序排列为 36 36 36 D 24 24 24 B B D D 图1 图2 图3 题型4.正方体几种展开图的识别 【典例】下列图形可以折成一个正方体的有 (填序号) (1) (2) (3 (4) 5) 【跟踪专练1】下列图形中，不是正方体展开图的是() B D 【跟踪专练2】如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点A重合的项点是点 试卷第11页，共3页 G 【跟踪专练3】七年级学生设计了正方体礼盒弘扬“载人航天精神”·如图是该正方体礼 盒的部分平面展开图，“神”字加在_号正方形中，可以使其构成完整的正方体展开 图.（填出所有可能的序号） ① ② ③ 载 人 航 ④ ⑤ ⑥ 天 精 题型5.正方体相对两面上的字 【典例】如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和 都相等，那么x+y的值是 5 3 【跟踪专练1】“有志者，事竟成”出自《后汉书耿弇传》，这句话的含义是有志向的 人，做事终究会成功.如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对 的面上的字为() 有 志 者 事 竞 成 A.有 B.志 C.者 D.事 【跟踪专练2】如图，是一个正方体展开图，若折成正方体后使相对面上的两数互为相反 数，则A,B,C表示的数依次是 试卷第12页，共3页 B 5 【跟踪专练3】南朝宋时期范晔在《后汉书耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大 策.常以为落落难合、有志者事竟成也.”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六 个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中， “有”的对面是“竟”的是( 有 有 志者事宽B, 志者事 者事 有志者 D 成 竟成 竟成 事竞成 题型6.含图案正方体的展开图 【典例】下图是一个正方体纸盒的展开图，当把它折叠成正方体纸盒时，C点与( 点重合 A B 刀万 【跟踪专练1】某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在 原正方体中，与“扬”字所在面相对的面上的汉字是(). 弘 扬 传 统 文 化 A.统 B.化 C.文 D.弘 【跟踪专练2】将图甲围成图乙的正方体，则在面①CDHE:②BCEF; ③ABFG:④ADHG 中，图1中的标志 所在的正方形是正方体中的面一· (填序号) 试卷第13页，共3页 图甲 图乙 【跟踪专练3】把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是() B C D 题型7求展开图上两点折叠后距离 【典例】如图是正方体的平面展开图，若AB=8,则该正方体A、B两点间的距离为 【跟踪专练1】如图是一正方体的表面展开图.将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远 的顶点是() 试卷第14页，共3页 D B K A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 【跟踪专练2】如图是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后，距顶点P最远的点是 () A.点A B.点B C.点C D.点D 【跟踪专练3】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是3cm,lcm,6cm的长方体的顶点 A爬到顶点B,它从顶点A沿着棱AB直接爬到点B所走的路程，比它从点A开始经过4个 侧面到达点B所走的最短路程少·_cm 6cm Icm 4 3cm 题型8.补一个面使图形围成正方体 【典例】如图，在5×5的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂 有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围 成一个小正方体的涂法有 种， 试卷第15页，共3页 【跟踪专练1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从 图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包 装盒，不同的选法有() A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 【跟踪专练2】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅 发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字 的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式。 建 设 美 丽 大 庆 【跟踪专练3】在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成 的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是() ① ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 题型9.从不同方向看几何体 【典例】添一个小正方体，要使图中从左面看到的形状不变，有 种不同的摆法. 试卷第16页，共3页 【跟踪专练1】如图所示的立体图形的从前面看的平面图形是() 【跟踪专练2】一个立体图形从上面看到的形状是力， 从左面看到的形状是口 搭 成这样的立体图形，最少需要一个小正方体 【跟踪专练3】在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个 方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有() 从正面看 从左面看 从上面看 A.11个 B.10个 C.9个 D.8个 解答题 1.(1)下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名 称. 图1 图2 图3 试卷第17页，共3页 图1： ；图2： :图3： (2)若图2中几何体的底面边长都是3cm,侧棱长是6cm,则它的侧面积是 (3)一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所 示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数.请画出从正面和从左面看到 的这个几何体的形状图. 从正面看 从左面看 2.数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是10cm、侧棱长是l6cm的直八棱 柱形笔筒（无盖）， (I)这个直八棱柱形笔筒共有面，条棱，_个顶点； (2)求这个棱柱的侧面积之和： (3)通过对棱柱的观察，请写出直棱柱的顶点数及棱的条数. 3.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是 他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒， .34cm 8 (1)小明总共剪开了 条棱； (2)展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种长方体 纸盒的高， 4.如图，这是一个正方体表面的展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反 数，求x-少+的值. 试卷第18页，共3页 3 6 5.正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点M,N的所在 位置. M, D D-- B A 正方体 ① ② 6.如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇， 沿着A→D→B爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在CE上的位置. 7.小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面. (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒.（只需 画出一种方法) (2)在(1)画出的设计图中，把3,5，-2，-3，-8，-10这些数分别填入六个小正方形 中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等.（直接在图中填上数 字，一种情况即可) 试卷第19页，共3页