专题05有理数的乘方及混合运算暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题05有理数的乘方及混合运算暑假预习讲义 1.吃透乘方、底数、指数、幂基础概念，分清(-a)n与-an的底数区别，会完成连乘与乘方形式互化。 2.牢记乘方符号规律，能准确判断正数、负数、0 的幂的符号，规范计算整数、分数、小数的乘方；掌握科学记数法，实现大数与a10n形式双向转化。 3.熟记有理数混合运算标准顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号优先算括号内部，严格分步计算。 4.综合运用加减乘除乘方完成混合计算，坚持 “先定符号，再算绝对值”，灵活借助乘法运算律简化复杂算式。 5.能根据实际问题列出含乘方的综合算式，准确解读计算结果的实际含义。 6.区分乘方易混符号题型、多层括号运算易错点，整理典型错题，标记重难点课堂针对性听讲。 预习必备 知识梳理 1.乘方基础概念 2.乘方符号判定法则 3.科学记数法 4.有理数混合运算 5.混合运算律及解题步骤 6.综合易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.有理数幂的概念理解 2.有理数的乘方运算 3.有理数乘方逆运算 4.乘方运算的符号规律 5.乘方的应用 6.科学记数法表示大数 7.科学记数法还原原数 8.程序流程图与有理数计算 9.算“24”点 10.含乘方的有理数混合运算 11.计算器--有理数 12.新定义运算 13.规律探究题 强化题型 解答题7题 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清\(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 知识点07:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10\)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型1.有理数幂的概念理解 【典例】中底数是________，指数是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，明确底数和指数的概念是解题的关键． 根据有理数乘方的定义，在乘方形式 中， 叫做底数， 叫做指数即可得出． 【详解】解： 中底数是 ，指数是 4． 故答案为 ，． 【跟踪专练1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【跟踪专练2】将七进制数表示成基数的幂的乘积之和的形式是________________． 【答案】 【分析】本题考查了进制的概念，位权的概念及数的展开方法，将七进制数按位权展开，每位数字乘以7的相应幂次后求和． 【详解】解：在七进制数中，从右向左，第一位数字5表示，第二位数字3表示，第三位数字1表示， ∴其展开形式为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数的定义，有理数的乘方计算，熟练掌握相反数和倒数及绝对值的性质是解题的关键． 互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得，，，，再由立方等于本身的数有0和，得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， ∵立方等于本身的数是0或，为立方等于本身的数的个数 ∴， ∴ ． 故选A． 题型2.有理数的乘方运算 【典例】若，则_________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：选项A：，， ，符合要求； 选项B：，， ，不符合要求； 选项C：，， ，不符合要求； 选项D：，， ，不符合要求． 【跟踪专练2】阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 【跟踪专练3】设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、、的形式，又可以表示成、0、的形式，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的运算，利用已知条件分别求出m，n的值是解题的关键．根据题意可得，则，可求得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵三个互不相等的有理数可表示为1、、，又可以表示为、0、， ∴（否则无意义），且三个数中包含0， ∴在1、、中，必有一个为0， ∵，， ∴， ∴， 此时，第一种形式为：1、0、， 第二种形式为：、0、， ∴，， ∴， 故选：B． 题型3.有理数乘方逆运算 【典例】一个数的平方等于64，那么这个数是___________；一个数的立方等于64，那么这个数是___________． 【答案】 4 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据，即可得． 【详解】解：∵，， ∴一个数的平方等于64，那么这个数是；一个数的立方等于64，那么这个数是4． 故答案为：；4． 【跟踪专练1】若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 【跟踪专练2】若，，且，，则的值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数乘方逆运算，代数式求值，根据绝对值的性质和有理数乘方逆运算求出a和b的可能值，结合条件和分析讨论确定a和b的具体值，再计算的值，即可解题． 【详解】解：由，得或； 由，得或． 因为，所以a和b同号， 又因为，即， 若a和b同为正数，则，，但，舍去； 若a和b同为负数，则，，此时成立， 则． 故答案为：3． 【跟踪专练3】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出a和b的可能值，再分4种情况讨论，结合找出符合题意的情况，从而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ①当，时，，符合题意，此时； ②当，时，，不符合题意，舍去； ③当，时，，不符合题意，舍去； ④当，时，，符合题意，此时； ∴综上所述，． 故选：B． 题型4.乘方运算的符号规律 【典例】如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【跟踪专练2】若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了平方数的非负性，绝对值的非负性,正确理解平方数的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．一个数的平方数和一个数的绝对值都具有非负性，故可得 ，，解得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：9． 【跟踪专练3】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 题型5.乘方的应用 【典例】将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） 【跟踪专练1】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 【跟踪专练2】我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 【跟踪专练3】一根1米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，每次截去后剩下部分为当前长度的，因此经过五次操作后剩下长度为原始长度乘以，即可求解． 【详解】解：∵ 原始长度为1米， 第一次截去后剩下：米， 第二次截去后剩下：米， ……， 第五次截去后剩下：米， ∴ 第五次后剩下小棒的长度为米. 故选：C． 题型6.科学记数法表示大数 【典例】假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定的值时，要看把原数变成时小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于时，为正整数，据此即可求解． 【详解】解：将用科学记数法表示为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】《年四川省科技经费投入统计公报》显示，年宜宾市（研究与试验发展）经费投入达元，同比增长亿元，增速，是全省平均增速的倍．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原数是位整数，确定时需满足，可得，再确定． 【详解】 解：． 【跟踪专练2】近日，记者从某市统计局获悉，2018年第一季度该市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示出（精确到百亿位）_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，近似数．科学记数法的表现形式为，其中， n的值等于原数变成a时，小数点移动的位数，确定a和n的值，是解题关键． 这里的，根据科学记数法的表示形式即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练3】2025“湘超”成为了湖南最具话题度的热词，整个联赛共完成13轮常规赛和2轮淘汰赛，球迷和游客纷至沓来，在感受足球激情的同时也留下了与长沙这座城市相关的独特记忆．据统计赛事期间主场城市接待游客总计6325万人次，将63250000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为（，为整数），解题关键是确定与的值． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数 ∴将转化为该形式时，，小数点向左移动7位，故 ∴ 故选：A． 题型7.科学记数法还原原数 【典例】是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 【跟踪专练1】2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法中10的指数与小数点移动位数的关系是解题关键，将科学记数法表示的数还原，只需把a的小数点向右移动n位即可（n为10 的正指数）． 【详解】解：∵科学记数法（，n为正整数）还原原数时，需将a的小数点向右移动n位， ∴将中2.7648的小数点向右移动7位，得到27648000， 故选：C． 【跟踪专练2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 【跟踪专练3】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型8.程序流程图与有理数计算 【典例】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 【跟踪专练1】按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则运算； 根据运算程序，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴输出的结果是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练3】在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 题型9.算“24”点 【典例】有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 【跟踪专练1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 题型10.含乘方的有理数混合运算 【典例】计算：___________． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则计算即可. 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练1】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，需根据二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开为的整数次幂的和，计算得到对应十进制数． 【详解】解：二进制中的转化为十进制为：． 故选：A． 【跟踪专练2】对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是______． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据定义运算列式并计算，然后求得结果的相反数即可，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：∵对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算， ∴ ， 它的相反数为3， 故答案为：． 【跟踪专练3】在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．一远古牧人在从右往左依次排列的绳子上打结，满进，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据“满进”的规则进行计算即可． 【详解】解： (只)， 答：他所放牧的羊的只数是只． 故选：C． 题型11.计算器--有理数 【典例】如图，与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，解题关键是知道每个键的含义． 根据计算器各键的含义即可得出． 【详解】解：由计算器的按键顺序可知，对应的任务为：， 故选：B． 【跟踪专练1】．运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了计算器-基础知识，熟练了解按键的含义是解题的关键． 根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：根据题意得，计算器按键写成算式：， 计算器显示的结果是：. 故答案为：，. 【跟踪专练2】用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据数字的特点得到分数，化简即可得到结果，根据数字的特点得到分数是解题的关键． 【详解】解：由题可得， ∵，， ∴， 即再按计算器的转换键显示的分数结果是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键， 此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除， 【详解】解：根据按键顺序可得算式为：． 故选：B． 题型12.新定义运算 【典例】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键．根据新定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】定义一种新运算：，例：，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，掌握含乘方的有理数混合运算法则是解题的关键． 先根据新运算的定义将原式化成含乘方的有理数混合运算的形式，然后再计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新运算的定义，直接代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【跟踪专练3】对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 题型13.规律探究题 【典例】已知等式：，，，…，（a，b均为正整数），则______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的规律问题． 观察给定等式的规律，对于每个正整数n，等式为，进而将代入，求出a和b的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， 当时，方程为， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若表示的个位数字，即；表示的个位数字，即；表示的个位数字，即；表示的个位数字，即；则( )． 【答案】11135 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得，，，，，，，，，，，，…，因此每10个数循环一次，且每个循环的和为，再结合计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，，，，，，，，…， 因此每10个数循环一次，且， ∵， ∴从1到2024共有202个完整周期，剩余4个数，，，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练2】为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题中的解答方式并运用． 根据题意设，则，相减即可得出答案． 【详解】设， 则， 用可得： 化简后： 两边同时除以3，得． 故选：A． 【跟踪专练3】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 解答题 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算（含乘方、绝对值），熟练掌握有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减）是解题的关键． 按照有理数混合运算的顺序，先计算乘方、绝对值，再计算除法，最后计算加减． 【详解】解： ． 2．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值、绝对值的非负性、偶次方的非负性，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出x、y的值，再把原式去括号，合并同类项化简，最后代入求值即可得． 【详解】解：，，， ，， ，， ∴ ． 4．计算： 【答案】 【详解】解： ． 5．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，若要使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是______． (2)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除”运算方法，使卡片上数字的计算结果为24，该如何抽取？并写出运算式子（每个数字只能用一次，写出一种即可）． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】此题实际上是有理数的混合运算． （1）被减数最大，减数最小，选3和. （2）选，2，3，这四张卡片，列式为：． 【详解】（1）解： 2张卡片上的数字的差最大，则被减数最大，减数最小即可，选3和， ∴， 故答案为：8． （2）解：选，2，3，这四张卡片， （答案不唯一）． 6．如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与一元一次方程的应用，熟练掌握运算顺序并按步骤列式计算是解题的关键． （1）按照运算步骤，先计算四个数相邻的乘积（第一次运算），再计算相邻乘积的和（第二次运算），最后计算和的平均数（第三次运算）； （2）同理先按运算步骤列出含的表达式，再根据最终平均数列方程求解． 【详解】（1）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以最终的平均数为．． （2）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以， 解得． 所以的值为． 7．我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化． （1）根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算； （2）根据满二进一的方法将两个二进制数相加即可； （3）先将转化为十进制数，再将转化为七进制数． 【详解】（1）解：， 二进制中的数等于十进制的数； （2）解：； （3）解： ， ， 八进制中的数等于七进制的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘方及混合运算暑假预习讲义 1.吃透乘方、底数、指数、幂基础概念，分清(-a)n与-an的底数区别，会完成连乘与乘方形式互化。 2.牢记乘方符号规律，能准确判断正数、负数、0 的幂的符号，规范计算整数、分数、小数的乘方；掌握科学记数法，实现大数与a10n形式双向转化。 3.熟记有理数混合运算标准顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号优先算括号内部，严格分步计算。 4.综合运用加减乘除乘方完成混合计算，坚持 “先定符号，再算绝对值”，灵活借助乘法运算律简化复杂算式。 5.能根据实际问题列出含乘方的综合算式，准确解读计算结果的实际含义。 6.区分乘方易混符号题型、多层括号运算易错点，整理典型错题，标记重难点课堂针对性听讲。 预习必备 知识梳理 1.乘方基础概念 2.乘方符号判定法则 3.科学记数法 4.有理数混合运算 5.混合运算律及解题步骤 6.综合易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.有理数幂的概念理解 2.有理数的乘方运算 3.有理数乘方逆运算 4.乘方运算的符号规律 5.乘方的应用 6.科学记数法表示大数 7.科学记数法还原原数 8.程序流程图与有理数计算 9.算“24”点 10.含乘方的有理数混合运算 11.计算器--有理数 12.新定义运算 13.规律探究题 强化题型 解答题7题 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清\(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 知识点07:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10\)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型1.有理数幂的概念理解 【典例】中底数是________，指数是________． 【跟踪专练1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将七进制数表示成基数的幂的乘积之和的形式是________________． 【跟踪专练3】如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 题型2.有理数的乘方运算 【典例】若，则_________． 【跟踪专练1】下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【跟踪专练3】设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、、的形式，又可以表示成、0、的形式，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 题型3.有理数乘方逆运算 【典例】一个数的平方等于64，那么这个数是___________；一个数的立方等于64，那么这个数是___________． 【跟踪专练1】若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【跟踪专练2】若，，且，，则的值为_______． 【跟踪专练3】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 题型4.乘方运算的符号规律 【典例】如果n是正整数，则_____ ． 【跟踪专练1】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】若，则______． 【跟踪专练3】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 题型5.乘方的应用 【典例】将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【跟踪专练1】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【跟踪专练3】一根1米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 题型6.科学记数法表示大数 【典例】假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 【跟踪专练1】《年四川省科技经费投入统计公报》显示，年宜宾市（研究与试验发展）经费投入达元，同比增长亿元，增速，是全省平均增速的倍．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】近日，记者从某市统计局获悉，2018年第一季度该市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示出（精确到百亿位）_______． 【跟踪专练3】2025“湘超”成为了湖南最具话题度的热词，整个联赛共完成13轮常规赛和2轮淘汰赛，球迷和游客纷至沓来，在感受足球激情的同时也留下了与长沙这座城市相关的独特记忆．据统计赛事期间主场城市接待游客总计6325万人次，将63250000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 题型7.科学记数法还原原数 【典例】是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【跟踪专练1】2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【跟踪专练2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【跟踪专练3】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 题型8.程序流程图与有理数计算 【典例】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【跟踪专练1】按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 【跟踪专练2】如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【跟踪专练3】在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 题型9.算“24”点 【典例】有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【跟踪专练1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【跟踪专练3】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 题型10.含乘方的有理数混合运算 【典例】计算：___________． 【跟踪专练1】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是______． 【跟踪专练3】在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．一远古牧人在从右往左依次排列的绳子上打结，满进，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A． B． C． D． 题型11.计算器--有理数 【典例】如图，与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】．运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 【跟踪专练2】用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 【跟踪专练3】如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 题型12.新定义运算 【典例】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【跟踪专练1】定义一种新运算：，例：，则的值为________． 【跟踪专练2】定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【跟踪专练3】对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 题型13.规律探究题 【典例】已知等式：，，，…，（a，b均为正整数），则______． 【跟踪专练1】若表示的个位数字，即；表示的个位数字，即；表示的个位数字，即；表示的个位数字，即；则( )． 【跟踪专练2】为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 解答题 1．计算：． 2．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 3．已知，求的值． 4．计算： 5．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，若要使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是______． (2)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除”运算方法，使卡片上数字的计算结果为24，该如何抽取？并写出运算式子（每个数字只能用一次，写出一种即可）． 6．如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 7．我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $