第15讲 直线、射线、线段（9大核心考点）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第15讲 直线、射线、线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解线段、射线、直线等平面图形，会用符号表示线段、射线和直线； 2．掌握两个基本事实； 3.能借助刻度尺、圆规等画图工具比较两条线段的大小，画一条线段等于另一条线段； 4.理解线段和、差，以及线段中点的意义。 直线、射线、线段的概念 1. 线段、射线、直线 名称 线段 射线 直线 共同点 都是直的线 不同点 端点 2 1 0 延长 不可以 可以 可以 度量 可以 不可以 不可以 图形 表示 线段AB、线段BA 射线AB 直线AB、直线BA 2. 实践告诉我们一个基本事实：两点之间线段最短。 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 3.表示线段、直线、射线。 （1）线段可以用表示端点的两个大写字母来表示， 记作线段AB或线段BA，也可以用小写字母表示， 记作线段m。 （2） 射线可以用表示端点和射线上另一个点的 大写字母来表示，右图的射线可以记作射线AB。 （注：射线有端点的字母写在前面。） （3） 直线也可以用两个大写字母来表示，记作 直线AB或直线BA，也可以用小写字母来表示， 记作直线n。 4. （1）过点A可以画几条直线？ （2）过AB两点可以画几条直线？ 实践告诉我们一个基本事实： 两点确定一条直线。 线段的长短 1.取一张长方形纸片 （1） 用刻度尺度量并比较长方形的长与宽的大小； （2） 用折纸的方法比较长方形的长与宽的大小。 因此，我们比较线段的大小有两种方法：1.度量法：用刻度尺；2.叠合法：用直尺和圆规。 2. （1） 图中有6条选段，分别是： AB AC AD BC BD CD 。 （2） 比较以上以A为一个端点的 线段大小，用“＜”连接起来 AB＜AC＜AD。 （3） 图中AC=AB+BC，AB=AD-DB，还有其他的线段和差的数量关系吗？ AC=AD-CD,BD=BC+CD=AD-AB;AD=AC+CD=AB+BD=AB+BC+CD BC=AC-AB=BD-CD. 3.如图，延长AB到点C，使BC=AB。 点B把线段AC分成两条相等的线段 AB与BC，点B叫做线段AC的中点。 几何语言： 中点的性质： ∵点B是线段AC的中点 ∴ （或者AC=2AB=2BC） 中点的判定： ∵AB=BC（或者） ∴点B是线段AC的中点 考点一：直线、射线、线段之间的关系 例1．关于如图中的点和线，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段、射线、直线等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据线段、射线和直线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 点在直线上，该说法正确，不符合题意； B. 点在线段上，该说法正确，不符合题意； C. 点在射线上，该说法正确，不符合题意； D. 点在线段延长线上，故原说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】如图，给出下列语句：①直线l经过点A和点B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A，B两点所确定的直线；④线段是直线l的一部分．其中能正确表达出图形特点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直线和点的表示方法，直线的性质，掌握直线的表示方法是解题的关键．根据直线与点的表示方法以及直线的性质即可解答． 【详解】解：①直线l经过点A和点B，能正确表达出图形特点； ②点A和点B都在直线l上，能正确表达出图形特点； ③因为两点确定一条直线，所以直线l是A，B两点所确定的直线，能正确表达出图形特点； ④线段在直线l上，即是线段是直线l的一部分，能正确表达出图形特点． 综上分析可知，能正确表达出图形特点的有4个． 故选：D． 【变式1-2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤直线，，两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】此题主要考查了相交线，准确识图，熟练掌握相交线的概念是解决问题的关键． 根据直线，，的位置关系，对题目中给出的表述语句逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：①点在直线外， 故①不正确； ②直线经过点， 故②正确； ③直线，交于点， 故③正确； ④点在直线外， 故④正确； ⑤直线，，两两相交， 故⑤正确． 综上所述，表述正确的有②③④⑤． 故答案为：②③④⑤． 【变式1-3】如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【答案】(1)见解析 (2)②③ 【分析】（1）①根据射线的定义作图即可；②直接连接即可；③以A为圆心，以为半径画圆弧，与射线直线交于M；④连接与的交点即为所求； （2）根据直线、线段、射线的定义逐个判断即可解答． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； ③线段即为所求； ④点P即所求．    （2）解：①图中的线段有，共9条，则①错误； ②由与的交点，则点P是点在线段的延长线上，即②正确； ③图中射线，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的； ④由射线本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查了基本作图，直线、线段、射线的定义，线段的性质等知识点，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． 考点二：画直线、射线、线段 例2 ．下列语句准确规范的是（    ） A．直线a，b相交于点m B．反向延长线至点C C．延长射线 D．延长线段至点C，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的概念等知识点，依据直线、射线和线段的概念，即可得出结论，掌握直线、射线和线段的概念是解决问题的关键． 【详解】A．直线的交点用大写字母表示，故直线a、b相交于一点m，说法错误，不合题意； B．直线向两个方向无限延伸，故延长直线至点C，说法错误，不合题意； C．射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不合题意； D．延长线段至点C，使得，说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ） ①如图1，直线相交于点；②如图2，直线与线段没有公共点；③如图3，延长线段；④如图4，直线经过点．       图1                        图2                               图3                            图4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题． 【详解】解：①直线a、b相交于点A，描述正确； ②射线与线段有公共点，描述错误； ③延长线段，描述正确； ④直线不经过点A，描述错误； 故选：B． 【变式2-2】已知：线段a，b，按如下步骤完成尺规作图，则线段 ． ①作一条射线； ②在射线AE上依次截取线段； ③在线段AD上截取线段． 【答案】/ 【分析】根据题意画出几何图形即可，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】如图所示，. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 【变式2-3】根据如图所示的图形填空： (1)点B在直线_________，点C在直线_________； (2)点E是直线与_________直线_________的交点，直线与直线相交于点_________； (3)过点A的直线有_________条，分别是__________________． 【答案】(1)上，外 (2) (3)3，直线，直线，直线 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键． （1）观察图形，根据点与直线的位置关系进行判断即可； （2）确定经过点E的直线是哪两条即可得出结论；观察图形确定直线与直线的交点即可； （3）观察图形确定过点A的直线即可解答． 【详解】（1）解：点B在直线上，点C在直线外， 故答案为：上，外； （2）解：点E是直线与直线的交点，直线与直线相交于点F， 故答案为：； （3）解：过A点的直线有3条，分别是直线，直线，直线， 故答案为：3，直线，直线，直线． 考点三：直线、线段、射线的数量 例3. 一条铁路有个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（    ）种． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的概念：直线上两点间的有限部分（包括两个端点），熟记概念是解题关键． 【详解】如图，线段上点到点个点代表个火车站，    图中的线段一共有：（条） 每两个车站有往返两种情况，所以，车票的种类一共：（种） 故选：C． 【变式3-1】乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（      ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】本题考查了线段条数的问题，根据题意确定出数学模型，求出五点确定出线段的条数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有五个站，相当于有5个点， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票张数即为5个点所能组成的线段条数， ∵2点能确定一条线段， ∴5个点一共最多能确定条线段， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有10种， 故选：C 【变式3-2】前段时间，一条好消息迅速在长葛人朋友圈刷屏：大长葛也有地铁了！郑许市域铁路12月26日-27日免费试乘，“双城生活模式”正式启动．图中展示了郑许市域铁路长葛市域内的五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．    【答案】20 【分析】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【变式3-3】往返于A，B两地的客车，中途停靠三个车站．假设站点与站点之间的路程及站点与A，B两地之间的路程都不相等，请问： (1)一共有多少种不同的票价？ (2)一共要准备多少种不同的车票？ 【答案】(1)10种 (2)20种 【分析】本题主要考查运用线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． （1）先画出示意图，求出线段的条数，再计算票价即可； （2）根据往返的车票都不相同，计算车票的种数即可． 【详解】（1）解：如图，记中途三个车站分别为，则共有： ， ∴10种不同的票价， （2）解：因为车票需要考虑方向性，如“”与“”票价相同，但车票不同， 所以共有种车票． 考点四：两点确定一条直线 例4．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题主要考查了考查了直线的性质，由直线公理可直接得出答案，正确理解直线公理是解题的关键． 【详解】建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层转在一条直线上，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线， 故选：． 【变式4-1】将一块木板钉在墙上，我们至少需要个钉子将它固定，这是因为（    ） A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段和直线的性质．掌握好几何的基本定理，并会利用基本定理，解决实际问题．根据两点确定一条直线即可． 【详解】解：将一块木板钉在墙上，我们至少需要个钉子将它固定，这是因为两点确定一条直线， 故选；A． 【变式4-2】小王同学在面临“固定一根细而短的直木条用多少根钉子”问题时，选择的是准备用根钉子，若你是发货员，从节约和稳固兼顾的角度来讲，可以只发给小王 根钉子． 【答案】 【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可得到答案，掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：根据两点确定一条直线，可知固定一根细而短的直木条，至少需要根钉子， 故答案为：． 【变式4-3】下列说法是否正确？为什么？ （1）经过一点可以画两条直线；                 （2）棱柱侧面的形状可能是一个三角形； （3）长方体的截面形状一定是长方形；           （4）棱柱的每条棱长都相等． 【答案】（1）正确．因为过一点可以画无数条直线；（2）错误．因为棱柱的侧面都是长方形；（3）错误．长方体的截面可以是三角形，见解析；（4）错误．例如，长方体的每条棱长就不一定都相等． 【分析】（1）根据两点确定一条直线判断即可；（2）根据棱柱的性质判断即可；（3）试想如何截长方体会出现三角形的截面，多换几个角度尝试即可；（4）根据长方体的性质判断即可． 【详解】（1）正确．因为过一点可以画无数条直线，当然可以画两条直线． （2）错误．因为棱柱的侧面都是长方形． （3）错误．如图所示的长方体的截面是三角形． （4）错误．例如，长方体的每条棱长就不一定都相等． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线，棱柱、长方体的性质，结合实物，多亲自变换角度去观察，提高空间想象能力，增强几何与实际生活应用的联系是解决本题的关键． 考点五：线段尺规作图 例5 ．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差及基本作图知识，准确把握线段的和差关系是解题的关键．根据即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了线段的大小比较．根据尺规法比较线段的大小的原理，确定线段的长短即可． 【详解】解：∵点A与重合时，点在点B的右端， ∴， 故选：B． 【变式5-2】已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式5-3】如图所示，已知线段，点为中点，点是线段外一点． (1)按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹； ①作射线，作直线； ②延长线段至点，使得． (2)在（1）的条件下，若线段，则线段的长为 ． 【答案】(1)①见解析 ②见解析 (2)4cm 【分析】本题主要考查了画直线，画射线，线段的尺规作图，与相等中点有关的线段和差计算： （1）①根据直线和射线的画法，画图即可；②以点B为圆心，的长为半径画弧交射线于C，点C即为所求； （2）根据，结合线段之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：①如图，射线，直线为所作；                             ②如图，为所作；                                                         （2）点为中点， ， ，                         ．     故答案为：． 考点六：两点之间线段最短 例6. 高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短． 【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：两点之间，线段最短． 故选A． 【变式6-1】下列四个生产生活现象，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．用两颗钉子可以把木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上 D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 【答案】B 【分析】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最，由直线，线段的含义及性质，逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A. 用两颗钉子可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线来解释，故A不符合题意； B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程，是利用两点之间线段最短来解释，故B符合题意； C. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，是利用两点确定一条直线来解释，故C不符合题意； D. 打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上，是利用两点确定一条直线来解释，故D不符合题意； 故选：B 【变式6-2】如图，从A地到B地走②路线最近，这样走的数学根据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短进行解答即可． 【详解】解：从A地到B地选择走路线②距离最短的理由是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式6-3】如图，在平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： (1)画线段、直线； (2)用尺规在直线作点E，使点C是的中点（保留痕迹）； (3)在平面内画出点O，使点O到A、B、C、D四点的距离和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画直线，线段，尺规作线段： （1）根据线段，直线的定义，作图即可； （2）以为圆心，的长为半径化弧，交直线于点，即可； （3）根据两点之间，线段最短，连接，的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段、直线即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求． 考点七：直线相交的交点个数 例7．已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】 本题考查了直线的交点个数问题，根据题意画图讨论其交点情况，即可解题． 【详解】解：根据题意画图：    有1个交点，故A项有可能，不符合题意；    有5个交点，故C项有可能，不符合题意；    有6个交点，故D项有可能，不符合题意； 它们的交点不可能有2个， 故选：B． 【变式7-1】平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 【变式7-2】如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则条直线两两相交最多有 个交点． 【答案】4950 【分析】本题考查相交线交点个数问题，直线两两相交时去掉重复交点是解题的关键．由所给条件可得条直线相交最多有个交点，令即可求解． 【详解】解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点， 把代入，得 故答案为：4950． 【变式7-3】我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 【详解】（1）解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）解：n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 考点八：线段中点的计算 例8．M是线段上的一点，其中不能判定点M是线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段中点的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 根据线段的中点的定义判定即可判断． 【详解】解：∵M是线段上的一点，或或， ∴M是的中点， 故选：A． 【变式8-1】如图，点A、C、D在同一直线上，，，点B、E分别是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求两点之间的距离，线段中点的计算，先求出，再根据线段中点的性质得、的长，最后根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：，， ， 点B、E分别是的中点， ， ， 故选：C 【变式8-2】如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式8-3】已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算以及图形中线段的和差关系，根据图形找准线段间的关系是解答本题的关键． （1）根据线段中点定义以及图形中，计算即可； （2）根据线段中点的定义以及图形中进行计算即可． 【详解】（1），， D为中点， （2）点D为中点， 点E为中点， ， 考点九：两点之间的距离 例9.如图，是线段上任意一点，是线段的中点，是线段的中点，下列说法中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是线段的中点，是线段的中点，可得，，而是线段上任意一点，可得与不一定相等，据此判断即可．本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题． 【详解】解：是线段的中点， ， ， ，故A选项正确； 是线段的中点， ， ，故B选项正确； 是线段的中点， ， ，故C选项正确； ， ，故D选项错误， 故选：D． 【变式9-1】如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确即可． 【详解】解：由图可得， ，故选项A中的结论成立， ，故选项B中的结论成立， ∵点C是线段上一点，∴不一定是的二倍，故选项C中的结论不成立， ∵D是线段的中点，∴，故选项D中的结论成立， 故选：C． 【变式9-2】如图，C、D两点在线段上，，点M为线段的中点，点N为线段的中点，且，则 ． 【答案】14 【分析】题目主要考查线段中点及比例的计算，熟练掌握线段比例及中点的计算方法是解题关键． 设，根据题意得出，再由线段中点确定，由代入求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解之得. 即 故答案为：14． 【变式9-3】已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点． (1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点； 当线段时，求线段的长； 若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)①或，② 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的前提． 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； 分两种情况进行解答，即点在点的左侧和右侧，分别求出，再根据线段中点的定义进行计算即可； 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， 又点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ； （2）当点在点的右侧时，，， ， 是的中点， ， 当点在点的左侧时，，， ， 是的中点， ， 因此的长为或； ，理由： 是的中点， ， 又是的中点， ， ，， ． 1．如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．本题利用线段的和差将比较线段与线段转换为比较线段与线段即可． 【详解】解：因为，，， 所以， 故选：B． 2．借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可． 此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键． 【详解】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的， 故选：C． 3．下列作图语句正确的是（    ） A．作线段，使 B．延长线段到点，使 C．作，使 D．以点为圆心作弧 【答案】C 【分析】本题主要考查了基本作图，根据画线段，作一个角等于已知角，画弧的作图方式一一判断即可． 【详解】解：A．只能说作线段，使，原说法错误．不符合题意； B．延长线段到C，不可能使得，原说法错误． 不符合题意； C．作，使，原说法正确．符合题意； D．没有给出半径的长度，无法以点O为圆心作弧，原说法错误． 不符合题意； 故选：C． 4．如图，A，B，C，D是直线上的顺次四点，M，N分别是线段，的中点，且，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是找准线段之间的和差，倍数关系． 根据，求出，根据中点定义，推出，再利用，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∴． 故选A． 5．下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可解答，正确区分两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：是根据两点确定一条直线，是根据两点之间，线段最短， 故选：． 6．若，，三点在同一直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长是（    ） A．7 B．3或7 C．2或7 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了两点间距离，分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，分别计算即可． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时，如图： ，，点，分别是线段，的中点， ，， ， 当点在点的左侧时，如图： ，，点，分别是线段，的中点， ，， ， 线段的长为或， 故选：B． 7．如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； ∵A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人． 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为． ∵观察线段可得， ∴当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 故选：C． 8．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26． 【详解】解：如图： ∵AB=10，BC=8， ∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36， ∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形， ∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=×12=6， ∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即MN+LK+IJ+OP=12， ∴XW+UV+ST+QR=12， ∵四个重叠部分的周长之和为28， ∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=×28=14， ∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26， ∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍． 9．如图，点是线段的中点，点在线段上，且，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义求出，则． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∴， 故答案为：5． 10．如图，要在河的两岸搭建一座桥，在，，三种搭建方式中，最短的是，其理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了点与直线之间距离，解题的关键是理解垂线段的意义，根据垂线段的意义即可求解． 【详解】解：根据垂线段定理：“连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”， ， 最短， 故答案为：垂线段最短． 11．如图，线段，点在上，，为的中点，则线段的长为 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查的是两点间的距离，线段中点的定义，解题的关键是正确分析题目中线段之间的等量关系． 先根据题意得出，，再结合中点的定义得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ，， 为的中点， ， ． 故答案为：12． 12．已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 【答案】4或8 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系．分两种情况：点C在线段上或点C在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点， ， 当点C在线段上时，如图， ； 当点C在线段的延长线上时，如图， 故答案为：4或8． 13．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 14．如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点” （1）线段中点 （选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”； （2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则 时，点是线段的“两倍分点”． 【答案】 是 ，12，18 【分析】本题考查线段之间的数量关系，与线段中点有关的计算： （1）根据中点的性质以及“两倍分点”的定义，进行判断即可； （2）分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）一条线段的中点把这条线段分成相等的两部分，这条线段是每一部分的2倍，所以一条线段的中点是这条线段的“两倍分点”， 故答案为：是； （2）∵，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动， ∴， ∵点是线段的“两倍分点” ∴点在线段上， ∴， 当点运动到点时，所需时间为秒， ∴， 当时：，解得：； 当时：，解得：； 当时：； 当时：，解得：； 故答案为：，12，18． 15．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)做射线； (2)取一点P，使点P既在直线上又在直线上； (3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A，B，C，D四点距离之和最短．画出点M的位置，并写出该最短距离和是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查射线，直线和线段，以及线段的性质： （1）根据射线的定义，作图即可； （2）直线的交点即为点； （3）两点之间线段最短，得到，的交点即为点，再进行求解即可． 【详解】（1）解：作射线，如图； （2）直线和直线的交点就是点P； （3）连接，交于M，点M即为所求，最短距离和是 16．如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段，以A为端点的线段有 条； ② ； (2)若D是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)①6，3；② (2) 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算： （1）①根据线段的定义，进行求解即可；②根据线段的和与差进行作答即可； （2）根据中点得到，进而得到，求出的长，再利用计算即可． 【详解】（1）解：①由图可知，图中有，共6条线段，以A为端点的线段有3条， 故答案为：6，3； ②由图可知：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在直线上顺次取三点，使得，，点、点分别由点同时出发向点运动，点的速度为，点的速度为． (1)如果点是线段的中点，那么线段的长是_____； (2)①求点出发多少秒后追上点； ②点出发多少秒后与点的距离是； 【答案】(1)120； (2)①后点追上点；②10s或 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算、一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）根据题意可求出与的长度，利用即可求出答案； （2）①设点出发后追上点，由题意列出方程，解方程即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，分别列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 点是线段的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：①设点出发后追上点， 由题意得：， 解得：， 后点追上点； ②当点在点的左侧时，， 解得：； 当点在点的右侧时，， 解得：， 点出发10s或后与点的距离是． 18．如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系式建立方程， （1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题； （2）分两种情形求解即可； （3）用t表示、的长，代入化简即可解决问题； 【详解】（1），，， 设经过时两点相遇， 根据题意，得， 解得， 所以经过后两点相遇； （2），， ，， 点P，Q的运动时间为 ，， 或40 Q的运动速度为或 （3）设运动时间为ts， ，， ， ∵、分别是、的中点， ，； ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 直线、射线、线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解线段、射线、直线等平面图形，会用符号表示线段、射线和直线； 2．掌握两个基本事实； 3.能借助刻度尺、圆规等画图工具比较两条线段的大小，画一条线段等于另一条线段； 4.理解线段和、差，以及线段中点的意义。 直线、射线、线段的概念 1. 线段、射线、直线 名称 线段 射线 直线 共同点 不同点 端点 延长 度量 图形 表示 2. 实践告诉我们一个基本事实： 。 叫做这两点之间的距离 3.表示线段、直线、射线。 （1）线段可以用表示端点的两个大写字母来表示， 记作 或 ，也可以用小写字母表示， 记作 。 （2） 射线可以用表示端点和射线上另一个点的 大写字母来表示，右图的射线可以记作 。 （注：射线有端点的字母写在前面。） （3） 直线也可以用两个大写字母来表示，记作 或 ，也可以用小写字母来表示， 记作 。 4. （1）过点A可以画几条直线？ （2）过AB两点可以画几条直线？ 实践告诉我们一个基本事实： 。 线段的长短 1.取一张长方形纸片 （1） 用刻度尺度量并比较长方形的长与宽的大小； （2） 用折纸的方法比较长方形的长与宽的大小。 因此，我们比较线段的大小有两种方法：1.度量法： ；2.叠合法： 。 2. （1） 图中有 条选段，分别是： 。 （2） 比较以上以A为一个端点的 线段大小，用“＜”连接起来 。 （3） 图中AC=AB+BC，AB=AD-DB，还有其他的线段和差的数量关系吗？ . 3.如图，延长AB到点C，使BC=AB。 点B把线段AC分成两条相等的线段 AB与BC，点B叫做线段AC的 。 几何语言： 中点的性质： ∵点B是线段AC的中点 ∴ （或者AC=2AB=2BC） 中点的判定： ∵AB=BC（或者） ∴点B是线段AC的中点 考点一：直线、射线、线段之间的关系 例1．关于如图中的点和线，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 【变式1-1】如图，给出下列语句：①直线l经过点A和点B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A，B两点所确定的直线；④线段是直线l的一部分．其中能正确表达出图形特点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤直线，，两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 【变式1-3】如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 考点二：画直线、射线、线段 例2 ．下列语句准确规范的是（    ） A．直线a，b相交于点m B．反向延长线至点C C．延长射线 D．延长线段至点C，使得 【变式2-1】下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ） ①如图1，直线相交于点；②如图2，直线与线段没有公共点；③如图3，延长线段；④如图4，直线经过点．       图1                        图2                               图3                            图4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】已知：线段a，b，按如下步骤完成尺规作图，则线段 ． ①作一条射线； ②在射线AE上依次截取线段； ③在线段AD上截取线段． 【变式2-3】根据如图所示的图形填空： (1)点B在直线_________，点C在直线_________； (2)点E是直线与_________直线_________的交点，直线与直线相交于点_________； (3)过点A的直线有_________条，分别是__________________． 考点三：直线、线段、射线的数量 例3. 一条铁路有个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（    ）种． A． B． C． D． 【变式3-1】乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（      ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【变式3-2】前段时间，一条好消息迅速在长葛人朋友圈刷屏：大长葛也有地铁了！郑许市域铁路12月26日-27日免费试乘，“双城生活模式”正式启动．图中展示了郑许市域铁路长葛市域内的五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．    【变式3-3】往返于A，B两地的客车，中途停靠三个车站．假设站点与站点之间的路程及站点与A，B两地之间的路程都不相等，请问： (1)一共有多少种不同的票价？ (2)一共要准备多少种不同的车票？ 考点四：两点确定一条直线 例4．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式4-1】将一块木板钉在墙上，我们至少需要个钉子将它固定，这是因为（    ） A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 【变式4-2】小王同学在面临“固定一根细而短的直木条用多少根钉子”问题时，选择的是准备用根钉子，若你是发货员，从节约和稳固兼顾的角度来讲，可以只发给小王 根钉子． 【变式4-3】下列说法是否正确？为什么？ （1）经过一点可以画两条直线；                 （2）棱柱侧面的形状可能是一个三角形； （3）长方体的截面形状一定是长方形；           （4）棱柱的每条棱长都相等． 考点五：线段尺规作图 例5 ．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 【变式5-2】已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【变式5-3】如图所示，已知线段，点为中点，点是线段外一点． (1)按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹； ①作射线，作直线； ②延长线段至点，使得． (2)在（1）的条件下，若线段，则线段的长为 ． 考点六：两点之间线段最短 例6. 高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 【变式6-1】下列四个生产生活现象，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．用两颗钉子可以把木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上 D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 【变式6-2】如图，从A地到B地走②路线最近，这样走的数学根据是 ． 【变式6-3】如图，在平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： (1)画线段、直线； (2)用尺规在直线作点E，使点C是的中点（保留痕迹）； (3)在平面内画出点O，使点O到A、B、C、D四点的距离和最短． 考点七：直线相交的交点个数 例7．已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【变式7-1】平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【变式7-2】如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则条直线两两相交最多有 个交点． 【变式7-3】我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 考点八：线段中点的计算 例8．M是线段上的一点，其中不能判定点M是线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，点A、C、D在同一直线上，，，点B、E分别是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【变式8-3】已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 考点九：两点之间的距离 例9.如图，是线段上任意一点，是线段的中点，是线段的中点，下列说法中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，C、D两点在线段上，，点M为线段的中点，点N为线段的中点，且，则 ． 【变式9-3】已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点． (1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点； 当线段时，求线段的长； 若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 1．如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 2．借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 3．下列作图语句正确的是（    ） A．作线段，使 B．延长线段到点，使 C．作，使 D．以点为圆心作弧 4．如图，A，B，C，D是直线上的顺次四点，M，N分别是线段，的中点，且，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 5．下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 6．若，，三点在同一直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长是（    ） A．7 B．3或7 C．2或7 D．2 7．如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 8．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 9．如图，点是线段的中点，点在线段上，且，，则 ． 10．如图，要在河的两岸搭建一座桥，在，，三种搭建方式中，最短的是，其理由是 ． 11．如图，线段，点在上，，为的中点，则线段的长为 ． 12．已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 13．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 14．如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点” （1）线段中点 （选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”； （2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则 时，点是线段的“两倍分点”． 15．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)做射线； (2)取一点P，使点P既在直线上又在直线上； (3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A，B，C，D四点距离之和最短．画出点M的位置，并写出该最短距离和是___________． 16．如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段，以A为端点的线段有 条； ② ； (2)若D是线段的中点，，求线段的长． 17．如图，在直线上顺次取三点，使得，，点、点分别由点同时出发向点运动，点的速度为，点的速度为． (1)如果点是线段的中点，那么线段的长是_____； (2)①求点出发多少秒后追上点； ②点出发多少秒后与点的距离是； 18．如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$