专题10四分位数.箱线图与数据离散程度暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题10四分位数.箱线图与数据离散程度暑假预习讲义 1. 识记：熟记下四分位数、中位数、上四分位数定义，明确箱线图五大关键数值（最小值、Q₁、中位数、Q₃、最大值）含义。 2. 操作：掌握数据排序后分步求解三组四分位数的完整步骤，能根据五数规范绘制箱线图。 3. 读图：可从箱线图提取四分位数、数据区间、中间50%数据范围，直观判断数据分布疏密。 4. 认知：理解极差、方差、标准差均用于刻画数据波动，牢记三者定义与基础计算公式。 5. 运算：会计算一组数据的极差与方差，区分方差、标准差的单位差异与使用场景。 6. 辨析：掌握波动大小判定规律：极差/方差越大，数据离散程度越高、稳定性越差；反之数据更集中稳定。 7. 关联：结合四分位数、箱线图综合分析数据分布，对比极差、方差两种离散程度分析方法的优缺点。 8. 应用：能结合生活实例，借助箱线图、方差对多组数据稳定性做对比、简单决策。 预习必备 知识梳理 1.四分位数基础概念 2.箱线图 3.四分位数与箱线图优缺点 4.数据的离散程度 5.极差.方差与标准差对比 6.数据的变化规律 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求四分位数 2.画箱线图 3.求方差 4.由方差求未知数据的值 5.由方差判断稳定性 6.运用方差做决策 7.求极差 8.由极差求未知数据 9.求标准差 10.求离差平方和 11.离差平方和的应用 强化题型 解答题5题 知识点 01 四分位数基础概念 1. 核心定义 排序后数据三等分，三个分界值Q1（下四分位数）、Q2（中位数）、Q3（上四分位数）统称四分位数。 分位数 别称 数据占比含义 Q1 下四分位数、25% 分位数 25% 的数据小于Q1，75% 大于Q1 Q2 中位数、50% 分位数 前后各 50% 数据，集中中心 Q3 上四分位数、75% 分位数 75% 的数据小于Q3，25% 大于Q3 2. 四分位数标准求解步骤 （1）原始数据从小到大排序（必做，不排序全错） （2）求Q2（中位数），分割上下两组数据 n奇数：上下半组不含中位数 n偶数：前为下半组，后为上半组 （3）下半组中位数 =Q1；上半组中位数 =Q3 知识点02箱线图 1.箱线图五数概括 绘制箱线图只需要 5 个关键数值，缺一不可： 最小值Min、Q1、Q2、Q3、最大值Max 2.箱线图画图规范步骤 步骤 操作要求 步骤 1 绘制水平数轴，刻度覆盖全部五数 步骤 2 在数轴标出Q1、Q3，画长方形箱体 步骤 3 箱体内部过Q2画竖实线（中位线） 步骤 4 左须：Q1向左连线至最小值 Min 步骤 5 右须：Q3向右连线至最大值 Max 3.箱线图读图信息对照表 图像特征 数据分布结论 箱体宽 中间 50% 数据波动大、分散 箱体窄 中间 50% 数据集中、波动小 Q2居中 数据整体对称分布 Q2靠近Q1 右侧大数更分散，右偏 Q2靠近Q3 左侧小数更分散，左偏 左须更长 偏小数据离散程度大 右须更长 偏大数据离散程度大 知识点 03 四分位数 & 箱线图优缺点 优点 缺点 1. 规避极端值影响；2. 直观划分 25%/50%/75% 分段；3. 同一数轴可多组数据对比；4. 快速判断数据偏态 1. 看不到单个原始数据；2. 无法计算总和、平均数；3. 仅分段分界，无精准波动数值 知识点04: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）标准差 1.定义方差的算术平方根 2.公式s= 3.优势：单位和原始数据一致，生活应用题描述波动更直观 知识点 05 极差、方差、标准差全方位对比表 统计量 计算难度 是否受极端值影响 参与数据数量 适用场景 极差 最简单 严重影响 仅最大、最小 2 个 粗略快速判断数据跨度 方差 繁琐 轻微影响 全部数据 精准比较多组数据稳定性 标准差 中等（方差开根号） 轻微影响 全部数据 实际应用题（单位统一） 知识点06:数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 知识点07：高频易错点汇总 知识模块 典型错误 正确做法（一句话记牢） 四分位数计算 1.不排序直接找Q1、Q3 2. 奇数个数分组带上中位数Q2 先排序；奇数数据上下两组剔除中位数 四分位距 错算成Q3-Q2或Q2-Q1 四分位距固定：IQR=Q3-Q1 箱线图绘制 1. 箱体端点标最大 / 最小值2. 漏画箱内中位线、两端线段 箱体左右是Q1、Q3，中间画竖线，左右连最值 箱线图读图 箱体宽窄代表平均数大小 箱体宽度代表中间 50% 数据波动大小 极差 最小值减最大值，出现负数 极差 = 最大值−最小值，结果必为正数 方差公式 1. 差值忘记平方 2.平方和除以(n-1) 3.分不清方差、标准差 先求均值，差再平方，总和除以数据总数n；方差开根号是标准差 数据平移缩放 数据加常数，误以为方差改变 加减任意数，方差、标准差不变；只有乘倍数才变 稳定性比较 只用极差判断数据稳定程度 精准对比稳定性必须用方差 / 标准差 完整数据分析 只写集中趋势，不提离散程度 描述一组数据：集中趋势 + 离散程度两者都要写 题型1.求四分位数 【典例】样本数据，，，，，，的是__________． 【答案】9 【分析】先将样本数据从小到大排序，计算第三四分位数的位置，再得到对应结果即可．或先求出这组数据的中位数，再求出中位数右侧的数据的中位数即可得出答案． 【详解】解：将给定样本数据从小到大排序为，，，，，，， 方法一：∵样本容量， ∴， ∵不是整数，将向上取整为，即第个数据就是所求的， ∴． 方法二：∵最中间的数据为， ∴中位数为， ∵中位数右侧有个数据，，， ∴右侧个数据的中位数为， ∴． 【跟踪专练1】为全面落实新时代中小学科学教育工作要求，激发青少年科学探究热情，提升实验操作与创新思维能力，近日，某县举行了青少年科学实验能力大赛．某学校的7名同学在本次大赛中的成绩分别为（单位：分）95，88，94，95，96，92，95．则这组数据的第三四分位数、众数分别为（     ） A．95，95 B．92，95 C．94，95 D．95，92 【答案】A 【分析】先将数据从小到大排序，再根据规则计算第三四分位数，最后找出出现次数最多的数得到众数． 【详解】解：首先将原数据从小到大排序，得：， 方法一：数据个数，第三四分位数为分位数，计算位置：， ∵不是整数， ∴向上取整，第三四分位数为排序后的第个数据，即， 众数是数据中出现次数最多的数，这组数据中出现次，次数最多，因此众数为， ∴这组数据的第三四分位数、众数分别为． 方法二：整体数据的中位数为95， ∵上半组数据按照从小到大的排序为：95，95，96， ∴上半组数据的中位数为95，即这组数据的第三四分位数为95， 众数是数据中出现次数最多的数，这组数据中出现次，次数最多，因此众数为， ∴这组数据的第三四分位数、众数分别为． 【跟踪专练2】下图是某班名学生身高的数据箱线统计图，该班名学生身高的上四分位是________． 【答案】 【分析】根据箱线统计图的结构特征，识别图中各个数值所代表的统计意义，确定上四分位数在图中的位置即可求解． 【详解】解：由箱线统计图可知，图中的五个关键数值分别代表最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值．其中，箱体上方的横线对应的数据表示上四分位数． 观察图形可知，箱体上方的横线对应的数值为． 所以该班名学生身高的上四分位是． 【跟踪专练3】科技创新是提高社会生产力和综合国力的战略支撑．根据创新评价体系，获得A，B两个团队12种同类科技产品的创新贡献率（单位：），并将这些数据整理后绘制成箱线图，如图所示．以下关于两个团队创新水平的评价错误的是（     ） A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的箱线图 A．团队A的科技产品创新贡献率的中位数明显高于团队B B．团队A的科技产品创新贡献率的最大值明显高于团队B C．团队B的科技产品创新贡献率的波动大于团队A D．团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图，结合中位数、最大值、最小值、下四分位数即可判断的正确性，根据四分位数间距判断其两个团队科技产品的贡献率的波动大小． 【详解】解：A、A的科技产品创新贡献率的中位数是高于B的科技产品创新贡献率的中位数，正确； B、A的科技产品创新贡献率的最大值高于B的科技产品创新贡献率的最大值，正确； C、A科技产品创新贡献率的四分位数间距为，B科技产品创新贡献率的四分位间距为，，B科技产品更稳定，波动小，错误； D、团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数，正确． 题型2.画箱线图 【典例】一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是________． 【答案】 【分析】根据箱线图的概念读数即可． 【详解】解：由箱线图可得这组数据的上四分位数是86． 【跟踪专练1】学校为了解八年级学生的体能状况，对该年级1班和2班的学生进行了跳绳测试．如图是老师绘制的两个班级成绩的箱线图．下列说法正确的是（     ） A．1班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在2班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．2班跳绳次数整体比1班好 【答案】D 【分析】需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A、∵1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为，， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B、∵1班最下端点是136，2班最下端点是152，， ∴1班的最小值更小，故B错误； C、∵1班中位数是165，2班中位数是172，， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D、∵2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 【跟踪专练2】如图是小江同学不同科目六次检测成绩的箱线图，则他成绩最稳定的学科是________． 【答案】数学 【分析】箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】由题意可知，他成绩最稳定的学科是数学． 【跟踪专练3】已知1班和2班人数相等，统计一次“古诗词大赛”中两班同学积分，绘制箱线图如图所示，左侧箱线图代表班，右侧箱线图代表班．下列说法一定正确的是（     ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班有同学的成绩超过120分 C．2班成绩的下四分位数是80分 D．1班的平均分高于2班的平均分 【答案】B 【分析】根据箱线图的特征，分析两班成绩的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值以及数据的离散程度． 【详解】解：对于A，观察图形可知，班的极差和四分位距（箱体长度）均大于班，说明班成绩比班成绩分散，故A错误； 对于B，班成绩的最大值（上须顶端）在分与分之间，说明班有同学的成绩超过分，故B正确； 对于C，观察图形可知，班成绩的下四分位数（箱体下沿）略高于分，故C错误； 对于D，箱线图主要反映数据的中位数、四分位数及极差等，无法直接确定平均数的大小，故D错误． 题型3.求方差 【典例】一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 【答案】16 【分析】根据方差的定义推导每个数据扩大倍数后的新方差即可，若一组数据每个数据都乘以常数，新数据的方差为原方差乘以． 【详解】解：设原数据为，原数据的平均数为，原方差为， 由题意得 将每个数据乘以后，新数据为 新数据的平均数 新数据的方差 ． 【跟踪专练1】一组数据：，，，…，，在这一组数据的方差计算式中，2025表示该组数据的________． 【答案】平均数 【分析】设个数据分别为，则这组数据的方差为其中为这组数据的平均数，为数据的个数，据此结合题意可得答案． 【详解】解： 根据题意可得2025表示该组数据的平均数． 【跟踪专练2】一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，则_________；这组新的数据的方差为_________． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义计算原数据的平均数，由加入数后平均数不变可得的值，再根据方差的定义计算新数据的方差即可． 【详解】解：∵一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变， ∴， 解得； 这组新的数据的方差为． 【跟踪专练3】已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 【答案】A 【详解】解：∵一组数据，，的平均数是8，方差是3， ∴，， ∴，， ∴新三个数据的平均数为； 新三个数据的方差为 ． 题型4.由方差求未知数据的值 【典例】一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 【答案】 【分析】根据方差的定义，方差计算公式即可得到结果． 【详解】解：方差的计算公式为，其中为这组数据的平均数，为数据的个数， 对比题目给出的方差为，可得该组数据的平均数． 【跟踪专练1】若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查方差，观察两组数据分布特点，根据方差表示的是数据波动大小求解． 【详解】数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致， ∴若或时，两组数据方差相等， 当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小， 当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大， 则的值不可能是10． 故选：A． 【跟踪专练2】若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为_____． 【答案】1或4/4或1 【分析】根据方差的性质，当一组数据同时加减一个数时方差不变，进而得出答案． 【详解】解：∵一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4或1，2，3， ∴或4， 故答案为1或4． 【点睛】本题考查的是方差，正确记忆方差的有关性质是解题关键． 【跟踪专练3】一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 【答案】D 【详解】解：方差的计算公式为：，其中为数据的个数，为这组数据的平均数． 对比题目给出的方差表达式可得，平均数， 该组数据的总和为． 题型5.由方差判断稳定性 【典例】甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示，则甲、乙两人中成绩相对不稳定的是_________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据题意可得甲选手的成绩波动比乙选手的大，则甲的方差大，而方差越大，成绩越不稳定，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，甲选手的成绩波动比乙选手的大，故甲选手的成绩的方差比乙选手的大， ∴甲、乙两人中成绩相对不稳定的是甲． 【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁四名跳远运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：米）和方差（单位：米2）如图所示，根据图中信息，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】首先比较平均数，平均数大的成绩好，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可． 【详解】解：根据图中信息，四人中成绩好的是丙和丁， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛． 【跟踪专练2】巨野县是中国工笔牡丹画之乡，甲、乙两位画师统计了连续天的牡丹画成交数量，两人日均成交数量相同．甲画师天成交数量：，乙画师成交数量的方差为，则天成交情况更稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】已知甲乙日均成交数量相同，即平均数相同，根据方差的意义，方差越小数据越稳定，只需计算出甲的方差，与乙的方差比较即可得到结果； 【详解】解：由题意得，甲天成交数量的平均数， ∴， ∵乙的方差为，， ∴， ∴天成交情况更稳定的是乙． 【跟踪专练3】甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试，每人投篮10组，每组投篮10次．这两名运动员每组投篮命中次数的数据如图所示．有下列结论： ①甲的前5个数据的离散程度比后5个数据的离散程度小； ②乙的前5个数据的离散程度比后5个数据的离散程度大； ③甲的10个数据的离散程度比乙的10个数据的离散程度大． 其中所有正确结论的序号是（     ） A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据折线图，观察数据的波动范围，即可求解． 【详解】解：①甲前5个数据：9，8，8，7，8，在之间， 甲后5个数据：6，8，10，10，6，在之间， 因此甲前5个数据的离散程度比后5个小，①正确． ②乙前5个数据：8，7，8，8，9，在之间； 乙后5个数据：10，9，7，7，7，在之间， 因此乙前5个数据的离散程度比后5个小，②错误． ③： 甲10个数据在之间，乙10个数据在之间， 因此甲的10个数据的离散程度比乙大，③正确． 综上，正确结论为①③． 题型6.运用方差做决策 【典例】要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，你认为派_________（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 【答案】甲 【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，比较三人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵三人的平均成绩都是90分，方差分别是，，， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定，故派甲去参赛更合适． 【跟踪专练1】香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．甲、乙、丙、丁四个果篮中香水梨的平均质量与方差如表所示，若要挑选一个单果质量大且大小均匀的果篮，则应选__________． 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 1.1 1.1 1.2 1.2 【答案】 乙 【分析】根据题意，需要挑选平均单果质量大且大小均匀的果篮，先比较四个果篮的平均质量，筛选出平均质量较大的果篮，再比较对应方差，方差越小数据波动越小，大小越均匀，即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴乙和丁的平均单果质量更大， 又∵， ∴乙的方差更小，单果大小更均匀，符合要求． 【跟踪专练2】某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们亩产量的平均数分别是千克，千克，方差分别是，．则关于这两种小麦推广种植的合理决策是（    ） A．乙的平均亩产量较高，应推广乙 B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广 C．甲、乙的平均亩产量相差不多，但甲的亩产量比较稳定，应推广甲 D．乙的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广乙 【答案】C 【分析】本题需先根据甲、乙亩产量的平均数得出甲、乙的平均亩产量相差不多，再根据甲、乙的平均亩产量的方差即可得出甲的亩产量比较稳定，从而求出正确答案． 【详解】解：∵=621千克，=622千克， ∴甲、乙的平均亩产量相差不多， ∵亩产量的方差分别是S甲2=2.6，S乙2=28.7． ∴甲的亩产量比较稳定． 综合以上两点知甲、乙的平均亩产量相差不多，但甲的亩产量比较稳定，应推广甲， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方差和平均数的有关知识，在解题时要能根据方差和平均数代表的含义得出正确答案是本题的关键． 【跟踪专练3】一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【答案】 【分析】先找出这组数据的最大值与最小值，再计算两者的差即可. 【详解】解：这组数据的最大值为，最小值为，因此极差为. 题型7.求极差 【典例】一个容量为80的样本的最大值是123，最小值是40，取组距为10，则可以分成（     ）． A．7组 B．8组 C．9组 D．10组 【答案】C 【分析】先计算最大值与最小值的差，再除以组距，用进一法取整即可得到组数． 【详解】∵样本中最大值为123，最小值为40， ∴极差为， ∵组距为10， ∴，根据组数计算规则，小数部分需进位，因此可以分成9组． 【跟踪专练1】甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是__________仪仗队．（填“甲”或“乙”） 【答案】 甲 【分析】根据箱线图的特征，通过观察数据的极差或分布范围来判断数据的离散程度，离散程度越小，身高越匀称． 【详解】解：由箱线图可知，甲队队员身高的最小值为，最大值为，极差为， 乙队队员身高的最小值为，最大值为，极差为， ∵，则甲队队员身高的波动较小，数据更集中， 故身高较为匀称的是甲仪仗队 ． 【跟踪专练2】某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（    ） 身高 人数 A．个， B．， C．， D．个， 【答案】C 【分析】本题考查了极差和众数的定义，掌握极差和众数的定义是解答本题的关键． 根据极差和众数的定义解答即可． 【详解】解：极差是：， 出现了次，出现的次数最多，则众数是， 故选：C． 题型8.由极差求未知数据 【典例】中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考试数学成绩的（    ） A．平均数和中位数 B．方差或极差 C．众数或中位数 D．平均数或众数 【答案】B 【分析】根据方差、极差的意义即可解答． 【详解】解：老师最关注小明数学成绩的稳定性，由于方差和极差都能反映数据的波动大小，故判断小明的数学成绩是否稳定，应知道方差或极差． 故选：B． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数，离散程度的统计量有极差，方差，标准差，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 【跟踪专练1】甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【详解】解：箱线图中，数据的波动越大，说明数据离散程度越高， 气温的极差（最高温与最低温的差值）越大． 观察图形可得：甲地气温的极差（整体跨度）大于乙地，气温分布更分散， 因此5月气温波动较大的是甲地． 【跟踪专练2】下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值即可求出y的值即可判断①；根据两直线的位置关系即可判断②；根据极差的定义即可判断③；根据一次函数的增减性即可判断④． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确； ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则或 则的值是6或-3，说法错误； ④一次函数中，则随增大而减小，而，则故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，两直线的位置关系，极差的定义，一次函数的增减性等等熟知相关知识是解题的关键． 题型9.求标准差 【典例】已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 【答案】 6 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差，熟练掌握平均数，方差及标准差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解出方差，开方后即可得出标准差． 【详解】：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差， ∴标准差为． 故答案为：，． 【跟踪专练1】某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】设三位男生的成绩分别为a、b、c，可求得3位男同学考试分数的平均数，再由三位男生的方差为6，求得这个学习小组5位同学考试分数的方差，从而求得标准差． 【详解】解：∵两位女生的成绩分别为17分、15分， ∴两位女生的成绩的平均数是（分）， ∴三位男生成绩的平均数是16分． 三位男生的方差， ， 这个学习小组5位同学考试分数的方差 ， 标准差是， 故选：B． 【点睛】本题考查标准差，计算标准差需要先算出方差，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数． 【跟踪专练2】若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【答案】D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 【跟踪专练3】父亲节来临之际，某学校举办“浓情六月，感恩父亲”主题活动，全校抽取30位同学准备为父亲制作感恩贺卡，参与同学的年龄分布如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 频数 4 9 12 5 若从参与的同学中，剔除1名年龄最小（12岁）和1名年龄最大（15岁）的同学，得到一组新年龄数据．对比剔除前后的数据，下列统计量不会发生改变的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】根据各统计量的定义，分别计算剔除前后的中位数，判断各统计量是否发生改变即可． 【详解】∵ 原数据共个，从小到大排列后，中位数是第个和第个数据的平均数， 原数据中，岁有个，岁有个，可得， 第，个数据都是， ∴ 原中位数为； 剔除个岁和个岁后，新数据共个， 中位数是第个和第个数据的平均数， 新数据中，岁有个，岁有个，可得， 第，个数据都是， ∴ 新中位数为，中位数不变； 原平均数为：， 新平均数为：， ∴平均数改变； 方差和标准差反映数据波动程度，剔除个岁和个岁后，波动变小，因此方差和标准差改变． 综上，不会发生改变的统计量是中位数． 题型10.求离差平方和 【典例】计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 【答案】 【分析】根据方差算式确定这组数据，先计算平均数，再根据离差平方和的定义计算结果即可． 【详解】解：由给出的方差算式可得，这组数据为，，，，数据个数为， 计算这组数据的平均数：， 离差平方和为：， 代入计算得：． 【跟踪专练1】某校运动队有5名同学准备参加跳高比赛，为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将5名同学按他们跳高成绩的高低分为2组，分组计算离差平方和（如下表），你认为比较合理的分组是（     ） 组序 第1组 第2组 组内离差平方和 1 1.58 1.63，1.65，1.75，1.78 0.016275 2 1.58，1.63 1.65，1.75，1.78 0.010517 3 1.58，1.63，1.65 1.75，1.78 0.00305 4 1.58，1.63，1.65，1.75 1.78 0.015275 A．组序为1的分组 B．组序为2的分组 C．组序为3的分组 D．组序为4的分组 【答案】C 【分析】合理分组要求同一组内数据差异尽可能小，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较各组离差平方和的大小即可得到结论． 【详解】解：由表格可知，各组组内离差平方和的大小关系为 ， 则组序为3的分组离差平方和最小，分组最合理． 【跟踪专练2】5月的某一天，四个城市的最高气温按从低到高的顺序排列为：长春、哈尔滨、北京、西安，在将城市分为两组时，计算出了如下三种分组的组内离差平方和如下表所示，则按照最高气温分组时，组内离差平方和最小的分法为_________________________（填城市具体分组）． 分组 组内离差平方和 第一组：长春；第二组：哈尔滨、北京、西安 158 第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安 第一组：长春、哈尔滨、北京；第二组：西安 122 【答案】第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安 【分析】只需比较表格中给出的三种分组的组内离差平方和的大小，选取最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵， ∴组内离差平方和最小的分法为第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安． 【跟踪专练3】下表是6名学生的身高数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 身高/ 150 155 160 165 170 175 将这些身高按从低到高排列后分成两组，共有种不同的分组，按第3个间隔分组时的组内离差平方和为，则与的值分别为（     ） A．5，50 B．6，50 C．5，100 D．6，100 【答案】C 【分析】先根据排好序的数据个数确定间隔总数得到，再按第3个间隔分组，分别计算两组的离差平方和，求和得到． 【详解】解：∵6个按从小到大排好的数据，相邻两个数之间共有个间隔，每个间隔对应1种不同分组方法， ∴. ∵第1个间隔在150与155之间，第2个间隔在155与160之间，第3个间隔在160与165之间，因此分组结果为：第一组，第二组， 计算第一组平均数：， 第一组离差平方和：， 计算第二组平均数：， 第二组离差平方和：， ∴总组内离差平方和， 因此，． 题型11.离差平方和的应用 【典例】在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【答案】和 【分析】先将原数据从小到大排列，再比较三个间隔的组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则确定分组位置即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到． 比较三个间隔的组内离差平方和，可得． 可知第个间隔的组内离差平方和最小， 因此在第个间隔处分组，得到两组分别为和． 即这两组是和． 【跟踪专练1】某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度，将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 6.67 3 第一组3人，第二组2人 14.67 4 第一组4人，第二组1人 22.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内跳绳成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较4种分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 【跟踪专练2】利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组．已知一组不全相等的数据共5个数，对这组数据进行分组，设两组的离差平方和分别为和，且满足，请你写出一组符合题意的数据____________． 【答案】1，1，2，2，2（答案不唯一） 【分析】根据平方的非负性，可得两个分组数据的离差平方和都为，即每组内数据相等，原数据共个且不全相等，只需构造两组分别相等、整体不相等的五个数即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，即，. 离差平方和为，说明每组内所有数据都相等． 将个数据分为两组，可分为个一组和个一组，由题意可知原数据不全相等，因此两组数据不相等． 写出一组符合题意的数据为（答案不唯一）． 【跟踪专练3】某校数学兴趣小组招募新成员，五位同学参加了笔试，笔试成绩分别为6，6，3，5，12．将5个笔试成绩按从小到大顺序排列后，相邻两个成绩之间自然形成4个间隔，利用信息技术工具，分别计算组内离差平方和，如下表所示．现要求将这5位同学分为两组，且每组至少2人，已知组内离差平方和越小，分组越合理．下列选项中分组更合理的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 30.75 30.75 第2个间隔 2 24 26 第3个间隔 4.67 18 22.67 第4个间隔 6 0 6 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先将成绩从小到大排序，再对应各选项分组，分组更合理的标准是满足每组至少2人，且组内离差平方和越小，分组越合理． 【详解】解：将个成绩从小到大排序得 ， 选项A的分组中有一组仅人，不符合每组至少人的要求，直接排除， 选项C对应第二个间隔分组，满足人数要求，组内离差平方和为， 选项B对应第三个间隔分组，满足人数要求，组内离差平方和为， 选项D的分组打乱有序排列，组内差异大，组内离差平方和大于， ∵ ，组内离差平方和越小分组越合理， ∴ 选项B的分组更合理． 解答题 1．某社区随机调查了12户家庭月消费支出，数据如下表所示： 月消费支出/元 3000 4000 5000 6000 8000 10000 户数 1 2 2 4 2 1 (1)该社区调查的12户家庭月消费支出的众数为_________； (2)请计算该社区调查的12户家庭月消费支出的四分位数； (3)请画出箱线图． 【答案】(1)6000元 (2)下四分位数为4500元，中位数为6000元，上四分位数为7000元 (3)箱线图如图所示： 【分析】（1）根据众数的定义求解； （2）根据四分位数的定义求解即可； （3）由数据确定最大值，最小值，再结合四分位数即可作出箱线图． 【详解】（1）解：由表格可得，月消费支出6000元的有4户，6000出现的次数最多，故众数为6000元； （2）解：将数据排列为3000，4000，4000，5000，5000，6000，6000，6000，6000，8000，8000，10000 方法一：，则下四分位数是第3、4个数据的平均数，即为； ，则中位数是第6、7个数据的平均数，即为； ，则上四分位数是第9、10个数据的平均数，即为； 方法二：前6个数据的中位数即为下四分位数，即为； 12个数据，中位数是第6、7个数据的平均数，即为； 上四分位数是后6个数据的中位数，即为， 故下四分位数为4500元，中位数为6000元，上四分位数为7000元； （3）略 2．下面是八（1）班某小组10名同学“一分钟跳绳”的成绩（单位：分） 8，9，6，10，7，8，10，5，9，8． (1)求出这组数据的方差； (2)若将成绩分为两组（包含临界值）：低分组（5分-8分）和高分组（9分-10分），计算上述分组情况下的组内离差平方和． 【答案】(1)2.4 (2)9 【分析】（1）首先计算该组数据的平均数，然后根据方差的定义求解即可； （2）首先根据题意将成绩分成两组，并分别计算平均数，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）根据题意，成绩分为两组（包含临界值）：低分组（5分-8分）和高分组（9分-10分）， 则低分组为：8，6，7，8，5，8， 高分组为：9，10，10，9， ∴低分组的平均数为， 高分组的平均数为， ∴分组情况下的组内离差平方和为． 3．如图是今年我市一周（5月11日至5月17日）中每天最高、最低气温的折线统计图（温度为整数）． (1)5月13日当天的气温的极差是 ，一周内最高气温的极差是 ； (2)每日平均气温近似按“（最高气温+最低气温）”计算，气象学规定：连续5日平均气温，即可判定入夏，请判断泰兴5月11日至5月15日是否达到入夏标准，并说明理由． 【答案】(1)16，4 (2)达到入夏标准，理由如下： 11日平均气温， ∵12日、13日、14日的最高温，最低温均高于11日， ∴这三天的平均气温均高于， 15日平均气温， 综上，泰兴5月11日至5月15日这五天的平均气温，达到入夏标准． 【分析】（1）直接根据折线图获取相关数据列式计算即可． （2）根据平均气温的公式计算这五天的平均气温，即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，5月13日当天的最高气温是，最低气温是，一周内最高的最高气温是，最低的最高气温是， 则5月13日当天的气温的极差是，一周内最高气温的极差是； （2）略 4．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：92，96，70，88，60，70，100，83，92，99； 乙：92，93，70，88，81，73，96，80，92，95 (1)小明利用平均数、方差进行分析： ①通过计算平均数：分，________分； ②方差：，，可以看出________（填“甲”或“乙”）组的测试更稳定； (2)小涛利用四分位数、箱线图进行分析： 最小值 最大值 甲 60 90 100 乙 70 80 93 96 ①求________；________；________； ②根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两组的成绩的看法． 【答案】(1)①；②乙 (2)①；；；②甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中 【分析】（1）①运用求平均数的公式列式计算，即可作答；②由方差越小越稳定，得出乙组的测试更稳定； （2）①观察箱线图的信息以及运用求四分位数的方法进行作答即可；②运用数形结合思想，得出甲组箱体较大，乙组箱体较小，故甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，即可作答． 【详解】（1）解：①（分）； ②，，， 乙组的测试更稳定； （2）解：①观察箱线图得出，， 把甲的数据按从小到大排序得：60，70，70，83，88，92，92，96，99，100，一共是个数据， 方法一：， 则取上整数为， ∴第三四分位数为第个数据，即， ∴； 方法二：甲组数据的中位数是， 则中位数右侧的原始数据是92，92，96，99，100， 故这组数据的中位数为， 即； ②略 5．5个城市冬季平均气温如下表： 城市 郑州 成都 南昌 广西 广州 平均气温 2 4 8 10 12 按气温由低到高的顺序，将它们分成两组共有4种方案，如下表： 方案 第一组 第二组 组内离差平方和 方案① {2} {4，8，10，12} 35 方案② {2，4} {8，10，12} ？ 方案③ {2，4，8} {10，12} 20.67 方案④ {2，4，8，10} {12} 40 (1)请计算出方案②的组内离差平方和． (2)为使得组内差异最小，应该选择方案____________． 【答案】(1) (2)② 【分析】（1）根据组内离差平方和的公式计算即可得出结果； （2）根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方案②的组内离差平方和为； （2）解：∵， ∴为使得组内之间差异最小，应该选择方案②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10四分位数.箱线图与数据离散程度暑假预习讲义 1. 识记：熟记下四分位数、中位数、上四分位数定义，明确箱线图五大关键数值（最小值、Q₁、中位数、Q₃、最大值）含义。 2. 操作：掌握数据排序后分步求解三组四分位数的完整步骤，能根据五数规范绘制箱线图。 3. 读图：可从箱线图提取四分位数、数据区间、中间50%数据范围，直观判断数据分布疏密。 4. 认知：理解极差、方差、标准差均用于刻画数据波动，牢记三者定义与基础计算公式。 5. 运算：会计算一组数据的极差与方差，区分方差、标准差的单位差异与使用场景。 6. 辨析：掌握波动大小判定规律：极差/方差越大，数据离散程度越高、稳定性越差；反之数据更集中稳定。 7. 关联：结合四分位数、箱线图综合分析数据分布，对比极差、方差两种离散程度分析方法的优缺点。 8. 应用：能结合生活实例，借助箱线图、方差对多组数据稳定性做对比、简单决策。 预习必备 知识梳理 1.四分位数基础概念 2.箱线图 3.四分位数与箱线图优缺点 4.数据的离散程度 5.极差.方差与标准差对比 6.数据的变化规律 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求四分位数 2.画箱线图 3.求方差 4.由方差求未知数据的值 5.由方差判断稳定性 6.运用方差做决策 7.求极差 8.由极差求未知数据 9.求标准差 10.求离差平方和 11.离差平方和的应用 强化题型 解答题5题 知识点 01 四分位数基础概念 1. 核心定义 排序后数据三等分，三个分界值Q1（下四分位数）、Q2（中位数）、Q3（上四分位数）统称四分位数。 分位数 别称 数据占比含义 Q1 下四分位数、25% 分位数 25% 的数据小于Q1，75% 大于Q1 Q2 中位数、50% 分位数 前后各 50% 数据，集中中心 Q3 上四分位数、75% 分位数 75% 的数据小于Q3，25% 大于Q3 2. 四分位数标准求解步骤 （1）原始数据从小到大排序（必做，不排序全错） （2）求Q2（中位数），分割上下两组数据 n奇数：上下半组不含中位数 n偶数：前为下半组，后为上半组 （3）下半组中位数 =Q1；上半组中位数 =Q3 知识点02箱线图 1.箱线图五数概括 绘制箱线图只需要 5 个关键数值，缺一不可： 最小值Min、Q1、Q2、Q3、最大值Max 2.箱线图画图规范步骤 步骤 操作要求 步骤 1 绘制水平数轴，刻度覆盖全部五数 步骤 2 在数轴标出Q1、Q3，画长方形箱体 步骤 3 箱体内部过Q2画竖实线（中位线） 步骤 4 左须：Q1向左连线至最小值 Min 步骤 5 右须：Q3向右连线至最大值 Max 3.箱线图读图信息对照表 图像特征 数据分布结论 箱体宽 中间 50% 数据波动大、分散 箱体窄 中间 50% 数据集中、波动小 Q2居中 数据整体对称分布 Q2靠近Q1 右侧大数更分散，右偏 Q2靠近Q3 左侧小数更分散，左偏 左须更长 偏小数据离散程度大 右须更长 偏大数据离散程度大 知识点 03 四分位数 & 箱线图优缺点 优点 缺点 1. 规避极端值影响；2. 直观划分 25%/50%/75% 分段；3. 同一数轴可多组数据对比；4. 快速判断数据偏态 1. 看不到单个原始数据；2. 无法计算总和、平均数；3. 仅分段分界，无精准波动数值 知识点04: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）标准差 1.定义方差的算术平方根 2.公式s= 3.优势：单位和原始数据一致，生活应用题描述波动更直观 知识点 05 极差、方差、标准差全方位对比表 统计量 计算难度 是否受极端值影响 参与数据数量 适用场景 极差 最简单 严重影响 仅最大、最小 2 个 粗略快速判断数据跨度 方差 繁琐 轻微影响 全部数据 精准比较多组数据稳定性 标准差 中等（方差开根号） 轻微影响 全部数据 实际应用题（单位统一） 知识点06:数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 知识点07：高频易错点汇总 知识模块 典型错误 正确做法（一句话记牢） 四分位数计算 1.不排序直接找Q1、Q3 2. 奇数个数分组带上中位数Q2 先排序；奇数数据上下两组剔除中位数 四分位距 错算成Q3-Q2或Q2-Q1 四分位距固定：IQR=Q3-Q1 箱线图绘制 1. 箱体端点标最大 / 最小值2. 漏画箱内中位线、两端线段 箱体左右是Q1、Q3，中间画竖线，左右连最值 箱线图读图 箱体宽窄代表平均数大小 箱体宽度代表中间 50% 数据波动大小 极差 最小值减最大值，出现负数 极差 = 最大值−最小值，结果必为正数 方差公式 1. 差值忘记平方 2.平方和除以(n-1) 3.分不清方差、标准差 先求均值，差再平方，总和除以数据总数n；方差开根号是标准差 数据平移缩放 数据加常数，误以为方差改变 加减任意数，方差、标准差不变；只有乘倍数才变 稳定性比较 只用极差判断数据稳定程度 精准对比稳定性必须用方差 / 标准差 完整数据分析 只写集中趋势，不提离散程度 描述一组数据：集中趋势 + 离散程度两者都要写 题型1.求四分位数 【典例】样本数据，，，，，，的是__________． 【跟踪专练1】为全面落实新时代中小学科学教育工作要求，激发青少年科学探究热情，提升实验操作与创新思维能力，近日，某县举行了青少年科学实验能力大赛．某学校的7名同学在本次大赛中的成绩分别为（单位：分）95，88，94，95，96，92，95．则这组数据的第三四分位数、众数分别为（     ） A．95，95 B．92，95 C．94，95 D．95，92 【跟踪专练2】下图是某班名学生身高的数据箱线统计图，该班名学生身高的上四分位是________． 【跟踪专练3】科技创新是提高社会生产力和综合国力的战略支撑．根据创新评价体系，获得A，B两个团队12种同类科技产品的创新贡献率（单位：），并将这些数据整理后绘制成箱线图，如图所示．以下关于两个团队创新水平的评价错误的是（     ） A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的箱线图 A．团队A的科技产品创新贡献率的中位数明显高于团队B B．团队A的科技产品创新贡献率的最大值明显高于团队B C．团队B的科技产品创新贡献率的波动大于团队A D．团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数 题型2.画箱线图 【典例】一组数据的箱线图如图，这组数据的上四分位数是________． 【跟踪专练1】学校为了解八年级学生的体能状况，对该年级1班和2班的学生进行了跳绳测试．如图是老师绘制的两个班级成绩的箱线图．下列说法正确的是（     ） A．1班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在2班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．2班跳绳次数整体比1班好 【跟踪专练2】如图是小江同学不同科目六次检测成绩的箱线图，则他成绩最稳定的学科是________． 【跟踪专练3】已知1班和2班人数相等，统计一次“古诗词大赛”中两班同学积分，绘制箱线图如图所示，左侧箱线图代表班，右侧箱线图代表班．下列说法一定正确的是（     ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班有同学的成绩超过120分 C．2班成绩的下四分位数是80分 D．1班的平均分高于2班的平均分 题型3.求方差 【典例】一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 【跟踪专练1】一组数据：，，，…，，在这一组数据的方差计算式中，2025表示该组数据的________． 【跟踪专练2】一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数后平均数不变，则_________；这组新的数据的方差为_________． 【跟踪专练3】已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 题型4.由方差求未知数据的值 【典例】一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 【跟踪专练1】若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【跟踪专练2】若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为_____． 【跟踪专练3】一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 题型5.由方差判断稳定性 【典例】甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示，则甲、乙两人中成绩相对不稳定的是_________．（填“甲”或“乙”） 【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁四名跳远运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：米）和方差（单位：米2）如图所示，根据图中信息，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练2】巨野县是中国工笔牡丹画之乡，甲、乙两位画师统计了连续天的牡丹画成交数量，两人日均成交数量相同．甲画师天成交数量：，乙画师成交数量的方差为，则天成交情况更稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 【跟踪专练3】甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试，每人投篮10组，每组投篮10次．这两名运动员每组投篮命中次数的数据如图所示．有下列结论： ①甲的前5个数据的离散程度比后5个数据的离散程度小； ②乙的前5个数据的离散程度比后5个数据的离散程度大； ③甲的10个数据的离散程度比乙的10个数据的离散程度大． 其中所有正确结论的序号是（     ） A．① B．② C．①③ D．②③ 题型6.运用方差做决策 【典例】要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，你认为派_________（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 【跟踪专练1】香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．甲、乙、丙、丁四个果篮中香水梨的平均质量与方差如表所示，若要挑选一个单果质量大且大小均匀的果篮，则应选__________． 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 1.1 1.1 1.2 1.2 【跟踪专练2】某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们亩产量的平均数分别是千克，千克，方差分别是，．则关于这两种小麦推广种植的合理决策是（    ） A．乙的平均亩产量较高，应推广乙 B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广 C．甲、乙的平均亩产量相差不多，但甲的亩产量比较稳定，应推广甲 D．乙的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广乙 【跟踪专练3】一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 题型7.求极差 【典例】一个容量为80的样本的最大值是123，最小值是40，取组距为10，则可以分成（     ）． A．7组 B．8组 C．9组 D．10组 【跟踪专练1】甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是__________仪仗队．（填“甲”或“乙”） 【跟踪专练2】某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（    ） 身高 人数 A．个， B．， C．， D．个， 题型8.由极差求未知数据 【典例】中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考试数学成绩的（    ） A．平均数和中位数 B．方差或极差 C．众数或中位数 D．平均数或众数 【跟踪专练1】甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 【跟踪专练2】下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 题型9.求标准差 【典例】已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 【跟踪专练1】某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（   ） A． B．2 C． D．6 【跟踪专练2】若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【跟踪专练3】父亲节来临之际，某学校举办“浓情六月，感恩父亲”主题活动，全校抽取30位同学准备为父亲制作感恩贺卡，参与同学的年龄分布如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 频数 4 9 12 5 若从参与的同学中，剔除1名年龄最小（12岁）和1名年龄最大（15岁）的同学，得到一组新年龄数据．对比剔除前后的数据，下列统计量不会发生改变的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 题型10.求离差平方和 【典例】计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 【跟踪专练1】某校运动队有5名同学准备参加跳高比赛，为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将5名同学按他们跳高成绩的高低分为2组，分组计算离差平方和（如下表），你认为比较合理的分组是（     ） 组序 第1组 第2组 组内离差平方和 1 1.58 1.63，1.65，1.75，1.78 0.016275 2 1.58，1.63 1.65，1.75，1.78 0.010517 3 1.58，1.63，1.65 1.75，1.78 0.00305 4 1.58，1.63，1.65，1.75 1.78 0.015275 A．组序为1的分组 B．组序为2的分组 C．组序为3的分组 D．组序为4的分组 【跟踪专练2】5月的某一天，四个城市的最高气温按从低到高的顺序排列为：长春、哈尔滨、北京、西安，在将城市分为两组时，计算出了如下三种分组的组内离差平方和如下表所示，则按照最高气温分组时，组内离差平方和最小的分法为_________________________（填城市具体分组）． 分组 组内离差平方和 第一组：长春；第二组：哈尔滨、北京、西安 158 第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安 第一组：长春、哈尔滨、北京；第二组：西安 122 【跟踪专练3】下表是6名学生的身高数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 身高/ 150 155 160 165 170 175 将这些身高按从低到高排列后分成两组，共有种不同的分组，按第3个间隔分组时的组内离差平方和为，则与的值分别为（     ） A．5，50 B．6，50 C．5，100 D．6，100 题型11.离差平方和的应用 【典例】在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【跟踪专练1】某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度，将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 6.67 3 第一组3人，第二组2人 14.67 4 第一组4人，第二组1人 22.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组．已知一组不全相等的数据共5个数，对这组数据进行分组，设两组的离差平方和分别为和，且满足，请你写出一组符合题意的数据____________． 【跟踪专练3】某校数学兴趣小组招募新成员，五位同学参加了笔试，笔试成绩分别为6，6，3，5，12．将5个笔试成绩按从小到大顺序排列后，相邻两个成绩之间自然形成4个间隔，利用信息技术工具，分别计算组内离差平方和，如下表所示．现要求将这5位同学分为两组，且每组至少2人，已知组内离差平方和越小，分组越合理．下列选项中分组更合理的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 30.75 30.75 第2个间隔 2 24 26 第3个间隔 4.67 18 22.67 第4个间隔 6 0 6 A．和 B．和 C．和 D．和 解答题 1．某社区随机调查了12户家庭月消费支出，数据如下表所示： 月消费支出/元 3000 4000 5000 6000 8000 10000 户数 1 2 2 4 2 1 (1)该社区调查的12户家庭月消费支出的众数为_________； (2)请计算该社区调查的12户家庭月消费支出的四分位数； (3)请画出箱线图． 2．下面是八（1）班某小组10名同学“一分钟跳绳”的成绩（单位：分） 8，9，6，10，7，8，10，5，9，8． (1)求出这组数据的方差； (2)若将成绩分为两组（包含临界值）：低分组（5分-8分）和高分组（9分-10分），计算上述分组情况下的组内离差平方和． 3．如图是今年我市一周（5月11日至5月17日）中每天最高、最低气温的折线统计图（温度为整数）． (1)5月13日当天的气温的极差是 ，一周内最高气温的极差是 ； (2)每日平均气温近似按“（最高气温+最低气温）”计算，气象学规定：连续5日平均气温，即可判定入夏，请判断泰兴5月11日至5月15日是否达到入夏标准，并说明理由． 4．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：92，96，70，88，60，70，100，83，92，99； 乙：92，93，70，88，81，73，96，80，92，95 (1)小明利用平均数、方差进行分析： ①通过计算平均数：分，________分； ②方差：，，可以看出________（填“甲”或“乙”）组的测试更稳定； (2)小涛利用四分位数、箱线图进行分析： 最小值 最大值 甲 60 90 100 乙 70 80 93 96 ①求________；________；________； ②根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两组的成绩的看法． 5．5个城市冬季平均气温如下表： 城市 郑州 成都 南昌 广西 广州 平均气温 2 4 8 10 12 按气温由低到高的顺序，将它们分成两组共有4种方案，如下表： 方案 第一组 第二组 组内离差平方和 方案① {2} {4，8，10，12} 35 方案② {2，4} {8，10，12} ？ 方案③ {2，4，8} {10，12} 20.67 方案④ {2，4，8，10} {12} 40 (1)请计算出方案②的组内离差平方和． (2)为使得组内差异最小，应该选择方案____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $