专题10观察抽象与运动想象暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版七年级数学上册（解析版）

专题10观察抽象与运动想象暑假预习讲义 1.识记：识别生活中的立体、平面图形，区分点、线、面三种基本几何元素。 2.感知：理解点动成线、线动成面、面动成体的运动规律，建立图形动态认知。 3.抽象：能从实物中剥离无关细节，抽象出对应的几何图形，完成实物到图形的转化。 4.观察：多角度观察几何体，准确描述几何体的构成、表面形状与组成要素。 5.想象：根据平面图形想象旋转、平移后的立体图形；由几何体逆向拆分平面组成图形。 6.辨析：分清平移、旋转两种图形运动形式，说出两类运动带来的图形变化特点。 7.建模：借助动手画图、实物操作辅助空间想象，初步建立简单空间几何观念。 8.素养：养成细致观察、大胆想象的习惯，为后续三视图、展开图学习铺垫基础 预习必备 知识梳理 1.几何图形的定义与分类 2.常见立体图形细分 3.点.线.面.体的关系 4.立体图形的平面展开图 5.图形的三种基本运动 6.平面图形旋转成立体图形 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.常见几何体 2.组合几何体的构成 3.立体图形的分类 4.几何体中的点.棱.面 5.截一个几何体 6.点.线.面.体四者之间的关系 7.平面图形旋转后形成立体图形 8.用七巧板拼图形 9.平面图形形状的识别 清华题型 解答题5题 知识点 01几何图形的定义与分类 1.几何图形抽象原理 从生活实物中，舍去颜色、材质、重量、硬度等无关属性，只保留物体的形状、大小、位置，抽象得到的图形，叫做几何图形。 2.几何图形两大类别 类别 课本定义 核心特征 常见图形举例 立体图形 图形各部分不全部在同一个平面内，占据三维空间 有空间厚度，存在顶点、棱、曲面 正方体、长方体、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球 平面图形 图形所有部分都在同一个二维平面内，无空间厚度 仅由点、线构成，无立体体积 点、直线、射线、线段、三角形、长方形、正方形、圆、多边形 关键区分：立体图形包含平面图形，立体图形的每一个表面都是平面图形。 知识点 02 常见立体图形细分 （1）柱体 ① 棱柱：底面为多边形，侧面是长方形，上下底面完全相同且平行；长方体、正方体都属于四棱柱； ② 圆柱：上下底面是大小相等的圆形，侧面是光滑曲面，无棱、无顶点。 （2）锥体 ① 棱锥：底面是多边形，侧面全部是三角形，所有侧面交于同一个顶点； ② 圆锥：底面是圆形，侧面为曲面，只有 1 个顶点、1 个底面。 （3）球体 完全由单一曲面围成，无平面、无棱、无顶点，任意截面都是圆形。 知识点 03 点、线、面、体的关系（本节核心） 1.组成层级：体由面围成，面与面相交形成线，线与线相交形成点； 面分为两类：平面、曲面； 线分为两类：直线、曲线。 2.运动转化规律（课本原话） ① 点动成线：点持续运动，轨迹形成线；例：笔尖在纸上滑动画出线条； ② 线动成面：线平移、旋转会形成平面或曲面；例：直尺平移形成长方形； ③ 面动成体：平面绕轴旋转形成立体图形；例：长方形绕一边旋转得到圆柱。 知识点 04 立体图形的平面展开图 1.定义：将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，叫做立体图形的展开图。 2.重点：正方体展开图 正方体一共有 11 种合规平面展开图， 分为 4 类：一四一型、一三二型、三三型、二二二型； 禁止图形：含有 “田字格、凹字形” 的图形不能折成正方体； 对面规律：同行隔一个是对面，异行隔一列是对面。 3.其他基础立体展开图 圆柱展开：2 个相同圆形 + 1 个长方形； 圆锥展开：1 个圆形 + 1 个扇形； 长方体展开：6 个长方形（特殊情况含正方形）。 知识点 05 图形的三种基本运动 （1）平移 定义：图形沿着固定直线方向平行移动一段距离。 性质：图形平移后，形状、大小、自身方向完全不变，仅改变图形所在位置。 （2）旋转 定义：图形绕一个定点（旋转中心）或固定直线（旋转轴）转动一定角度。 性质：图形旋转后，形状、大小不变，图形摆放方向发生改变。 （3）翻折（轴对称） 定义：沿一条直线对折，直线两侧图形能够完全重合。 性质：翻折前后图形全等，对应点连线垂直于折痕直线。 知识点 06 平面图形旋转成立体图形（高频考点表格） 平面图形 旋转轴 旋转后得到的立体图形 长方形 / 矩形 长方形的一条边 圆柱 直角三角形 直角三角形的一条直角边 圆锥 半圆 半圆的直径 球体 直角梯形 垂直于底边的腰 圆台 补充：直角三角形绕斜边旋转，会得到两个底面重合的圆锥组合体。 知识点07：高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 混淆平面图形与立体图形，误将圆、三角形判定为立体图形 平面图形只有二维，无空间体积；立体图形占据三维空间，有厚度 分不清点、线、面、体的运动转化关系 牢记规律：点动成线，线动成面，面动成体，结合实物举例理解 认为带有 “田字格、凹字形” 的图形可以折成正方体 正方体仅 11 种标准展开图，田字、凹字结构无法折叠成正方体 直角三角形绕斜边旋转，误认为得到圆锥 直角三角形绕直角边旋转得圆锥，绕斜边旋转得到双圆锥组合几何体 误以为平移会改变图形自身摆放方向 平移仅改变图形位置，形状、大小、方向全部不变 绘制三视图时，漏画遮挡棱、长宽尺寸对应错位 严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，看不见的棱统一画虚线 圆柱、圆锥展开图记忆混淆 圆柱展开含两个圆形底面，圆锥仅 1 个圆形底面 + 扇形侧面 描述立体图形分类时，混淆棱柱与圆柱、棱锥与圆锥 棱柱、棱锥由平面围成；圆柱、圆锥含曲面，二者区分 题型1.常见几何体 【典例】如图所示，图形的名称是________． 【答案】五棱柱 【分析】本题主要考查立体图形的名称，关键是要牢记五棱柱的形状．根据五棱柱的形状即可得出答案． 【详解】解：∵该立体图形上面和底面都是五边形，且有五条棱， ∴它的名称是五棱柱， 故答案为：五棱柱． 【跟踪专练1】下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】A 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． 【跟踪专练2】如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有______（填写序号即可） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合长方体、正方体、圆柱体、三棱锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】①当正方体盒子水平放置时，水在盒子里可以形成长方体； ②因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体； ③正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体； ④将正方体盒子倾斜放置，让水刚好充满三棱锥的空间部分，可以形成三棱锥； ⑤把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状． 综上所述：可能是盒子里的水形成的几何体的有①长方体，④三棱锥，⑤三棱柱； 故答案为：①④⑤． 【跟踪专练3】马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为． 故选：C． 题型2.组合几何体的构成 【典例】组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【答案】D 【分析】此题考查从实物中抽象出立体图形，要求学生掌握常见的圆柱、圆锥、球这些立体图形的特征． 图中的几何体上面是圆柱，下面是圆锥，由此可得解． 【详解】解：如图所示的陀螺是由圆柱和圆锥组成的． 故选D． 【跟踪专练1】如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 【跟踪专练2】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 【答案】36 【分析】本题考查了组合几何体的构成，培养并发展自身的空间想象能力是解题的关键． 通过观察可知，该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，分别算出这种正方体的个数，再将其相加，即可得出答案． 【详解】解：该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，其中： 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， （个）， 该大正方体中包含个正方体， 故答案为：36． 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 题型3.立体图形的分类 【典例】下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是柱体，不符合题意； B、是锥体，不符合题意； C、是球体，符合题意； D、是锥体，不符合题意． 【跟踪专练1】将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 【跟踪专练2】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 【跟踪专练3】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 题型4.几何体中的点.棱.面 【典例】一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【答案】 【分析】根据直棱柱的棱数与侧棱数的关系，确定该直棱柱的侧棱数量，再由所有侧棱长的和计算每条侧棱的长度． 【详解】解：根据n棱柱的棱数性质，可得n棱柱共有条棱， 该直棱柱共有条棱， ， 解得，即该直棱柱为六棱柱，共有条侧棱， 所有侧棱长的和是厘米， 每条侧棱长为（厘米）． 【跟踪专练1】如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【详解】解：由图可得，两个立体图形的棱数分别是12和6， ∴两个立体图形的棱数之差为． 【跟踪专练2】下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了柱体和锥体的认识，根据柱体和锥体的定义，逐一判断各说法的正确性 【详解】解：①柱体的两个底面平行且全等，因此一样大，正确； ②圆柱和圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以是任意多边形，不一定是四边形，错误； ④长方体是棱柱的一种，属于柱体，正确； ⑤棱柱的侧面在直棱柱中是长方形，但斜棱柱中为平行四边形，因此不一定总是长方形，错误； 综上，正确说法有①②④，共3个． 故答案为：3． 【跟踪专练3】如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 题型5.截一个几何体 【典例】用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 【答案】正方体（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体的知识，需结合常见几何体的结构特征，分析可截出三角形截面的几何体． 【详解】解：当用平面经过正方体的三个相邻面时，所得的截面为三角形，除此之外，圆锥、三棱柱等几何体也能被平面截得三角形截面， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 【跟踪专练1】科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用平面截取圆柱体，不同截取方式得到不同截面，求解即可； 【详解】解：当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，圆柱直径与高相等时可得正方形截面， 故A是可能的； 平行于圆柱底面截取，可得到圆形截面，故B是可能的； 当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，直径与高不相等时可得长方形截面，故C是可能的，无论怎么用平面截取圆柱，都不可能得到三角形截面，因此截面不可能是三角形； 【跟踪专练2】用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 【跟踪专练3】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 题型6.点.线.面.体四者之间的关系 【典例】流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面之间的关系，将流星视为一个点，其运动轨迹形成一条线，根据点、线、面、体的关系，点移动生成线，因此用“点动成线”解释． 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． 【跟踪专练1】如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面． 【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释． 故选：B． 【跟踪专练2】《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义． 根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面． 【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面． “枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线； “棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面． 故答案为：点动成线；线动成面． 【跟踪专练3】学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是________． 【答案】 【分析】本题主要考查学生通过观察、分析识别图形的的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定、、、各代表什么图形． 根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，图中第一个图形和第二个图形都有圆，即表示圆，那么表示正方形，表示三角形，由图中第三个图形可知表示线段． 【详解】解：由题图中第一个图形和第二个图形都有圆知是圆，所以是正方形，是三角形，由题图中第三个图形可知是线段，所以组合图形中表示&的是， 故答案为：． 题型7.平面图形旋转后形成立体图形 【典例】可以由某个平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体是_____．（写一个名称即可） 【答案】圆柱（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，熟练掌握平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必有曲面是解题关键． 根据平面图形旋转的特点即可解答． 【详解】解：长方形绕其一条边旋转一周可得圆柱． 故答案为：圆柱（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过直角顶点B作于点D，根据直角三角形绕直角边所在的直线旋转得到圆锥即可判断． 【详解】解：过直角顶点B作于点D，如图， 则绕直线旋转一周后得到两个圆锥，且这两个圆锥共底面， 故得到选项D的几何体． 【跟踪专练2】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算． 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 题型8.用七巧板拼图形 【典例】七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 【跟踪专练1】七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】7 【分析】此题考查了求阴影面积，首先求出正方形的面积，然后依次求出的面积，的面积，平行四边形的面积，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为 ∴的面积为， ∴的面积为，平行四边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：7． 【跟踪专练2】七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 【跟踪专练3】下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶A中图形个数不对，有8个图形，故不是由原图这副七巧板拼成的； B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； C中的图形和原图一样，故是由原图这副七巧板拼成的； D中小等腰直角三角形的斜边应该与平行四边形的长边叠合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 题型9.平面图形形状的识别 【典例】如图，构成该图案的几何图形有______．（任写三个） 【答案】三角形、正方形、长方形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平面图形的识别，解题关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形定义，即可找出正确答案． 【详解】解：组成这个标志的几何图形有圆、三角形、正方形、长方形、梯形． 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 【跟踪专练1】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是认识平面图形，解题关键是掌握长方形的特征以及周长、面积的定义． 根据面积、周长的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，图甲的面积与图乙的面积和是长方形的面积，但图甲、图乙的面积不一定相等，图甲、图乙的周长都等于长方形的长、宽与曲线对角线的和，即它们的周长相等． 故选：． 【跟踪专练2】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 【跟踪专练3】下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形和平行四边形面积的计算方法，如图所示，设平行四边形的底和高分别为a和h，又因A、B都是中点，则，又在中，，边上的高为，所以，再据阴影部分的面积据此即可求解. 【详解】解：如图， 设平行四边形的底和高分别为a和h， 所以，平行四边形的面积为， 又因A、B都是中点，则， 又在中，，边上的高为， 所以， 阴影部分的面积为： ， ； 所以，阴影部分的面积是平行四边形面积的， 故选：C. 解答题 1．请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答． 【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征， ∴左1的图的物体类似于圆柱； 观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分， ∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱， ∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成； 观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征， ∴右1的图类似于圆锥； 2．探究不同情境，回答下面的问题： (1)如图1，如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (2)如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (3)如图2将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体， ①小正方体的边长为 ； ②求各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据正方体表面积的计算公式即可解答； （2）根据正方体表面积的计算公式即可解答； （3）①根据正方体的特征，即可解答； ②根据正方体表面积的计算公式即可解答. 【详解】（1）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （2）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （3）解：①将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体，则小正方体的边长为； ②原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：. 3．如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的拆分的应用； 根据沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿面切割后的，即可求解． 【详解】解：如图1，沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的， 如图2，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿平面切割后的， ∴含有顶点的那一块占正方体体积的， 答：含有顶点的那一块占正方体体积的． 4．下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成． 设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为， ， ， ． 答：得到的立体图形的体积为． 5．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 【答案】见解析 【分析】此题考查七巧板拼图，正方形的性质，矩形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键． 【详解】解：如图，拼成一个长方形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10观察抽象与运动想象暑假预习讲义 1.识记：识别生活中的立体、平面图形，区分点、线、面三种基本几何元素。 2.感知：理解点动成线、线动成面、面动成体的运动规律，建立图形动态认知。 3.抽象：能从实物中剥离无关细节，抽象出对应的几何图形，完成实物到图形的转化。 4.观察：多角度观察几何体，准确描述几何体的构成、表面形状与组成要素。 5.想象：根据平面图形想象旋转、平移后的立体图形；由几何体逆向拆分平面组成图形。 6.辨析：分清平移、旋转两种图形运动形式，说出两类运动带来的图形变化特点。 7.建模：借助动手画图、实物操作辅助空间想象，初步建立简单空间几何观念。 8.素养：养成细致观察、大胆想象的习惯，为后续三视图、展开图学习铺垫基础 预习必备 知识梳理 1.几何图形的定义与分类 2.常见立体图形细分 3.点.线.面.体的关系 4.立体图形的平面展开图 5.图形的三种基本运动 6.平面图形旋转成立体图形 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.常见几何体 2.组合几何体的构成 3.立体图形的分类 4.几何体中的点.棱.面 5.截一个几何体 6.点.线.面.体四者之间的关系 7.平面图形旋转后形成立体图形 8.用七巧板拼图形 9.平面图形形状的识别 清华题型 解答题5题 知识点 01几何图形的定义与分类 1.几何图形抽象原理 从生活实物中，舍去颜色、材质、重量、硬度等无关属性，只保留物体的形状、大小、位置，抽象得到的图形，叫做几何图形。 2.几何图形两大类别 类别 课本定义 核心特征 常见图形举例 立体图形 图形各部分不全部在同一个平面内，占据三维空间 有空间厚度，存在顶点、棱、曲面 正方体、长方体、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球 平面图形 图形所有部分都在同一个二维平面内，无空间厚度 仅由点、线构成，无立体体积 点、直线、射线、线段、三角形、长方形、正方形、圆、多边形 关键区分：立体图形包含平面图形，立体图形的每一个表面都是平面图形。 知识点 02 常见立体图形细分 （1）柱体 ① 棱柱：底面为多边形，侧面是长方形，上下底面完全相同且平行；长方体、正方体都属于四棱柱； ② 圆柱：上下底面是大小相等的圆形，侧面是光滑曲面，无棱、无顶点。 （2）锥体 ① 棱锥：底面是多边形，侧面全部是三角形，所有侧面交于同一个顶点； ② 圆锥：底面是圆形，侧面为曲面，只有 1 个顶点、1 个底面。 （3）球体 完全由单一曲面围成，无平面、无棱、无顶点，任意截面都是圆形。 知识点 03 点、线、面、体的关系（本节核心） 1.组成层级：体由面围成，面与面相交形成线，线与线相交形成点； 面分为两类：平面、曲面； 线分为两类：直线、曲线。 2.运动转化规律（课本原话） ① 点动成线：点持续运动，轨迹形成线；例：笔尖在纸上滑动画出线条； ② 线动成面：线平移、旋转会形成平面或曲面；例：直尺平移形成长方形； ③ 面动成体：平面绕轴旋转形成立体图形；例：长方形绕一边旋转得到圆柱。 知识点 04 立体图形的平面展开图 1.定义：将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，叫做立体图形的展开图。 2.重点：正方体展开图 正方体一共有 11 种合规平面展开图， 分为 4 类：一四一型、一三二型、三三型、二二二型； 禁止图形：含有 “田字格、凹字形” 的图形不能折成正方体； 对面规律：同行隔一个是对面，异行隔一列是对面。 3.其他基础立体展开图 圆柱展开：2 个相同圆形 + 1 个长方形； 圆锥展开：1 个圆形 + 1 个扇形； 长方体展开：6 个长方形（特殊情况含正方形）。 知识点 05 图形的三种基本运动 （1）平移 定义：图形沿着固定直线方向平行移动一段距离。 性质：图形平移后，形状、大小、自身方向完全不变，仅改变图形所在位置。 （2）旋转 定义：图形绕一个定点（旋转中心）或固定直线（旋转轴）转动一定角度。 性质：图形旋转后，形状、大小不变，图形摆放方向发生改变。 （3）翻折（轴对称） 定义：沿一条直线对折，直线两侧图形能够完全重合。 性质：翻折前后图形全等，对应点连线垂直于折痕直线。 知识点 06 平面图形旋转成立体图形（高频考点表格） 平面图形 旋转轴 旋转后得到的立体图形 长方形 / 矩形 长方形的一条边 圆柱 直角三角形 直角三角形的一条直角边 圆锥 半圆 半圆的直径 球体 直角梯形 垂直于底边的腰 圆台 补充：直角三角形绕斜边旋转，会得到两个底面重合的圆锥组合体。 知识点07：高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 混淆平面图形与立体图形，误将圆、三角形判定为立体图形 平面图形只有二维，无空间体积；立体图形占据三维空间，有厚度 分不清点、线、面、体的运动转化关系 牢记规律：点动成线，线动成面，面动成体，结合实物举例理解 认为带有 “田字格、凹字形” 的图形可以折成正方体 正方体仅 11 种标准展开图，田字、凹字结构无法折叠成正方体 直角三角形绕斜边旋转，误认为得到圆锥 直角三角形绕直角边旋转得圆锥，绕斜边旋转得到双圆锥组合几何体 误以为平移会改变图形自身摆放方向 平移仅改变图形位置，形状、大小、方向全部不变 绘制三视图时，漏画遮挡棱、长宽尺寸对应错位 严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，看不见的棱统一画虚线 圆柱、圆锥展开图记忆混淆 圆柱展开含两个圆形底面，圆锥仅 1 个圆形底面 + 扇形侧面 描述立体图形分类时，混淆棱柱与圆柱、棱锥与圆锥 棱柱、棱锥由平面围成；圆柱、圆锥含曲面，二者区分 题型1.常见几何体 【典例】如图所示，图形的名称是________． 【跟踪专练1】下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【跟踪专练2】如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有______（填写序号即可） 【跟踪专练3】马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 题型2.组合几何体的构成 【典例】组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【跟踪专练1】如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    【跟踪专练2】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 题型3.立体图形的分类 【典例】下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【跟踪专练2】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 题型4.几何体中的点.棱.面 【典例】一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【跟踪专练1】如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【跟踪专练2】下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 【跟踪专练3】如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 题型5.截一个几何体 【典例】用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 【跟踪专练1】科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【跟踪专练3】如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A．B． C． D． 题型6.点.线.面.体四者之间的关系 【典例】流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【跟踪专练1】如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【跟踪专练2】《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【跟踪专练3】学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是________． 题型7.平面图形旋转后形成立体图形 【典例】可以由某个平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体是_____．（写一个名称即可） 【跟踪专练1】如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【跟踪专练3】将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 题型8.用七巧板拼图形 【典例】七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【跟踪专练1】七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【跟踪专练2】七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【跟踪专练3】下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 题型9.平面图形形状的识别 【典例】如图，构成该图案的几何图形有______．（任写三个） 【跟踪专练1】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【跟踪专练2】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【跟踪专练3】下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 解答题 1．请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 2．探究不同情境，回答下面的问题： (1)如图1，如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (2)如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (3)如图2将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体， ①小正方体的边长为 ； ②求各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比． 3．如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ 4．下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 5．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $