精品解析：浙江杭州市钱塘区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班八位同学参加数学文化节的“趣味闯关”活动，获得的积分分别为84，86，86，90，86，88，88，89，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 87，86 B. 87，88 C. 88，86 D. 88，88 5. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，若，要判定四边形是平行四边形，则添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校进行“班班有歌声”合唱比赛，某班在演唱水准、舞台表现、作品处理三个方面得分分别为92分、90分、95分．若评委按照演唱水准占，舞台表现占，作品处理占计算加权平均数来作为最终成绩，则该班的最终成绩为（ ） A. 90分 B. 92分 C. 95分 D. 97分 8. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（ ） A. a，b，c全为偶数 B. a，b，c至多有一个奇数 C. a，b，c全为奇数 D. a，b，c至多有两个奇数 9. 将三个相同的正六边形按照如图方式进行摆放，连结其中三个顶点得到，若正六边形的周长记为，面积记为，的周长记为，面积记为．当正六边形边长变化时，甲认为是一个定值，乙认为是一个定值，则下列判断正确的是（ ）． A. 甲乙都正确 B. 甲乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 10. 如图，在中，将分别沿着翻折，点B，C恰好重合于点G，且点A，G，E在同一直线上．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 甲、乙两名射箭运动员进行赛前测试，中靶环数的平均成绩相同．若环2，环2，则发挥更稳定的运动员是_____ （填“甲”或“乙”）． 12. 的值为___________． 13. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 14. 如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 15. 北宋黄伯思的“燕几图”是世界上最早的一套组合桌形式，全套“燕几”包含长桌、中桌和小桌三种类型（每类桌子形状都相同），桌面可以排列组合，按需设席．如图是“燕几图”中名为“扬旗”的桌面组合方式（包含两张中桌和三张小桌）．若每张桌面的宽都为a尺，则的长为_____ 尺（用含a的代数式表示）． 16. 如图，在矩形中，对角线与交于点，过点作交于点，的平分线交于点，延长交于点．若矩形的周长为20，则线段的长为_____． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的解． （2）若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 19. 如图是由完全相同的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）作平行四边形和正方形． （2）在网格中，标出格点，使得；标出格点，使得平分． 20. 为评估某校学生体质健康水平，对八年级，两班各抽取人进行跳绳测试（单位：个）．测试成绩的箱线图如图所示．请根据箱线图回答下列问题． （1）求班跳绳成绩箱线图的上四分位数和班跳绳成绩箱线图的最小值． （2）比较两个班成绩的分布情况，从整体水平、离散程度两个方面简要分析哪个班级的成绩分布更均衡、更稳定． 21. 南宋数学家秦九韶提出利用三边计算三角形面积的公式：，其中a，b，c为三角形的三边长，．请利用该公式解决下列问题． （1）若三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积； （2）若，，求该三角形面积S的最大值． 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点，，分别为，，的中点，连接，，，已知四边形为平行四边形． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）连接，若的面积为，请直接写出四边形和四边形的面积． 23. 某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． （2）如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 24. 在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，连接，若，求证：； （3）如图，若是的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形是中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意． 2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，， 即． 故选项中只有2符合． 故选：A． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 【详解】解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 4. 某班八位同学参加数学文化节的“趣味闯关”活动，获得的积分分别为84，86，86，90，86，88，88，89，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 87，86 B. 87，88 C. 88，86 D. 88，88 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据中位数和众数的定义求解，先将数据从小到大排序，再根据数据个数为偶数，计算中间两个数的平均数得到中位数，统计出出现次数最多的数得到众数． 【详解】首先将这组数据从小到大排序，得： ， ∵ 数据总个数为，是偶数，中位数为排序后第个和第个数的平均数， ∴ 中位数为 ， ∵ 在这组数据中出现次数最多，共出现次， ∴ 众数为， 因此这组数据的中位数、众数分别是，． 5. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，若，要判定四边形是平行四边形，则添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件结合条件不能证明四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加条件结合条件不能证明四边形是平行四边形，不符合题意； C、添加条件结合条件不能证明四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加条件结合条件可以通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，符合题意． 6. 设，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 7. 某校进行“班班有歌声”合唱比赛，某班在演唱水准、舞台表现、作品处理三个方面得分分别为92分、90分、95分．若评委按照演唱水准占，舞台表现占，作品处理占计算加权平均数来作为最终成绩，则该班的最终成绩为（ ） A. 90分 B. 92分 C. 95分 D. 97分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的各项得分和对应权重，直接计算加权平均数即可得到最终成绩． 【详解】解：． 8. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（ ） A. a，b，c全为偶数 B. a，b，c至多有一个奇数 C. a，b，c全为奇数 D. a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 9. 将三个相同的正六边形按照如图方式进行摆放，连结其中三个顶点得到，若正六边形的周长记为，面积记为，的周长记为，面积记为．当正六边形边长变化时，甲认为是一个定值，乙认为是一个定值，则下列判断正确的是（ ）． A. 甲乙都正确 B. 甲乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】A 【解析】 【分析】设正六边形边长为，分别表示、、、，观察比值中参数是否消去，判断是否为定值． 【详解】解：作交的延长线于点，连接， 设正六边形边长为， ． 由正六边形每个内角为，每条边长相等， ，， ，， 都是含的直角三角形， ， 同理，， ， ，，为定值． 又，， ，为定值． 故甲乙都正确． 10. 如图，在中，将分别沿着翻折，点B，C恰好重合于点G，且点A，G，E在同一直线上．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先证明点F，G，D在同一直线上，得到是等腰直角三角形，作于点，证明，得到，，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴点F，G，D在同一直线上， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 甲、乙两名射箭运动员进行赛前测试，中靶环数的平均成绩相同．若环2，环2，则发挥更稳定的运动员是_____ （填“甲”或“乙”）． 【答案】 乙 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，已知甲乙平均成绩相同，只需比较方差大小，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，据此即可判断． 【详解】由题意得，甲乙平均成绩相同，且 ，， ∵ ， 即 ， ∴乙的成绩波动更小，发挥更稳定． 12. 的值为___________． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：． 13. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 14. 如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 北宋黄伯思的“燕几图”是世界上最早的一套组合桌形式，全套“燕几”包含长桌、中桌和小桌三种类型（每类桌子形状都相同），桌面可以排列组合，按需设席．如图是“燕几图”中名为“扬旗”的桌面组合方式（包含两张中桌和三张小桌）．若每张桌面的宽都为a尺，则的长为_____ 尺（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理并结合直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，，，，为的中点， ∴， ∴． 16. 如图，在矩形中，对角线与交于点，过点作交于点，的平分线交于点，延长交于点．若矩形的周长为20，则线段的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用矩形性质、角平分线和平行线得，过作于，则为中点，则为等腰直角三角形，结合矩形周长求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，矩形周长， 得到：，． ， ． 设，则． ， 平分， ． ． 过作于，则为中点， 又为中点， 为的中位线， ，， ， 则为等腰直角三角形，． ， ， ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的解． （2）若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【答案】（1）， （2），方程的另一个解为 【解析】 【分析】（1）当时，方程为，运用因式分解法求解即可； （2）把代入方程，求出b的值，再解方程即可解答． 【小问1详解】 解：当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 【小问2详解】 解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 19. 如图是由完全相同的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）作平行四边形和正方形． （2）在网格中，标出格点，使得；标出格点，使得平分． 【答案】（1）解：如图，平行四边形和正方形即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】根据网格特点即可作图； 取格点，连接，交于点，取格点，连接，与网格交于点，连接，交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 20. 为评估某校学生体质健康水平，对八年级，两班各抽取人进行跳绳测试（单位：个）．测试成绩的箱线图如图所示．请根据箱线图回答下列问题． （1）求班跳绳成绩箱线图的上四分位数和班跳绳成绩箱线图的最小值． （2）比较两个班成绩的分布情况，从整体水平、离散程度两个方面简要分析哪个班级的成绩分布更均衡、更稳定． 【答案】（1）；； （2）班的成绩分布更均衡、更稳定． 【解析】 【分析】通过箱线图即可求解； 结合箱线图通过整体水平方面和离散程度方面进行分析即可． 【小问1详解】 解：由箱线图可知，班跳绳成绩箱线图的上四分位数为；班跳绳成绩箱线图的最小值为； 【小问2详解】 解：整体水平方面，班的中位数高于班的中位数，且班的上、下四分位数均高于班， 所以班的整体水平较高； 离散程度方面，∵班的四分位距为，班的四分位距为， ∴班的四分位距小于班， ∵班的极差和四分位距都更小， 所以班的成绩分布更均衡、更稳定． 21. 南宋数学家秦九韶提出利用三边计算三角形面积的公式：，其中a，b，c为三角形的三边长，．请利用该公式解决下列问题． （1）若三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积； （2）若，，求该三角形面积S的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用公式求解即可； （2）求得，代入公式得到，而，根据基本不等式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：已知，，由， 得， ∴， 把，代入公式得， ， ，又， 根据基本不等式， 当且仅当时取等号， ∴， ∴该三角形面积S的最大值为． 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点，，分别为，，的中点，连接，，，已知四边形为平行四边形． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）连接，若的面积为，请直接写出四边形和四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）四边形的面积为，四边形的面积为． 【解析】 【分析】由点，分别为，的中点，则是的中位线，则有，，又四边形为平行四边形，则，，故有，即，然后证明，从而可得四边形为平行四边形； 由四边形为平行四边形，则，，所以，又点为的中点，则，故有，然后通过的面积为，可得，所以四边形的面积为，因为点，分别为，的中点，则，，从而有，从而可求四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 23. 某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． （2）如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】（1），；； （2）解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【解析】 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； 【小问2详解】 略． 24. 在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，连接，若，求证：； （3）如图，若是的中点，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】由四边形是菱形，则，，，所以，通过折叠性质可知，，所以，根据等边对等角得，所以，最后由角度和差即可求解； 由四边形是菱形，则，，所以，由折叠性质可得，，，，证明，所以，可得，则，得，所以，通过平行线的判定方法即可求证； 延长，交于点，证明，所以，，设，，则，，则有，，求得，则． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $