精品解析：浙江舟山市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025学年第二学期八年级期末学科素养评价监测数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 人工智能已经广泛应用于我们日常生活中，豆包、这几个人工智能图标是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕某一个点旋转，旋转之后的图形能够和原来图形重合，这个图形就是中心对称图形；逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：豆包图标，绕中心点旋转后和原图不能重合，不是中心对称图形； 选项B：鲸鱼图标，绕中心点旋转后和原图不能重合，不是中心对称图形； 选项C：图标，绕中心点旋转后和原图不能重合，不是中心对称图形； 选项D：图标，绕图形中心旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形． 2. 二次根式的计算结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由即可得出结果． 【详解】解：． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（ ）的特点． A. 稳定性 B. 不稳定性 C. 对称性 D. 旋转不变性 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有不稳定性的特点． 5. 舟山素有海上花园城市的美誉，城区绿化带景观需园林工人定期修剪养护．如图，园林工人把参差不齐的绿植修剪平整，修剪前后植株高度的平均数与方差均发生改变．下列关于平均数与方差的变化情况描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义进行求解即可． 【详解】解：平均数变化：修剪平整时，会剪掉较高植株高出的部分，整体植株的总高度降低， 因此平均数变小， 方差变化：方差衡量数据的波动（离散程度），修剪后植株高度变得更整齐，高度的波动变小，因此方差变小， 综上，平均数变小，方差变小． 6. 用反证法证明“是无理数”时，应先假设（ ） A. 是无理数 B. 是有理数 C. 是正数 D. 是实数 【答案】B 【解析】 【分析】先假设不是无理数即有理数，解答即可． 本题考查了反证法，熟练掌握方法的基本内涵是解题的关键． 【详解】解：先假设不是无理数即有理数， 故选：B． 7. 科技创新是提高社会生产力和综合国力的战略支撑．根据创新评价体系，获得A，B两个团队12种同类科技产品的创新贡献率（单位：），并将这些数据整理后绘制成箱线图，如图所示．以下关于两个团队创新水平的评价错误的是（ ） A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的箱线图 A. 团队A的科技产品创新贡献率的中位数明显高于团队B B. 团队A的科技产品创新贡献率的最大值明显高于团队B C. 团队B的科技产品创新贡献率的波动大于团队A D. 团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，结合中位数、最大值、最小值、下四分位数即可判断的正确性，根据四分位数间距判断其两个团队科技产品的贡献率的波动大小． 【详解】解：A、A的科技产品创新贡献率的中位数是高于B的科技产品创新贡献率的中位数，正确； B、A的科技产品创新贡献率的最大值高于B的科技产品创新贡献率的最大值，正确； C、A科技产品创新贡献率的四分位数间距为，B科技产品创新贡献率的四分位间距为，，B科技产品更稳定，波动小，错误； D、团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数，正确． 8. 我国南宋时期数学家秦九韶（1202～1261）著有《数书九章》十八卷，是反映我国当时数学成就的代表作．书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”，是我国古代数学的辉煌成就之一．如果将三角形三边分别记为，，，则三角形的面积为，这就是著名的秦九韶公式．若在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将，，代入，得 ， ， ， ， ， ． 9. 正方形的边长为，对角线与交于点，为线段上一点连接并延长交于点，过作交于点．记，，则下列代数式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的性质先证明得到，即可得出，最后利用正方形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴，即， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴的值保持不变． 10. 小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡比得到，从而求出的值． 【详解】解：斜坡坡比为， ， ， ． 12. 请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 13. 数据4，5，5，6的离差平方和是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方的和，即可得到结果． 【详解】解：， 离差平方和为： ． 14. 七巧板是中国传统经典智力拼图玩具，能够拼出千余种造型，原始的七块板拼接在一起是一个正方形，如图1．父亲节这天，小若用七巧板拼出一棵树（如图2），送给像大树一样守护家人的爸爸．现将这个树形图案用矩形边框无缝装裱，已知图1中①正方形的边长为，则矩形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以七巧板中①正方形边长为基础，利用各等腰直角三角形的边长关系，直接推导出矩形的长和宽，再计算周长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，图1中、、、都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 图2中，，， ∴矩形的周长为． 15. 小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和已知条件求出的长，利用已知条件，即可求出，求出的值，再根据，求出和的关系，即可知道的值，从而求出的值． 【详解】解：由题意可得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 16. 已知菱形的边长为，，为菱形对角线，点为延长线上一点，作关于的对称，交射线于点，在点移动过程中的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，作于点，连接，根据菱形的性质得到，，利用直角三角形的性质和勾股定理得到，，根据轴对称的性质得到，，利用直角三角形的性质和勾股定理得到，，由，求出的最小值，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵菱形的边长为， ∴，平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵关于的对称图形是， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ∵， ∴当最小时，取得最小值， 在中，， ∴当最小时，取得最小值， ∵垂线段最短， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先将各项二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式即可算出结果． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法求解方程即可； （2）运用因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 所以或． 【小问2详解】 解：， ， 或， 所以或者． 19. 如图，是平行四边形的一条对角线．延长至点，延长至点，使，连结，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：如下图所示，连结交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ，， 为平行四边形． 【解析】 【分析】连结交于点，根据平行四边形的性质可得：，，根据可证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论成立． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，点， （1）画出绕点顺时针旋转后所得的图形． （2）请直接写出点和的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点、绕点顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）由（1）确定出点和的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，，． 21. 质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下（单位：年）． 甲公司：，，，，，，，，， 乙公司：，，，，，，，，， （1）请你将表格中的其他数据补充完整． 平均数 中位数 众数 甲公司 乙公司 （2）如果你是顾客，你将会选购哪家公司产品？为什么？ 【答案】（1） 平均数 中位数 众数 甲公司 乙公司 （2）甲公司平均数比较大，中位数也比乙公司大，众数也比乙公司大，综合起来产品质量比较好，所以选择甲公司（答案不唯一，理由合理即可）． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出甲、乙两个公司的中位数和众数填入表中即可； （2）根据甲公司的平均数、中位数、众数都比乙公司的大，所以选择甲公司． 【小问1详解】 解：把甲公司的数据按照从小到大的顺序排列，第、个数据是、， 甲公司的中位数是， 甲公司的数据出现次数最多的是，共出现了次， 甲公司的众数是； 把乙公司的数据按照从小到大的顺序排列，第、个数据是、， 乙公司的中位数是， 乙公司数据出现次数最多的是共出现了次， 乙公司的众数是； 【小问2详解】 略 22. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，为了适当增加销售，商店决定从第二周开始降价销售．根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价．设单价降低元销售一周后，商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）根据题意，填写如下表格： 售价（元个） 销售量（个） 第一周 10 200 第二周 第三周 4 （2）如果旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1） 售价 销售量 第一周 第二周 第三周 （2）9元【解析】 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）根据“旅游纪念品共获利1250元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵单价降低1元，可多售出50个， ∴第二周的售价为元，销售量为个， ∵商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出， ∴第三周的售价为4元，销售量为（个）； 【小问2详解】 解：由题意得，， 化简得：， 解得， ∴第二周售价 答：第二周旅游纪念品的销售价格为9元． 23. 综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． （1）【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） （2）【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． （3）【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； （3）证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据且可得，再利用探究的结论即可证明； （3）将与进行比较，再根据和已知结论即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，矩形中，，对角线与交于点，点，分别为，中点，点为的中点，连接，，． （1）如图1，若，求． （2）如图2，记与交点为，设线段， ①先判断的形状，再说明理由． ②记面积为，请直接写出关于的函数表达式． ③若为等腰三角形，求此时的面积． 【答案】（1） （2）①解：是等腰三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵在矩形中，对角线与交于点， ∴； ∵点，分别为，中点， ∴， ∴； ∵点为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②； ③ 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理可得答案； （2）①连接，由矩形的性质可得；可证明，由三线合一定理得到，则可证明，再证明，得到，则是等腰三角形；②以点B为原点，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，根据中点坐标公式表示出点E，点F和点G的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；③求出直线的解析式为；直线的解析式为，则可求出；再分三种情况：、和，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，对角线与交于点， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点，分别为，中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②解：如图所示，以点B为原点，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵对角线与交于点， ∴点O为的中点， ∴，即； ∵点，分别为，中点，点为的中点， ∴，即， ∴，且轴， ∴； ③由（2）②得，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴，此时方程无实数根，不符合题意； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴，此时方程无实数根，不符合题意； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期末学科素养评价监测数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 人工智能已经广泛应用于我们日常生活中，豆包、这几个人工智能图标是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 二次根式的计算结果为（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 4. 如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（ ）的特点． A. 稳定性 B. 不稳定性 C. 对称性 D. 旋转不变性 5. 舟山素有海上花园城市的美誉，城区绿化带景观需园林工人定期修剪养护．如图，园林工人把参差不齐的绿植修剪平整，修剪前后植株高度的平均数与方差均发生改变．下列关于平均数与方差的变化情况描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 6. 用反证法证明“是无理数”时，应先假设（ ） A. 是无理数 B. 是有理数 C. 是正数 D. 是实数 7. 科技创新是提高社会生产力和综合国力的战略支撑．根据创新评价体系，获得A，B两个团队12种同类科技产品的创新贡献率（单位：），并将这些数据整理后绘制成箱线图，如图所示．以下关于两个团队创新水平的评价错误的是（ ） A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的箱线图 A. 团队A的科技产品创新贡献率的中位数明显高于团队B B. 团队A的科技产品创新贡献率的最大值明显高于团队B C. 团队B的科技产品创新贡献率的波动大于团队A D. 团队B的科技产品创新贡献率的下四分位数 8. 我国南宋时期数学家秦九韶（1202～1261）著有《数书九章》十八卷，是反映我国当时数学成就的代表作．书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”，是我国古代数学的辉煌成就之一．如果将三角形三边分别记为，，，则三角形的面积为，这就是著名的秦九韶公式．若在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 正方形的边长为，对角线与交于点，为线段上一点连接并延长交于点，过作交于点．记，，则下列代数式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 10. 小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 12. 请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 13. 数据4，5，5，6的离差平方和是__________． 14. 七巧板是中国传统经典智力拼图玩具，能够拼出千余种造型，原始的七块板拼接在一起是一个正方形，如图1．父亲节这天，小若用七巧板拼出一棵树（如图2），送给像大树一样守护家人的爸爸．现将这个树形图案用矩形边框无缝装裱，已知图1中①正方形的边长为，则矩形的周长为__________． 15. 小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 16. 已知菱形的边长为，，为菱形对角线，点为延长线上一点，作关于的对称，交射线于点，在点移动过程中的最小值为__________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，是平行四边形的一条对角线．延长至点，延长至点，使，连结，，，．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点， （1）画出绕点顺时针旋转后所得的图形． （2）请直接写出点和的坐标． 21. 质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下（单位：年）． 甲公司：，，，，，，，，， 乙公司：，，，，，，，，， （1）请你将表格中的其他数据补充完整． 平均数 中位数 众数 甲公司 乙公司 （2）如果你是顾客，你将会选购哪家公司产品？为什么？ 22. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，为了适当增加销售，商店决定从第二周开始降价销售．根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价．设单价降低元销售一周后，商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）根据题意，填写如下表格： 售价（元个） 销售量（个） 第一周 10 200 第二周 第三周 4 （2）如果旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 23. 综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． （1）【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） （2）【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． （3）【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 24. 如图，矩形中，，对角线与交于点，点，分别为，中点，点为的中点，连接，，． （1）如图1，若，求． （2）如图2，记与交点为，设线段， ①先判断的形状，再说明理由． ②记面积为，请直接写出关于的函数表达式． ③若为等腰三角形，求此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $