精品解析：浙江省杭州市钱塘区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024学年第二学期学业水平测试 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 假设命题“”不成立，那么与0大小关系只能是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次根式，则的值是（ ） A B. C. 5 D. 7. 已知，，在反比例函数（为常数，）的图象上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（ ） A. 甲学校八年级总人数比乙学校多 B. 甲学校八年级男生人数比乙学校多 C. 甲学校八年级男生比例比乙学校高 D. 甲学校女生人数多于男生 10. 如图，在矩形中，交于点，点在上，连结交于点，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 某金属零件结构如图所示，主体外框为正六边形，为加固零件，焊接了金属条，，则的度数为______． 13. 杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂为时，动力为______． 14. 如图，在中，平分交于点．若，则的度数是______． 15. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_________． 16. 如图，在中，点在上，点在上，将沿折叠，使得点与点重合，得到四边形，点的对应点为点．若，，，则的长是_____． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点，当四边形的顶点都在格点上时，则称这个四边形为格点四边形． （1）在图1中以为对角线，画一个格点正方形． （2）在图2中以，，为顶点，画两个格点平行四边形． 20. 某校组织甲、乙两个班级各20名学生进行文艺汇演的队形编排训练，为了解两班参加训练学生的身高情况（单位：），测量并整理了相关数据如下： （一）甲班20名学生的身高： 151 163 163 164 165 166 166 166 167 168 169 170 171 171 172 173 174 175 178 178 （二）甲、乙两班学生身高的平均数、中位数、众数： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 169 乙班 169 171 168 （1）求，的值． （2）在甲班的20名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的20名学生中，高于平均身高的人数为，请结合中位数直接写出与的大小关系． （3）若从甲班20名学生中挑选17人参加正式汇演，在平均身高不变的情况下，应如何选取，可以使17人的身高尽可能整齐？请写出未被选取的三名同学的身高． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22. 如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使，连结，，． （1）从条件①；②中选择合适的一个，完成四边形为矩形的证明． （2）在（1）的结论下，若平分，且，求四边形的面积． 23. 已知，是反比例函数图象上的两点． （1）若，，求的值． （2）若，关于原点中心对称，求的值． （3）当，，时，求的取值范围． 24. 如图，在正方形中，上一点（不与端点重合），延长至点使，连结，过点作于点，连结，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的长． （3）当点在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期学业水平测试 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 选项B中的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：B． 2. 假设命题“”不成立，那么与0大小关系只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．由于的反面为，则假设命题“”不成立，则有． 【详解】解：假设命题“”不成立，则． 故选：C． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 将方程左边配成完全平方形式即可求解． 【详解】解：原方程为， 两边同时加上，得： 左边写成完全平方形式：． 故选：D． 4. 如图，的对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，平行四边形中对角线互相平分这一性质是解决本题的关键 根据平行四边形的性质，即“平行四边形的对角线互相平方”可求解与，再由勾股定理求解即可 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 又∵，即 ∴在中， 由勾股定理可得． 故选：A ． 5. 某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查连续两次降价的应用题，需建立二次方程模型．根据两次降价的百分率相同，每次降价后的价格为原价乘以，两次降价后的总价格即为原价乘以，由此建立方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元． 根据题意，最终价格为2025元， ∴方程为：； 故选：B 6. 若二次根式，则的值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质解方程，根据二次根式的性质，表示的绝对值，即．由此可建立方程求解的值． 【详解】解：由题意得： 根据二次根式的非负性，， 因此原方程可转化为： 解得：或， 即的值为，经检验符合题意； 故选：D． 7. 已知，，在反比例函数（为常数，）的图象上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质判断自变量的大小是解题的关键．根据当时，在第一或第三象限中，在每个象限中，随着的增大而减小，且在第一象限中，在第三象限中；当时，在第二或第四象限中，在每个象限中随着的增大而增大，且在第二象限中，在第四象限中，进行判断作答即可． 【详解】解：当时：函数图象位于第一、第三象限，点和在第三象限，点在第一象限，在第三象限，随的增大而减小，因为，所以， 因此，故B正确，A错误； 当时：函数图象位于第二、第四象限，点和在第四象限，点在第二象限，在第四象限，随的增大而增大，因为，所以， 因此，故C、D错误． 故选：B． 8. 如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及平角和为，由菱形的性质表示出各个角并由平角列式是解决本题的关键． 由菱形的性质可表示出与，再由可得，根据为平角列式即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， 即， 整理可得．  故选：A ． 9. 在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（ ） A. 甲学校八年级总人数比乙学校多 B. 甲学校八年级男生人数比乙学校多 C. 甲学校八年级男生比例比乙学校高 D. 甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，交于点，点在上，连结交于点，且．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．连接交于点O，连接，令交于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，解方程求出x的值，即可求出的值． 【详解】解：连接交于点O，连接，令交于点M， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件事被开方数大于等于，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某金属零件结构如图所示，主体外框为正六边形，为加固零件，焊接了金属条，，则度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角定理，掌握正多边形的性质和多边形的外角和为是解题的关键． 先计算正六边形的一个外角的度数，再求正六边形一个内角的度数，根据等边对等角求解即可． 【详解】正六边形的一个外角的度数为：， 正六边形的一个内角的度数为：，即， 在正六边形中，， ∴， 故答案为： 13. 杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂为时，动力为______． 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设动力为F，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：设动力为F，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：500． 14. 如图，在中，平分交于点．若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行四边形的性质求，再根据平行四边形的性质求． 【详解】在中，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 16. 如图，在中，点在上，点在上，将沿折叠，使得点与点重合，得到四边形，点的对应点为点．若，，，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、平行四边形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接交于点，过点作于点，设，则，由折叠性质得，证明≌得，进而求解． 【详解】解：连接交于点，过点作于点，如图所示： ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，， 设，则， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， 由折叠性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴． 故答案为： ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再相减即可； （2）利用二次根式的性质化简，再相减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，． 19. 如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点，当四边形的顶点都在格点上时，则称这个四边形为格点四边形． （1）在图1中以为对角线，画一个格点正方形． （2）在图2中以，，为顶点，画两个格点平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、勾股定理与网格问题，根据题意正确作图是解题的关键． （1）取的中点，过点作，且，连接，根据正方形的判定推出四边形是正方形，则格点正方形即为所求； （2）取格点，连接，利用平行四边形的判定证明四边形和是平行四边形，则以，，为顶点的两个格点平行四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图，取的中点，过点作，且，连接， 由图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴菱形正方形， ∴格点正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，取格点，连接， 由图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴格点平行四边形和即为所求． 20. 某校组织甲、乙两个班级各20名学生进行文艺汇演的队形编排训练，为了解两班参加训练学生的身高情况（单位：），测量并整理了相关数据如下： （一）甲班20名学生的身高： 151 163 163 164 165 166 166 166 167 168 169 170 171 171 172 173 174 175 178 178 （二）甲、乙两班学生身高的平均数、中位数、众数： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 169 乙班 169 171 168 （1）求，的值． （2）在甲班的20名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的20名学生中，高于平均身高的人数为，请结合中位数直接写出与的大小关系． （3）若从甲班20名学生中挑选17人参加正式汇演，在平均身高不变的情况下，应如何选取，可以使17人的身高尽可能整齐？请写出未被选取的三名同学的身高． 【答案】（1），， （2） （3）、、 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据平均数和方差的定义解答即可． 【小问1详解】 解：把甲班20名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168，169， 故中位数； 甲班20名学生的身高中166出现的次数最多， 故众数； 【小问2详解】 由题意得，甲、乙两个班的平均身高均为169， 由甲班20名学生的身高可知，， 由乙班20名学生的身高的中位数为171可知，， ∴； 【小问3详解】 ∵151、178、178和平均身高差得多，且三人的平均身高为169， ∴在平均身高不变的情况下，挑选17人参加正式汇演，未被选取的三名同学的身高分别为、、． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 22. 如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使，连结，，． （1）从条件①；②中选择合适的一个，完成四边形为矩形的证明． （2）在（1）的结论下，若平分，且，求四边形的面积． 【答案】（1）选择①；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出四边形为平行四边形，选择①，根据等腰三角形性质，证明，再根据矩形的判定证明四边形为矩形即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，根据平行四边形的面积公式得出． 【小问1详解】 解：选择条件①；不能选择条件②； ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 选择①， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 已知，是反比例函数图象上的两点． （1）若，，求的值． （2）若，关于原点中心对称，求的值． （3）当，，时，求的取值范围． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当，时， ，， ； 【小问2详解】 ∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 24. 如图，在正方形中，为上一点（不与端点重合），延长至点使，连结，过点作于点，连结，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的长． （3）当点在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由推出，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）由图可得，根据正方形的性质得到，，通过证明是等腰直角三角形，得到，再利用线段的和差即可求出的长； （3）连接，根据正方形的性质得到，，结合（1）和（2）中的结论证明，得到，，进而推出是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵正方形， ∴，， 由（1）得，， ∴， 由（2）得，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$