2.2基本不等式同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习围绕基本不等式，通过基础、中档、拔高三层设计，覆盖概念理解、运算应用到实际问题解决，梯度合理，助力新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|比较大小、简单求最值|单选1-5题、填空11-13题，直接应用基本不等式，巩固概念与基础运算| |中档|条件等式求最值、综合辨析|单选6-8题、填空14-15题，涉及“1”的代换、恒成立问题，提升推理能力| |拔高|实际应用、充要条件|单选9-10题、填空16题、解答题17-20题，结合几何、经济情境，培养数学建模与逻辑思维|

2.2 基本不等式 同步练习（附答案及解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．已知，，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．设，则 （    ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 7．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 9．某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为，如果该池底的造价为元，池壁的造价为元，则该储水池的最低总造价为（    ） A．36.4万元 B．36.6万元 C．36.8万元 D．37万元 10．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 12．若实数满足，则的最大值为________． 13．若，则的最大值是______． 14．设，则的最小值为_____________． 15．，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 16．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 三、解答题 17．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 18．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 19．现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 20．如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. (1)若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； (2)若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.2 基本不等式� 同步练习（附答案及解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D A C C C C A 1．A 【知识点】作商法比较代数式的大小、由基本不等式比较大小 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 2．C 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】分别判断每个选项是否恒成立，对于C选项，利用两数同号时和的绝对值等于绝对值之和，再结合基本不等式证明其成立. 【详解】因为和同号，所以． 故选：C. 3．C 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 4．D 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 5．A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 6．C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 7．C 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 8．C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的实际应用 【分析】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值. 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 9．C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】设池底的长为，宽为，则长方体的体积为，则， 因为池底的造价为万元，池壁的造价为万元， 则储水池的总造价为， 因为，等号成立时， 故该储水池的最低总造价为万元. 10．A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件、基本不等式的内容及辨析 【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断.此题判断充分性时，需结合均值不等式；判断必要性时，用特殊值即可. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 11．≤ 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 12．/0.25 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. 13． 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 14． 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 15． 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】利用基本不等式中“1”的代换求得，进而，解不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 16． 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的实际应用 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 17．(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 18．(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 19．(1)，；，. (2)建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设，，其中，根据所给数据得到方程，求出、，即可得解； （2）设两项费用之和为（单位：万元），利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 20．(1)，时所用篱笆总长最小，最小值为 (2)，时所得育苗区域面积最大，最大值为 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据育苗区域面积为18平方米，得出的关系式，所用篱笆总长为，利用基本不等式求解即可； （2）根据篱笆总长为18米，得到，利用基本不等式求的最大值. 【详解】（1）由题意知篱笆总长为，因为，所以， 当时取等号，解得，， 即，时所用篱笆总长最小，最小值为米. （2）由题意知，育苗区域面积为，， 当时取等号，解得，， 即，时所得育苗区域面积最大，最大值为平方米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $