2.2基本不等式课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习围绕基本不等式，通过基础辨析、灵活应用到综合证明的三层设计，实现从概念理解到数学思维与语言表达的递进，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基本不等式概念、简单最值|选择1比较大小，填空11直接代换，夯实概念理解| |中档|条件限制下的应用、变形技巧|选择4（a>1）、填空13（x>1），培养运算能力与推理意识| |提升|综合证明、几何情境|解答19不等式证明，选择10几何无字证明，发展逻辑推理与数学表达|

课时作业12　基本不等式 一、选择题 1．若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A.a>b>> B．a>>>b C．a>>b> D．>a>>b 2．下列各式中最小值为2的是(　　) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) 3．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． 4．已知a>1，则a＋的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 6．(多选)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋＞x(x＞0) B．x＋≥2(x＞0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．＞1(x∈R) 7．已知a，b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定 9．(多选题)设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1>a B.≥4 C．(a＋b)≥4 D．a2＋9>6a 10.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 二、填空题 11．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________． 12．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________． 13．当x＞1时，则2x＋的最小值为________． 14．若a<1，则a＋与－1的大小关系是 . 15．给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy<0， ∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为 . 16.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是 ；a＋b的取值范围是 . 三、解答题 17．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 18．设a，b，c∈R＋.求证： (1)ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc； (2)(a＋b＋c)≥4. 19．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 20．(1)已知x<，求y＝4x－2＋最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 课时作业12　基本不等式 （答案） 一、选择题 1．若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A.a>b>> B．a>>>b C．a>>b> D．>a>>b 解析：因为a>b>0，则a>>b>0，又>>＝b，所以a>>>b.故选B. 答案：B 2．下列各式中最小值为2的是(　　) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) 解析：y＝＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立. 答案：B 3．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． 解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号． 答案：B 4．已知a>1，则a＋的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：因为a>1，所以由a＋＝a－1＋＋1≥2 ＋1＝9，当且仅当a－1＝时取等号，即a＝5时取等号，故选B. 答案：B 5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：∵实数a，b满足＋＝，∴a，b>0， 且≥2 ，解得ab≥2 ， 当且仅当，即a＝，b＝2时取等号．则ab的最小值2 . 答案：A 6．(多选)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋＞x(x＞0) B．x＋≥2(x＞0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．＞1(x∈R) 解析：对于A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；对于B，当x＞0时，不等式成立，所以B一定成立；对于C，不等式显然恒成立，所以C一定成立；对于D，∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，所以D不成立．故选BC. 答案：BC 7．已知a，b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①由a，b∈R，得≥ab；②由a，b∈R，得与不一定是正数，不等式不一定成立；③ab－2＝－≤0；④2－＝－≤0，故①③④恒成立，故选C. 8．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定 解析：因为a>2，所以a－2>0.又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)． 故m≥4.由b≠0得b2≠0.所以22－b2<4，即n<4. 综上易知m>n，故选A. 9．(多选题)设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1>a B.≥4 C．(a＋b)≥4 D．a2＋9>6a 解析：由于a2＋1－a＝2＋>0， ∴a2＋1>a，故A恒成立； 由于a＋≥2，b＋≥2，∴≥4， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B恒成立； 由于a＋b≥2，＋≥2， ∴(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故D不恒成立．故选ABC. 10.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 解析：由图形可知OF＝AB＝，OC＝. 在Rt△OCF中，由勾股定理可得 CF＝＝. ∵CF≥OF， ∴≤(a>0，b>0)．故选D. 二、填空题 11．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________． 解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0， 所以a－＋1＝a＋＋1≥3， 当且仅当a＝1，b＝－1时取等号． 答案：3 12．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________． 解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2 ， 所以xy≤3. 当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号． 答案：3　2 13．当x＞1时，则2x＋的最小值为________． 解析：2x＋＝2＋2， ∵x＞1，∴x－1＞0， ∴2x＋≥2×2 ＋2＝10， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号． 答案：10 14．若a<1，则a＋与－1的大小关系是 . 解析：∵a<1，即a－1<0， ∴－＝(1－a)＋ ≥2＝2，当且仅当1－a＝， 即a＝0时取等号，∴a－1＋≤－2， 则a＋≤－1. 答案：a＋≤－1. 15．给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy<0， ∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为 . 解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy<0，得，均为负数，∴， 均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确． 答案：①③. 16．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是 ；a＋b的取值范围是 . 解析：∵a>0，b>0， ∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0， 解得≥3(≤－1舍去)，即ab≥9. ∵a＋b＋3＝ab≤()2， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6(a＋b≤－2舍去)． 答案：ab≥9；a＋b≥6 三、解答题 17．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 证明：因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋ ＝＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以＋＋≥6. 18．设a，b，c∈R＋.求证： (1)ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc； (2)(a＋b＋c)≥4. 证明：(1)∵a，b，c∈R＋，∴左边＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋ca2)＋(c2a＋ab2) ≥2＋2＋2 ＝6abc＝右边， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． (2)∵a，b，c∈R＋， ∴左边＝[a＋(b＋c)] ≥2·2＝4＝右边， 当且仅当a＝b＋c时，等号成立． 19．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 证明：(1)＋＋＝＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)． (2)方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝· ＝5＋2≥5＋4＝9， ∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)． 方法二：＝1＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 当＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 20．(1)已知x<，求y＝4x－2＋最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 解：(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋ ＝－(5－4x＋)＋3 ≤－2 ＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号等立， 故当x＝1时ymax＝1. (2)∵0<x<，∴1－2x>0， ∴y＝×2x(1－2x)≤×()2 ＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x(0<x<)， 即x＝时，上式等号成立，故当x＝时，ymax＝. 学科网（北京）股份有限公司 $