2.2　第2课时　基本不等式的应用 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，分层设计从基础计算到实际建模，梯度合理，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式应用|1-5题直接求最值，如机器人成本、容器造价，巩固“一正二定三相等”条件| |中档|综合知识融合|6题结合二次函数分析利润，9题几何图形中最值，培养推理与转化能力| |拔高|复杂情境建模|14题羊驼养殖场面积优化、16题销售利润问题，提升数学建模与问题解决能力|

第2课时　基本不等式的应用 1. 某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本. 已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）. 若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（　　） A. 100台 B. 200台 C. 300台 D. 400台 2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　） A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 3.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 4.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a（a＞0），第三年的增长率为b（b＞0），这两年的平均增长率为x（x＞0），则（　　） A.x＝ B.x≤ C.x＞ D.x≥ 5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（　　） A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 6.（多选）已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（　　） A.车辆运营年数越多，利润越高 B.车辆在第6年时，总利润最高 C.车辆在前5年的平均利润最高 D.车辆每年都能盈利 7.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，则该图对“a2＋b2≥2ab”的几何解释为　　　　. 8.为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：min）的变化关系为C＝，则经过　　　　min后室内消毒液浓度达到最大. 9.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为　　　　. 10.（1）已知a，b都是正数，求证：≥4； （2）已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥3. 11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A.30件　 B.60件 C.80件　 D.100件 12.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，其中p，q为正百分数，则提价幅度较大的一种是（　　） A.先提价p，后提价q（p≠q） B.先提价q，后提价p（p≠q） C.分两次提价（p≠q） D.分两次提价（p≠q） 13.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站　　　　km处. 14.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）. （1）将S表示为x的函数，并写出x的取值范围； （2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值. 15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金（　　） A.大于10 g B.大于等于10 g C.小于10 g D.小于等于10 g 16.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10－0.1x）万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格. （1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润. 第2课时　基本不等式的应用 1.C　每台机器人的平均成本为（万元），当且仅当，即时取等号，因此应买300台机器人，可使每台机器人的平均成本最低. 2.B　假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算. 3.C　设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y）≥80＋20×2＝80＋20×4＝160（当且仅当x＝y＝2时取等号）.故该容器的最低总造价是160元.故选C. 4.B　由条件知A（1＋a）（1＋b）＝A（1＋x）2，所以（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）≤，所以1＋x≤1＋，故x≤. 5.C　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828（m），当且仅当a＝b＝2时等号成立.故C既够用，浪费也最少. 6.BC　由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－（x＋）＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误. 7.大正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当a＝b时等号成立　解析：由题图可知，四个直角三角形全等，且它们的直角边长分别为a，b，斜边长为，正方形ABCD的边长即为，所以S正方形ABCD＝a2＋b2，而四个全等直角三角形的面积为4S＝4×ab＝2ab，所以“a2＋b2≥2ab”的几何解释为大正方形的面积不小于四个全等直角三角形的面积和，当且仅当a＝b时等号成立. 8.5　解析：由题意可得t＞0，C＝＝≤＝2，当且仅当t＝，即t＝5时取等号. 9.　解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，且≤a≤，≤b≤，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号. 10.证明：（1）∵a＞0，b＞0， ∴a＋≥2＝2，b＋≥2＝2. 由不等式的性质，得（a＋）（b＋）≥4， 当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立. （2）左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3. ∵a，b，c为正数， ∴＋≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）； ＋≥2（当且仅当a＝c时，等号成立）； ＋≥2（当且仅当b＝c时，等号成立）. 从而＋＋≥6（当且仅当a＝b＝c时，等号成立）. ∴＋＋（＋）－3≥3， 即＋＋≥3（当且仅当a＝b＝c时，等号成立）. 11.B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝30，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B. 12.D　设提价前的价格为1，由题意可知，A、B选项的两次提价后的价格均为（1＋p）·（1＋q）；C选项的提价后的价格为（1＋）2，D选项的提价后的价格为（1＋）2，又∵＜，∴（1＋p）（1＋q）＜（1＋）2＜（1＋）2，∴提价幅度较大的为D选项. 13.5　解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x，则两项费用之和为y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小. 14.解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2， FG＝－1， 所以S＝（x－2）（－1）＝102－－x， 因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20， 所以S＝102－－x，5≤x≤20. （2）S＝102－－x≤102－2＝102－20， 当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意， 即当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为（102－20）平方米. 15.A　由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a（a＞0），右臂长为b（b＞0），则a≠b，再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝5（＋）≥5×2＝10，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y＞10，因此，顾客购得的黄金大于10 g. 16.解：（1）∵∴0＜x＜100， y＝x－（20＋）＝x－－20（0＜x＜100）， 当x＝80时，y＝80－－20＝55（元）， 此时销量为10－0.1×80＝2（万套）， 总利润为2×55＝110（万元）. （2）y＝x－－20， ∵0＜x＜100，∴100－x＞0， ∴y＝－［＋（100－x）］＋80≤－2＋80＝60， 当且仅当＝100－x，即x＝90时，等号成立.即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，最大利润为60元. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $